中学受験算数 等積変形—底辺と高さを保つ補助線で求めやすく直す｜武蔵野個別指導塾

平行線上で三角形の頂点を動かし、変わる辺と変わらない高さを見分けて等積変形へ進みます。

よくあるのは、三角形の辺の長さが変わると、面積も変わると思う小6の場面です。頂点を横に動かした図を見ると、斜めの辺が伸びた分だけ広くなったように見えます。しかし、底辺とその底辺に垂直な高さが変わらなければ、面積は変わりません。形を変えて面積を保つ方法を等積変形（とうせきへんけい）といいます。

等積変形では、変えない底辺を決めてから、反対側の頂点を動かせる線を探します。線は好きな方向に引くのではなく、その底辺に平行に引きます。移した後に計算しやすい底辺や高さが現れると、もとの形の面積を求める手がかりになります。

どんな条件を読み取るか

第1の型は、同じ底辺を持つ2つの三角形の面積を比べる問題です。反対側の頂点が底辺に平行な直線上にあれば、高さが共通なので面積が等しくなります。斜めの辺が等しいかどうかは、この判断には必要ありません。

第2の型は、長さがわからない三角形を、面積の等しい別の三角形に直して求める問題です。頂点を平行線上で移してから、垂直な辺を底辺や高さに選びます。図の中で同じ部分を二重に数えないよう、どの三角形を置き換えたかを名前で記録します。

第3の型は、四角形の一部分を三角形に変え、全体を計算しやすい形にする問題です。対角線（たいかくせん）で四角形を2つの三角形に分け、一方の頂点を動かします。移動先によっては図形が重なるため、残る部分との境界を確かめることが必要です。

どの型でも、平行という条件を図の見た目から決めてはいけません。問題文の条件や、平行に引いた補助線を根拠にします。また、頂点を移す直線が底辺と平行でも、底辺そのものを別の長さに変えたら、同じ面積とは限りません。

底辺を固定して頂点を動かす

図1では、底辺ABを固定し、頂点をCからDへ移しています。CとDを通る直線はABに平行です。2本の平行線の間の垂直な距離はどこでも同じなので、CからABへ下ろした高さと、DからABの延長へ下ろした高さは等しくなります。

図1の三角形ABCと三角形ABDは、どちらも底辺がABです。高さも共通なので、それぞれの面積は「ABの長さ × 平行線の間の距離 ÷ 2」で表せます。したがって、2つの面積は等しくなります。Dから下ろした垂線がABの外側に落ちても、ABを延長すれば高さを測れます。

見た目ではADの方がACより長い場合があります。それでもADやACは、この底辺ABに対する高さではありません。面積を決めるのは、斜めの辺の長さではなく、底辺に垂直な距離です。辺の長さが変化することと、面積が変化することは分けて考えます。

作図の順序は、まず残す底辺に印を付け、次に反対側の頂点を通って底辺に平行な線を引きます。その線上に新しい頂点を取り、底辺の両端と結びます。移動先は、別の辺やその延長との交点にすると、計算に使える長さが現れる場合があります。

ただし、移動先を底辺上に取ると高さが0になり、通常の三角形にはなりません。また、底辺に平行でない線上へ移した場合は、高さが変わることがあります。等積変形の根拠として「頂点を移した」と言うだけでは足りず、「底辺を固定し、反対の頂点をその底辺に平行な線上で移した」と言えるかを確かめます。

基本例題：高さが見える位置へ移す

図2の長方形ABCDは、ABが8 cm、ADが6 cmです。点Pは辺DC上にあり、DPは3 cmです。三角形ABPの面積を整数で、平方センチメートルを単位として求めます。

図2ではABとDCが平行です。底辺ABを固定して、頂点Pを同じ直線DC上のDに移すと、三角形ABPと三角形ABDは等積です。DはAの真上にあるので、三角形ABDの高さはADと読み取れます。

1. 残す底辺はABで、長さは8 cmです。
2. PとDはABに平行な直線上にあります。
3. 三角形ABPと三角形ABDの高さは、どちらも6 cmです。
4. 三角形ABDの面積は 8 × 6 ÷ 2 = 24 です。
5. よって、三角形ABPの面積も24平方センチメートルです。

