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中学受験算数高さが共通な三角形の面積比—同じ高さを確かめ底辺の比で広さを分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.11更新 2026.11.11武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数図形

同じ頂点から一直線上の底辺を見る図で、面積の分配と比を使えない場合を考え、高さの共通を見抜きます。

よくあるのは、底辺が別の直線上にある三角形にも、底辺の比をそのまま面積の比として使う小6の場面です。長さの比は見えていても、高さが同じとは限りません。まず底辺をどの直線にとるかを決め、そこから頂点までの垂直な距離を比べます。

同じ高さが確かめられたら、面積を底辺の長さに応じて分けられます。図のどこが共通なのかを言葉で示し、比を使える場面と使えない場面を区別しましょう。

どんな形で問われるか

まず、1つの三角形の底辺上に点をとり、頂点と結んでできる2つの三角形の面積を比べる型があります。底辺の2つの区間は一直線上にあり、反対側の頂点も共通です。一方の面積と底辺の比から他方を出したり、全体の面積を2つに分けたりします。

次に、底辺を3つ以上の区間に分け、隣り合わない部分や複数の部分の合計を求める型があります。区間の長さを足してから全体との比を作るか、それぞれの面積を足すかを選びます。どの区間が答えに当たるかを図に印で残すと、求める範囲を取り違えにくくなります。

もう1つは、別の直線上にある底辺について、比が使えるか判断する型です。同じ頂点を持っていても、2本の直線までの距離が違えば高さは共通ではありません。見た目が似ていることや底辺が同じ長さであることと、高さが同じことは別の条件です。長さだけで答えを決める前に、高さを確かめる問いとして読みます。

一直線と頂点に注目する

三角形の面積は、底辺に高さをかけて2で割ります。底辺を決めたときの高さは、反対の頂点から底辺を含む直線へ垂直に引いた線の長さです。頂点から底辺の端へ引いた斜めの辺を、高さとして使うわけではありません。

図1では、点Aが2つの三角形の共通の頂点です。点B、D、Cはこの順に一直線上にあります。三角形ABDと三角形ADCで、それぞれBDとDCを底辺に選ぶと、どちらも同じ直線BCから点Aまでの高さになります。垂直な線が底辺の区間の内側に落ちるかどうかは、共通の高さであることを変えません。たとえば垂線の足がBD上にあっても、DCを延長した直線上に足があるので、三角形ADCの高さとして使えます。

高さが同じなら、底辺が2倍の三角形は面積も2倍です。底辺が3対5なら、面積も3対5になります。面積の式で見ると、両方に同じ高さをかけ、どちらも2で割るので、底辺の割合がそのまま残るからです。三角形の形が重ねてぴったり合う必要はありません。

図1で、BDとDCの長さを足すとBC全体になります。三角形ABDと三角形ADCは重なりなく全体を埋めるので、面積も足して三角形ABCの面積になります。したがって、面積の比が3対5なら、全体は3と5を合わせた8のまとまりです。一方の面積を全体に対する割合で考えるときは、3対5の3や5をそのまま分母にせず、合計の8を見ることが大切です。

基本例題：全体の面積を2つに分ける

三角形ABCの辺BC上に点Dがあります。BDは6 cm、DCは9 cmです。三角形ABCの面積が40 cm²のとき、三角形ABDと三角形ADCの面積をそれぞれ整数で求めます。

図2のBDとDCは同じ直線BC上にあり、2つの三角形は点Aを共通の頂点に持ちます。高さが等しいので、面積の比は底辺の比と等しくなります。線ADは高さではなく、2つの三角形の境界です。

見るところ	三角形ABD	三角形ADC
底辺	6 cm	9 cm
面積の比	2	3

底辺の比を小さい整数に直します。

6 : 9 = 2 : 3

全体の面積は、比の2と3を合わせた5に当たります。

2 + 3 = 5

比の1に当たる面積を出します。

40 ÷ 5 = 8 cm²

三角形ABDはその2つ分です。

8 × 2 = 16 cm²

三角形ADCはその3つ分です。

8 × 3 = 24 cm²

答えは、三角形ABDが16 cm²、三角形ADCが24 cm²です。最後に16 + 24 = 40 cm²となり、2つの和が全体に戻ることを確かめます。底辺の長さは6 + 9 = 15 cmですから、全体の式から高さは40 × 2 ÷ 15 = 16/3 cmと表せます。高さを求めなくても比の計算はできますが、この値を使っても6 × 16/3 ÷ 2 = 16、9 × 16/3 ÷ 2 = 24となります。

