中学受験算数 葉っぱ形の面積—おうぎ形と三角形を分け重なりの広さを出す｜武蔵野個別指導塾

四分円を足したときの二重の数え方を図と式でたどり、重なりを見直す題材は葉っぱ形です。

よくあるのは、四分円を2つ描いた正方形で、それぞれの面積をそのまま足して答える小6の場面です。足した広さには、2つの円に共通する部分が2回入っています。求めたいのは重なった部分なので、どの場所が何回数えられたかを追う必要があります。

葉っぱ形の面積は、曲線に囲まれた形をそのまま公式に当てはめるのではなく、四分円と正方形、または四分円と三角形に分けて求めます。図にある2つの中心と半径を確かめ、引く部分を選ぶところから始めましょう。

重なりを問う3つの形

1つ目は、正方形の一辺が示され、向かい合う頂点を中心に描いた2つの四分円の共通部分を求める形です。2つの半径は正方形の一辺と同じなので、まず四分円の面積を出せます。共通部分を葉っぱ形と呼びます。

2つ目は、葉っぱ形以外の部分を尋ねる形です。正方形の中で葉っぱ形に入らない部分は、正方形から葉っぱ形を引けば求められます。色の付いた部分がどちらかを読み違えると、途中の計算が合っていても答えが変わります。

3つ目は、正方形の面積や、葉っぱ形の片側にある三角形の面積が与えられる形です。一辺の長さを先に求めなくても、正方形の面積があれば四分円の面積を計算できます。何が与えられたかに応じて、辺の長さを掛けるところから始めるか、面積をそのまま使うかを選びます。

どの形でも、円の中心が正方形の向かい合う頂点にあり、半径が一辺に等しいことを確かめます。中心や半径が違う図では、これから使う引き算がそのまま成り立つとは限りません。

2つの四分円はどこを数えるか

正方形の左下をA、右下をB、右上をC、左上をDとします。Aを中心に半径ABで四分円を描き、Cを中心に半径CBで別の四分円を描きます。どちらの円の線もBとDを通り、2つの四分円に共通する部分がBとDを両端とする葉っぱ形になります。円周上も共通部分に含みますが、線の面積は数えません。

図1では、淡い青が葉っぱ形です。曲線の外側の2つの部分は、片方の四分円にだけ入ります。対角線BDを結ぶと葉っぱ形は2つに分かれ、それぞれが四分円から直角二等辺三角形を取り除いた形として見られます。

正方形全体が2つの四分円の少なくとも一方に入ることも確かめましょう。対角線BDは正方形を2つの直角二等辺三角形に分けます。三角形ABDはAを中心とする四分円の中に、三角形BCDはCを中心とする四分円の中に入ります。したがって、正方形の中に両方の四分円から漏れる場所はありません。

そこで2つの四分円の面積を足すと、葉っぱ形以外は1回ずつ、葉っぱ形は2回数えます。正方形を1回分引けば、余分に数えた葉っぱ形が残ります。式にすると「四分円の面積 × 2 − 正方形の面積」です。正方形を引く理由は、正方形の外を消すためではなく、正方形の中を1回分取り除くためです。

別の見方では、四分円から対角線で切った三角形を引き、残る片側の曲線部分を2倍します。四分円の中心にある角は90度ですから、四分円の面積は同じ半径の円の面積の4分の1です。三角形は正方形の半分で、2つの片側の形は同じ面積です。

図を読むときには、曲線の端がBとDでそろっていることも見ます。AからB、AからD、CからB、CからDはどれも正方形の一辺なので、2本の曲線は同じ2点で出会います。見た目が似ていても、中心が隣り合う頂点だったり、半径が辺より短かったりする場合には、同じ説明を使う前に図を調べ直します。

面積の単位も区別します。半径や一辺はcmという長さですが、掛け算で求める正方形や四分円の広さはcm²です。引き算では、同じ面積の単位をそろえ、線の長さを面積から引かないようにします。対角線は分けるための線であり、その長さを求める必要はありません。