DPが3 cmであることは、Pの位置を決める条件です。PがDに近くてもCに近くても、上辺上にある限りABを底辺とする高さは6 cmです。3 cmを高さに掛ける式を作る前に、求める三角形の底辺がどの線にあるかを確かめます。

移動の前後を比べるには、APとBDの交点をOとします。三角形ABDと三角形ABPから共通の三角形ABOを除くと、残るのはそれぞれ三角形ADOと三角形BPOです。2つの全体は底辺ABと高さ6 cmが等しく、どちらも24平方センチメートルなので、残った部分どうしの面積も等しくなります。

この見方は、2つの三角形が図の中で重なっているときに役立ちます。重なる部分を別々に足す必要はありません。比較したい2つの全体について底辺と高さをそろえるか、共通部分を除いた2つの部分が等積かを調べます。どちらの場合も、等しいと言う三角形の名前を省かずに書くと、途中の取り違えを減らせます。

四角形を三角形に直すとき

台形ABCDでABとDCが平行、ABは10 cm、DCは4 cm、高さは6 cmとします。A、B、Eがこの順に並ぶようにABを延ばし、BEを4 cmに取れば、三角形BCDと三角形BDEはどちらも底辺4 cm、高さ6 cmとなり、面積は12平方センチメートルで等しくなります。この条件でも台形を三角形ADEに置き換えられます。次はBEを先に指定せず、平行な補助線によって同じ位置のEを決める方法を考えます。

改めて、四角形ABCDはABとDCが平行な台形で、ABは10 cm、DCは4 cm、高さは6 cmとします。対角線BDを引き、Cを通ってBDに平行な直線とABの延長との交点をEとします。ABとDCの間に四角形があり、A、B、Eはこの順に並びます。四角形ABCDの面積を整数で、平方センチメートルを単位として求めます。

まず対角線BDで分けると、四角形ABCDは三角形ABDと三角形BCDの和です。三角形BCDの底辺をBDと見ます。CとEはBDに平行な同じ直線上にあるため、三角形BCDと三角形BEDは等積です。共通の三角形ABDを加えると、四角形ABCDと三角形ADEの面積は等しくなります。

BEを調べるため、B、E、C、Dの順に辺をたどります。四角形BECDでは、BDとEC、BEとCDがそれぞれ平行なので、平行四辺形です。したがってBEはDCと等しく、4 cmです。AEは10 + 4 = 14 cm、Dから直線AEまでの高さは6 cmです。

三角形ADEの面積は 14 × 6 ÷ 2 = 42 です。よって答えは42平方センチメートルです。移すのはCであり、固定する底辺はBDです。ABを固定底辺と勘違いすると、なぜCEを引くのか説明できません。変形後に初めてAEを底辺に選び直すところが、基本例題との違いです。

作図を始める前に、変形の対象と残す部分を決めます。BDを底辺に選んだ場合、Cを動かす線はBDに平行です。移動先EはABの延長との交点なので、置き換え後の三角形BEDはABDと重ならず、2つを合わせた三角形ADEができます。反対方向の延長に交点を取ったつもりで足し算すると、重なりやはみ出しを見落とすので注意します。

誤答を図で直す

図3では底辺ABが8 cmです。CはABから垂直に6 cm、DはABから垂直に4 cmの位置にあります。CからDへ頂点を動かしたとき、辺ABは同じでも高さは変わります。

誤答の例は「底辺ABが共通だから、三角形ABCと三角形ABDの面積はどちらも24平方センチメートル」です。前半の底辺が共通という観察は正しいものの、それだけでは不十分です。図3ではCとDを結ぶ線はABに平行ではなく、高さがそろっていません。

三角形ABCは 8 × 6 ÷ 2 = 24 平方センチメートル、三角形ABDは 8 × 4 ÷ 2 = 16 平方センチメートルです。差は 24 − 16 = 8 平方センチメートルです。直すときは、各頂点から底辺の直線へ垂直な線を引き、その長さを別々に書きます。底辺が同じという条件と高さが同じという条件の両方がそろったときに、等積と結論します。