ここで40 ÷ 2としてしまうと、全体を比の2に当たる面積と誤って見たことになります。40 cm²は2つの面積の合計です。比の数字を合計してから1つ分を出す順番を守りましょう。また、6 : 9を2 : 3に直すときは両方を同じ3で割ります。片方だけを割ると、もとの割合が変わってしまいます。

区間をまとめて考える例題

三角形PQRの辺QR上に、Qから順に点S、Tがあります。QSは4 cm、STは5 cm、TRは7 cmです。三角形PQRの面積は64 cm²です。三角形PSTと三角形PTRの面積の合計を整数で求めます。

求めたい2つは隣り合い、底辺を合わせるとSRになります。まず全体の底辺と、求める部分の底辺を出します。

QR = 4 + 5 + 7 = 16 cm

SR = 5 + 7 = 12 cm

三角形PSRと三角形PQRは、頂点Pが共通で、底辺SRとQRが同じ直線上にあります。したがって面積の比は底辺の比と同じです。

三角形PSR : 三角形PQR = 12 : 16 = 3 : 4

64 ÷ 4 = 16 cm²

16 × 3 = 48 cm²

答えは48 cm²です。別の方法として、64 ÷ 16 = 4 cm²を底辺1 cmに当たる面積とし、5 × 4 + 7 × 4 = 48 cm²としても同じ結果です。全体の残りは4 × 4 = 16 cm²で、48 + 16 = 64 cm²にもなります。

判断の分かれ目は、求める部分を1つの三角形としてまとめられるかです。隣り合う2区間はつなげられますが、間に別の区間がある場合、その間も含めて底辺をまとめると余分な面積が入ります。そのときは各区間に対応する面積を別々に求め、必要なものを足します。どちらの方法でも、全体の底辺に含まれる区間を先に書き出すと、足し忘れを防げます。

比の向きにも注意します。12 : 16を使うとき、3は求める部分、4は全体に対応します。全体の64を3に対応させると、求める部分が全体より大きくなってしまいます。図で部分と全体の包含関係を見てから数を当てはめると、逆向きの式に気づけます。

間違いの原因を図でほどく

図3の左の三角形は、底辺が4 cm、高さが3 cmです。右の三角形は底辺が8 cm、高さが5 cmです。図3の底辺は同じ水平な直線上に並んでいますが、頂点の位置が違い、高さは3 cmと5 cmでそろっていません。2つの底辺を比べて「4 : 8 = 1 : 2だから、面積も1 : 2」とするのは誤答です。高さが等しいことを確かめずに、共通の高さを使う規則を持ち込んだからです。

正しくは、それぞれの底辺に対応する高さを使って計算します。

左の面積は4 × 3 ÷ 2 = 6 cm²です。

右の面積は8 × 5 ÷ 2 = 20 cm²です。

面積の比は6 : 20 = 3 : 10です。図3で垂直の印が付いた線はそれぞれの底辺への高さを示します。どちらも高さと呼べますが、長さが違うため共通ではありません。底辺が別の直線上という事実だけで比が使えないと決めるのではなく、別の条件から高さが等しいと確かめられるかを調べます。この例では3 cmと5 cmなので等しくありません。

もう一つの誤りは、同じ直線上の区間を使っていても、共通でない頂点を選ぶことです。底辺の直線から各頂点までの距離が異なるなら、高さも異なります。直すときは、選んだ2つの三角形を指でたどり、それぞれの底辺と反対の頂点を示します。頂点が同じで底辺が同じ直線上なら、共通の高さを説明できます。頂点が違うときは、距離が等しいという別の根拠があるかを確認します。

練習：底辺と面積を対応させる

次の問題では、図を自分で描き、底辺に選んだ区間を印で示してください。面積はすべてcm²で答えます。

三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、BDは3 cm、DCは4 cmです。三角形ABDの面積は21 cm²です。三角形ADCの面積を整数で求めます。
三角形EFGの辺FG上に点Hがあり、FHは5 cm、HGは7 cmです。三角形EFGの面積は72 cm²です。三角形EFHの面積を整数で求めます。
三角形JKLの辺KL上に、Kから順に点M、Nがあります。KMは2 cm、MNは3 cm、NLは5 cmです。三角形JKLの面積は90 cm²です。三角形JKMと三角形JNLの面積の合計を整数で求めます。
2つの三角形の底辺はそれぞれ6 cm、9 cmで、高さはそれぞれ4 cm、8 cmです。面積の比を、最も小さい整数の比で求めます。