中学受験算数 平行線と角—等しい角の根拠をたどり折れ線の角を求める｜武蔵野個別指導塾

折れ点に引いた補助線で角を分け、根拠を確かめるのは平行線と角です。

よくあるのは、平行の印がない線も平行に見えて、同じ角だと判断する小5の場面です。見た目がよく似ていても、線を少し傾ければ角は変わります。図に書かれた印や問題文の条件から、どの2直線が平行なのかを確かめてから角を移します。

平行線と角の問題では、角の数字を見つけることと、その数字を別の場所へ移してよい理由を見つけることがセットです。折れ線の途中に平行な線を引けば、離れていた角を折れ点に集められます。線を引く前後で何が等しくなったかを、順番に追っていきましょう。

どんな角を探すか

1つ目は、2本の平行な直線を1本の直線が横切る図です。一方の交点の角が与えられ、もう一方の交点の角を求めます。角の位置が同じなら同位角（どういかく）、2本の線の間で横切る線の反対側なら錯角（さっかく）に注目します。等しい角が見つかった後、求める角がその隣にある場合は、一直線の角が180度であることも使います。

2つ目は、平行な直線の間に折れ線がある図です。折れ点は平行線上にないため、最初から同位角や錯角を使う相手が見えません。折れ点を通り、もとの直線に平行な補助線を引いて、それぞれの斜めの線と交わらせます。角が同じ側に集まるか、一直線の角をはさんで並ぶかで、足すか引くかを決めます。

3つ目は、平行に見える線が複数あり、条件を選ぶ図です。線の印が示す組と、角が等しいといえる組を区別します。条件が足りないときには、図を見た印象で数値を決めず、何が不足しているかを答えることも大切です。

位置と条件を一緒に見る

図1では、上の直線と下の直線が平行で、斜めの直線が両方を横切ります。上の交点で右上にある角と、下の交点で右上にある角が同位角です。上の交点で線の間の左側にある角と、下の交点で線の間の右側にある角は錯角です。

図1の色付き部分を見ると、同位角は2つの交点で同じ位置にあります。錯角は2本の平行線にはさまれ、斜めの線の左右に分かれています。どちらも、2本が平行という条件があって初めて等しい角といえます。名前を覚えるときは色や図の向きに頼らず、交点と角の開きを指でなぞってください。

この性質は、同じ向きのまま線を平行に移すことを考えると納得しやすくなります。上の線を下の線へ重ねるように移すと、横切る線との同じ位置の角は重なります。また、交点で向かい合う角は、隣の角をそれぞれ180度から引いたものなので等しくなります。この向かい合う角と同位角をつなげると、錯角も等しいと確かめられます。

角の位置を読むときは、角の頂点と2本の辺を先に確認します。数字が線のどちら側に書かれているかだけではなく、どの2本の線が作る開きなのかを見ます。線が交わってできる小さい角を知っていても、求めるのが隣の大きい角なら、180度から引く必要があります。

平行の印がない2本については、平行と決めつけられません。ただし、問題文に平行と書かれている場合や、直前に条件から平行と説明できた場合は使えます。補助線を引くときは「折れ点を通り、上の直線に平行な直線」と決めて引きます。上と下が平行なら、この補助線も下の直線に平行です。

基本例題：折れ点に角を集める

上の水平な直線と下の水平な直線は平行です。上の直線上の点Aから右下の点Pへ線を引き、Pから右下の下の直線上の点Bへ線を引きます。Aで右向きの水平線とAPのなす角は40度、Bで左向きの水平線とBPのなす角は65度です。折れ点Pで、PAとPBのなす角を求めます。