もう一つの誤りは、高さが等しいという理由だけで、底辺の長さまで等しいと決めつけることです。平行線間に頂点があっても、底辺の長さが違うなら面積は一般に違います。どの2つの三角形を比べるか、それぞれの底辺を指でたどり、同じ線分なのか長さが等しい別の線分なのかを確かめます。

練習：動かせる線を選ぶ

紙に図を描き、どの底辺に対して頂点を動かすかを書いてから解きます。答えはすべて整数で、面積は平方センチメートルを単位とします。

1. 長方形EFGHで、EFは12 cm、EHは5 cmです。点Pは辺HG上にあり、HPは7 cmです。三角形EFPの面積を求めます。
2. 底辺JKが9 cmの三角形JKLがあります。Lを通りJKに平行な直線上に点Mを取ると、三角形JKMの面積は27平方センチメートルでした。三角形JKLの面積と、Lから直線JKまでの高さを求めます。
3. 底辺NOが14 cmで、高さが8 cmの三角形NOPがあります。点QはPを通るNOに平行な直線とNOの間にあり、Qから直線NOまでの高さは5 cmです。三角形NOQの面積と、三角形NOPとの差を求めます。
4. 台形RSTUはRSとTUが平行で、RSは9 cm、TUは5 cm、高さは4 cmです。対角線RTを引き、Uを通るRTに平行な直線と、RSをRの側に延長した直線との交点をVとします。三角形VSTに直して台形の面積を求めます。

練習の答えと考え方

1. EFとHGは平行なので、PをHに移しても三角形EFPの面積は変わりません。EFを底辺とすると高さはEHの5 cmです。12 × 5 ÷ 2 = 30 で、答えは30平方センチメートルです。HPはPの位置を示し、高さには使いません。

2. LとMはJKに平行な同じ直線上にあります。底辺JKも共通なので、三角形JKLの面積は27平方センチメートルです。面積の式を逆にたどると、底辺と高さの積は 27 × 2 = 54、Lからの高さは 54 ÷ 9 = 6 cmです。Mからの高さも同じです。

3. QはPを通る平行線上にはなく、その線とNOの間にあります。底辺NOが共通でも高さが異なるため、等積とはできません。三角形NOQは 14 × 5 ÷ 2 = 35 平方センチメートルです。三角形NOPは 14 × 8 ÷ 2 = 56 平方センチメートルなので、差は 56 − 35 = 21 平方センチメートルです。高さの差3 cmを使った 14 × 3 ÷ 2 でも同じ差を確かめられます。

4. 台形を三角形RSTと三角形RTUに分けます。底辺RTを固定してUをVへ移すと、三角形RTUと三角形RTVは等積です。したがって台形の面積は三角形VSTと等しくなります。RVはTUと平行で、UVはRTと平行なので、RTUVは平行四辺形です。よってRVは5 cm、VSは 5 + 9 = 14 cmです。高さは4 cmなので、14 × 4 ÷ 2 = 28。答えは28平方センチメートルです。VはRの外側にあるため、2つの三角形は重ならずに合わさります。

覚えておくこと

• 同じ底辺と同じ高さの三角形は等積です。
• 底辺を固定したら、反対の頂点を底辺に平行な線上で移します。
• 高さは底辺の直線までの垂直な距離で、延長上に下ろす場合もあります。
• 四角形では、置き換えた部分と残した部分の重なりを確かめます。

家で見守るときの手順

お子さまが斜めの辺を指して「長くなったから面積も増える」と言ったら、すぐに式を教えず、まず変形前後で共通の底辺を指してもらいます。次に、それぞれの頂点から底辺の直線へ垂線を引き、高さがどこにあるかを確認します。底辺の外に足が来たときは、底辺を延長してよいか問い返します。

高さまで見つけられたら、平行という条件を問題文や補助線から説明できるか聞きます。説明が止まれば、底辺を固定し、反対側の頂点がどの線上にあるかを一緒にたどります。最後は別の位置に点を取っても同じ理由が使えるか、お子さま自身の言葉で確かめます。辺の長さが変わる図でも、底辺と高さを見れば面積の判断ができます。