基本例題：一辺から重なりへ

正方形ABCDの一辺は10 cmです。AとCを中心とし、半径をそれぞれ10 cmとして、正方形の内側に四分円を描きます。2つの四分円の共通部分の面積を、小数で平方センチメートルまで求めましょう。円周率は3.14とします。

図2では、青い部分が求める面積です。BとDを結ぶ補助線を入れると、青い部分を両側に分けられます。まず正方形と四分円を比べる方法で計算します。

1. 円全体の面積は、10 × 10 × 3.14 = 314 cm² です。半径10 cmの円として計算します。
2. 四分円1つは、314 ÷ 4 = 78.5 cm² です。中心角が90度で、円全体の4分の1だからです。
3. 四分円2つを足すと、78.5 × 2 = 157 cm² です。ここでは青い部分が2回入っています。
4. 正方形の面積は、10 × 10 = 100 cm² です。
5. 重なりは、157 − 100 = 57 cm² です。正方形の中を1回分引くと、二重に数えた青い部分が残ります。

表の2行を見比べると、引いた後に残るのは青い部分です。答えは57 cm²です。四分円1つの78.5 cm²より小さく、正方形全体の100 cm²よりも小さいので、広さの大小にも合っています。

補助線を使って確かめると、三角形ABDの面積は10 × 10 ÷ 2 = 50 cm²です。Aを中心とする四分円からこの三角形を引くと、葉っぱ形の片側は78.5 − 50 = 28.5 cm²です。同じ広さがもう片側にもあるため、28.5 × 2 = 57 cm²となります。2つの方法は、引く順序が違っても同じ場所を残しています。

もう一段：正方形の面積が先にあるとき

正方形の面積が144 cm²です。向かい合う2頂点を中心とし、正方形の一辺を半径とする四分円をそれぞれ内側に描きます。正方形の中で、2つの四分円の共通部分に入らない部分の合計を、小数で平方センチメートルまで求めましょう。円周率は3.14とします。

ここで聞かれているのは葉っぱ形そのものではありません。まず共通部分を出し、その後に正方形から引きます。半径と半径を掛けた値は正方形の面積と同じ144なので、一辺が何 cmかを先に出す必要はありません。

1. 半径を2回掛けて3.14倍した円の面積は、144 × 3.14 = 452.16 cm²です。
2. 四分円1つは、452.16 ÷ 4 = 113.04 cm²です。
3. 2つの四分円の面積の和は、113.04 × 2 = 226.08 cm²です。
4. 正方形を1回分引き、共通部分は226.08 − 144 = 82.08 cm²です。
5. 求める共通部分以外は、144 − 82.08 = 61.92 cm²です。

答えは61.92 cm²です。途中で出た82.08 cm²は葉っぱ形の面積ですから、そこで終えると問われた範囲とずれます。問題文の「共通部分に入らない」という言葉に印を付け、最後に残す場所を指で囲むと取り違えを防げます。

もし正方形の面積でなく、対角線BDで分けた直角三角形の面積が72 cm²と与えられていたら、正方形はその2倍の144 cm²です。半分である根拠は、対角線が同じ形の三角形を2つ作るからです。逆に、四分円から引く三角形の面積を求めるときは、正方形の面積を2で割ります。2倍と半分の向きは、何を基準にするかで決まります。

間違えた式を図に戻す

基本例題で「78.5 × 2 = 157 cm²が葉っぱ形」と答えたとします。これは誤答です。図3の左側で、それぞれの四分円を別々に塗ると考えると、重なった場所には2枚分の色が乗ります。片方にしか入らない場所も数えているので、和をそのまま答えにできません。

図3の右側では、正方形の面積100 cm²を1回分引いています。葉っぱ形以外は1回数えて1回引くので残らず、葉っぱ形は2回数えて1回引くので1回分残ります。157 − 100 = 57 cm²と直せます。

別の誤りとして、78.5 − 100を計算しようとすることがあります。四分円1つから正方形全体を引こうとしても、四分円に入らない場所まで引くことになります。正方形を引くのは、四分円を2つ足して正方形全体を覆った後です。四分円1つから引く方法なら、その中に収まる三角形50 cm²を引いてから2倍します。