図2のように、Pを通る水平な補助線を引きます。上と下の直線に平行な線です。補助線は左右に延ばして、Pのまわりの角を分けて見ます。次の順で考えます。

1. 上の直線と補助線は平行です。APが横切るので、Pで左向きの補助線とPAのなす角は、錯角として40度です。
2. 補助線と下の直線も平行です。PBが横切るので、Pで右向きの補助線とPBのなす角は、錯角として65度です。
3. Pの上側にある一直線の角は180度です。左向きの補助線からPAを通り、右向きの補助線までの角を考えます。
4. PAと右向きの補助線の間は、180 − 40 = 140度です。
5. 求めるPAとPBの角は、その140度に、右向きの補助線からPBまでの65度を加えます。
6. 140 + 65 = 205度は大きい側の角です。問題の2本の線の小さい側の角は、360 − 205 = 155度です。

もっと短くは、Pの下側の一直線に注目します。左向きの補助線からPBまでの角は、180 − 65 = 115度です。その角と左向きの補助線からPAまでの40度を足すと、115 + 40 = 155度です。答えは155度です。

ここで40度と65度をそのまま足すと105度になりますが、2つの色付きの角は求める角の内側に並んでいません。どの側の開きを求めるのか、Pのまわりを指でたどってから計算します。大きい側と小さい側の合計が360度になることも、答えの点検に使えます。

向きが変わる折れ線

上と下の水平な直線は平行です。上の直線上にA、下の直線上にBがあり、点Pは2直線の間にあります。AはPより左、BもPより左にあります。AとP、BとPを結び、Aで右向きの水平線とAPのなす角を35度、Bで右向きの水平線とBPのなす角を50度とします。PでPAとPBのなす小さい角は何度でしょう。

Pを通り、もとの2直線に平行な補助線を引きます。A側の斜め線について、Pで左向きの補助線とPAの角は錯角で35度です。B側について、Pで左向きの補助線とPBの角は、平行線の角を移して50度です。2つは補助線の左側で上下に並び、重ならずに求める角を作ります。

35 + 50 = 85度です。答えは85度です。基本例題では2つの角がPの反対側に分かれ、一直線から引く必要がありました。この例題では2つの角が求める開きの内側に並ぶため、そのまま足せます。どちらも同じ補助線を引いていますが、足し算をする前に、2つの角がどこにあるかを確かめる点が分かれ目です。

補助線を引く位置に迷ったら、まず求める角の頂点を探します。そこを通る平行線なら、求める角を分ける線として使えます。もとの平行線と交わらないように見える程度に短く引いても、直線は左右に延びるものとして考えます。斜め線の延長が必要なら、元の辺と区別できるよう薄く書き足します。

誤答から線の条件を点検する

図3では上の直線と下の直線が平行ですが、中央の斜めの線はそれらに平行ではありません。横切る線との交点で、上の角が60度に見えたとします。中央の角も同じ位置だから60度とする答えは誤りです。平行という条件があるのは上と下の組で、中央の線はその組に入っていないからです。

図3の中央の角は、図の線の傾きを変えれば変わります。60度と決まるとはいえません。一方、上と下の平行な直線については、横切る線を基準に同じ位置の角を見れば、下の対応する角は60度です。図の中央の線を使わず、平行と指定された2本に目印を付け直すと区別できます。

もう1つの誤りは、等しい角を見つけた後、求める角と隣の角を取り違えることです。例えば、対応する小さい角が70度でも、求めるのが隣の角なら答えは70度ではありません。一直線の180度から70度を引いて110度です。まず頂点に印を付け、求める開きを弧のように指でなぞってから、等しい角なのか隣の角なのかを決めます。

平行線の印が2組ある図では、同じ印の線を対にして読みます。印が違う線どうしを同じ組に入れると、最初の角の移動から根拠がなくなります。うまく進まないときは計算だけを消すのではなく、どの2本を平行と置いたかまで戻って見直します。

数字が決まらない場合の考え方

平行の条件が欠けているときは、計算を続ける前に図を動かして考えます。例えば、上の直線と横切る線をそのままにして、下の直線の傾きだけを変えます。上の交点の角は変わらないのに、下の交点の角は変わります。この2通りが条件に合うなら、下の角を1つの数字には決められません。

反対に、下の直線も上の直線に平行だという条件が加われば、傾きは自由に変えられなくなります。同じ位置の角を移せるのは、その条件があるためです。角の大きさが変わる例を2つ描くと、条件の不足を説明しやすくなります。線を新しく引いた場合にも、ただ水平らしく描いただけでは根拠になりません。どの線に平行に引いたかを言葉で添えます。

自分で試す4問

紙に簡単な図を描き、平行と書かれた線に同じ印を付けてから考えます。角の指定は、線の延長を含めた向きまで読んでください。

1. 上下の水平な直線は平行で、1本の斜めの直線が両方を横切ります。上の交点の右上の角が48度です。下の交点の右上の角は何度ですか。
2. 問1とは別の平行な上下の直線を1本の斜めの直線が横切ります。上の交点の右上の角が72度です。下の交点の右下の角は何度ですか。
3. 上下の水平な直線は平行です。上の直線上のA、下の直線上のB、2直線の間のPを結びます。AとBはともにPより左にあり、Aの右向き水平線とAPの角は28度、Bの右向き水平線とBPの角は47度です。PのPAとPBのなす小さい角を求めます。
4. 上下の水平な直線は平行です。上の直線上のCから右下の点Qを通り、Qからさらに右下の下の直線上のDへ折れ線を引きます。Cの右向き水平線とCQの角は31度、Dの左向き水平線とDQの角は54度です。QのQCとQDのなす小さい角を求めます。

考え方と答え

問1は48度です。上の右上と下の右上は同位角で、条件に上下の直線が平行とあります。したがって上の48度をそのまま下へ移せます。右上という位置は、横切る線の交点をそれぞれ中心にして読みます。

問2は108度です。まず下の交点の右上の角は、上の右上の角と同位角なので72度です。求める右下の角はその隣で、2つを合わせると一直線の180度です。180 − 72 = 108度となります。同位角で移した後に、さらに隣の角を求める手順です。

問3は75度です。Pを通る水平な補助線を引くと、左向きの補助線とPAの角は28度、左向きの補助線とPBの角は47度です。どちらも平行線の錯角で移せます。求める角の内側で2つが上下に並ぶため、28 + 47 = 75度です。2つの角が重なっていないことを、図に弧を描いて確かめます。

問4は157度です。Qを通る水平な補助線を引きます。左向きの補助線とQCの角は31度、右向きの補助線とQDの角は54度です。後者の隣にある、左向きの補助線とQDの角は180 − 54 = 126度です。求める小さい角は左向きの補助線をはさんで31度と126度に分かれるので、31 + 126 = 157度です。31度と54度を直接足すと、求める開きと別の部分を数えることになります。

覚えておきたい筋道

• 平行の条件がある2本と、それを横切る線を先に選びます。
• 同位角は同じ位置、錯角は平行線の間で横切る線の反対側です。
• 折れ点を通る平行な補助線で、離れた角を集めます。
• 求める開きの内側を確かめ、必要なら一直線の180度から引きます。

お子さまの考えを聞くとき

お子さまが角を移したら、まず「どの2本が平行かな」と尋ね、対応する印や問題文を指してもらいます。次に「横切る線はどれかな」と聞き、移す前と後の角を指でたどってもらいます。角の名前がすぐ出なくても、位置と平行の根拠を言えれば考えは進んでいます。

答えが合わないときは、すぐに補助線を描き込まず、「求める角はどの開きかな」「折れ点に線を通すと角を分けられるかな」と順に問い返します。お子さまが引いた線が平行という条件を満たすかを一緒に確認し、その後に足すか引くかを選んでもらいます。最後に、隣の角と合わせて180度になるか、図の開きと答えの大小が合うかを確かめます。

平行の根拠を指さす習慣が、折れ線の角を追う道しるべです。