さらに、最後に2倍し忘れて28.5 cm²とする場合もあります。対角線で分けた片側を指して、求める葉っぱ形には反対側も含まれるか確認しましょう。反対に57をもう一度2倍する場合は、四分円を2つ足した段階で両側を含めたことを式の横に書くと整理できます。

練習：残す場所を読み取る

どの問題も、正方形の向かい合う2頂点を中心に、一辺を半径とする四分円をそれぞれ正方形の内側に描きます。円周率は3.14とし、面積は小数で平方センチメートルまで答えましょう。

1. 一辺が4 cmの正方形で、2つの四分円の共通部分の面積を求めます。
2. 一辺が6 cmの正方形で、共通部分に入らない正方形内の部分の面積の合計を求めます。
3. 正方形の面積が64 cm²のとき、対角線で分けた葉っぱ形の片側の面積を求めます。
4. 一辺が20 cmの正方形で、葉っぱ形のうち対角線の片側を取り除き、残った正方形内の面積を求めます。

練習の答えと道筋

1. 円全体は4 × 4 × 3.14 = 50.24 cm²、四分円は50.24 ÷ 4 = 12.56 cm²です。2つの和は12.56 × 2 = 25.12 cm²、正方形は4 × 4 = 16 cm²です。重なりは25.12 − 16 = 9.12 cm²です。正方形を引いて二重に数えた分を残します。

2. 円全体は6 × 6 × 3.14 = 113.04 cm²、四分円は113.04 ÷ 4 = 28.26 cm²です。重なりは28.26 × 2 − 36 = 20.52 cm²です。正方形の面積36 cm²から引いて、36 − 20.52 = 15.48 cm²です。求めるのは曲線にはさまれた部分の外側なので、最後の引き算まで行います。

3. 半径を2回掛けた値が64です。四分円は64 × 3.14 ÷ 4 = 50.24 cm²です。対角線で分けた正方形の半分は64 ÷ 2 = 32 cm²なので、四分円からその三角形を引いて50.24 − 32 = 18.24 cm²です。求めるのは片側なので2倍しません。

4. 正方形は20 × 20 = 400 cm²、四分円は400 × 3.14 ÷ 4 = 314 cm²です。対角線で分けた三角形は400 ÷ 2 = 200 cm²ですから、葉っぱ形の片側は314 − 200 = 114 cm²です。正方形からこの片側だけを取り除き、400 − 114 = 286 cm²です。もう片側の葉っぱ形は残す範囲に入ります。

計算の途中で出た面積にも名前を付けておくと、葉っぱ形と残りの部分を取り違えにくくなります。答えが正方形の面積より大きければ、取り出す範囲か計算を見直します。ただし小さいというだけで正解とは限りません。何を引いた結果なのか、図の場所と式の各数を対応させることが必要です。

手元に残す要点

• 向かい合う頂点が中心で、半径が正方形の一辺か確かめます。
• 四分円2つは正方形全体を覆い、共通部分を2回数えます。
• 四分円2つの和から正方形を引くと、葉っぱ形が残ります。
• 四分円から正方形の半分を引けば、葉っぱ形の片側です。
• 問われた範囲が葉っぱ形の内側か外側か、最後に確かめます。

家で見守るときの問いかけ

お子さまが四分円の面積を足したところで止まったら、すぐに引き算を教える前に「この真ん中は何回数えたかな」と指さして尋ねてみてください。重なりが2回と答えられたら、次は曲線の外側を指し、そこが何回入るかを確かめます。数えた回数が言葉になれば、正方形を1回分引く意味につながります。

式を立てられても答えがずれたときは、求める色の部分を指でなぞってもらいます。片側なのか両側なのか、外側を含むのかを本人の言葉で説明できるかが目印です。必要なら四分円と三角形の別の方法で結果を比べ、計算だけでなく残った場所も確認します。

重なりを何回数えたかに目を向けると、葉っぱ形の引き算に理由が生まれます。