中学受験算数 相似比と面積比—長さの比を2回掛けて広さの比へ進む｜武蔵野個別指導塾

辺が2倍の図形を小さな同形の図形で敷き詰め、面積の逆算を支えるのが相似比と面積比です。

よくあるのは、辺が2倍なら面積も2倍とする小6の場面です。横に広がるだけでなく、縦にも広がることを図で見ると、長さの比と面積の比の違いが見えてきます。相似（そうじ）な図形を敷き詰める考えから、面積を求める場合と辺の長さを逆に求める場合をたどります。

どんな量を比べる問題か

1つ目は、相似な2つの図形の対応する辺の比から、面積の比を求める型です。たとえば小さい図形と大きい図形の辺が1対2なら、面積の比は1対4です。1対2のまま面積に移さず、縦と横の両方の変化を考えます。

2つ目は、一方の面積と辺の比から、もう一方の面積を出す型です。比の順を小さい図形、大きい図形の順にそろえると、与えられた面積がどちらに当たるかを見失いにくくなります。大きい面積が先に示される問題では、割り算から始めることもあります。

3つ目は、面積の比から辺の比を探し、辺の長さを逆算する型です。面積の比をそのまま辺の比に戻すことはできません。同じ数を2回掛けて面積の比の数になるかを確かめてから、対応する辺へ戻ります。

いずれも、2つの図形が相似だという条件が必要です。見た目が似ていることや、1組の辺の長さがわかることだけでは、面積比を決められません。問題文の条件を先に読み、何と何の比かを図に書き添えます。

敷き詰めで見る2回の掛け算

相似な図形は、対応する角の大きさがそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比が一定です。この長さの比を相似比といいます。面積比は、それぞれの面積を同じ順で並べた比です。辺の比と面積の比は、比べるものが違います。

図1の左の正方形を1枚の基準にします。右の正方形は、対応する辺が左の2倍です。横に2枚、縦に2列並べると、左と同じ正方形がすき間なく4枚入ります。重なりもないので、右の面積は左の4倍です。

辺が3倍なら、同じ正方形は横に3枚、縦に3列で9枚です。ここで数えたのは周りの長さではなく、内側の広さです。2倍と4倍の違いを、紙に格子を描いて指で数えると確かめられます。

正方形以外の相似な図形でも、対応する底辺と高さが同じ割合で変わります。三角形なら、底辺を2倍、高さも2倍にすると、底辺と高さの積は4倍です。最後に2で割る手順は大小どちらにも共通なので、面積も4倍になります。向きを変えて置いてあっても、対応する底辺に垂直な高さを選ぶことが必要です。

相似比が2対3なら、面積比は、前どうしと後ろどうしをそれぞれ掛けて4対9です。このとき4と9は面積の値そのものではなく、面積を分けて考えた比の数です。実際の面積は、どちらかの面積がわかって初めて決まります。

たとえば、辺の比が2対3という情報だけで「面積は4 cm²と9 cm²」とは決められません。8 cm²と18 cm²でも比は4対9です。比は大きさの関係を示し、単位の付く面積とは役割が違います。

比を扱うときは、図形の名前も比の横に書いておくと安全です。左に描かれたものが小さいとは限らず、紙を回すと上下も入れ替わります。小さい方を先にすると決めたら、辺の比も面積の比も同じ順に並べます。途中で逆に並べると、大きい図形の面積が小さい図形より小さくなるなど、条件と合わない答えが出ます。

敷き詰めがうまく見えない場合は、まず紙に同じ大きさの正方形を描いて切り、横と縦に並べます。横に2枚置けたところで、縦にも同じ数の列が必要かを見るのがポイントです。図形が相似でない場合は、縦と横の伸び方が異なることがあります。そのときは一方の辺の倍率を2回掛ける方法を使えません。

基本例題：小さい面積から大きい面積へ

問題。2つの正方形の対応する辺の長さは、小さい方から順に4 cm、6 cmです。小さい正方形の面積を使って、大きい正方形の面積を整数で求めましょう。

図2では、どちらも正方形なので相似です。小さい正方形の面積と、対応する辺の比を別々に用意します。

まず辺の長さを小さい方から並べて約分します。

4 : 6 = 2 : 3

次に、面積の比を作ります。

2 × 2 : 3 × 3 = 4 : 9

小さい正方形の面積は、辺が4 cmなので次のようになります。

4 × 4 = 16 cm²

面積比の4に当たる広さが16 cm²です。比の1に当たる広さは次の通りです。

16 ÷ 4 = 4 cm²

大きい方は比の9に当たるため、1に当たる広さを9回分取ります。

4 × 9 = 36 cm²

答えは36 cm²です。直接6 × 6を計算しても36 cm²なので、辺の長さからの計算とも一致します。比の4で割るのは、小さい面積を比の4個分として等しく分けるためです。辺の比の2で割ってしまうと、面積の比に直した意味が失われます。

大きい図形の面積が先に与えられた場合も、同じ表を使えます。面積比の大きい方の数で与えられた面積を割り、比の1に当たる広さを出してから、小さい方の数を掛けます。計算の順番が変わっても、小さい方と大きい方の対応は変えません。

差から面積を戻す例題

問題。相似な2つの三角形の対応する辺の比は、小さい方から大きい方の順に3 : 5です。大きい三角形の面積は、小さい三角形より64 cm²広いとします。それぞれの面積を整数で求めましょう。

両方の面積がわからなくても、差が比の何個分かを使えます。まず長さの比を面積の比に直します。

3 × 3 : 5 × 5 = 9 : 25

大きい方と小さい方の面積の差は、比の数で次の個数に当たります。

25 − 9 = 16

この16個分が64 cm²です。1個分の面積は次のようになります。

64 ÷ 16 = 4 cm²

小さい方は9個分です。

4 × 9 = 36 cm²

大きい方は25個分です。

4 × 25 = 100 cm²

答えは小さい方が36 cm²、大きい方が100 cm²です。100 − 36 = 64 cm²なので、与えられた差にも合います。差の64 cm²を面積比の25に当てると、大きい三角形全体を差と取り違えます。問題が「大きい方の面積」を示しているのか、「2つの面積の差」を示しているのかに線を引いて区別します。

三角形の形が具体的に描かれていなくても、相似という条件と辺の比があるので面積の比は決まります。ただし、差も一方の面積も与えられなければ、実際の面積は決まりません。比の数字だけをcm²として答えず、何個分の広さが与えられたかを探します。

面積比から実際の面積を出す方法は、分配にも差にも使えます。2つの面積の合計が与えられた場合は、比の数を足した個数が合計に当たります。差が与えられた場合は、比の数を引いた個数が差に当たります。どちらもまず面積比を作り、実際に与えられた量が何個分なのかを決めてから割ります。

相似比がわかっても、図形の周りの部分を求めるときには注意が必要です。小さい図形が大きい図形の内側にあるという条件があれば、周りの部分は大きい面積から小さい面積を引けます。しかし、2つが別々に描かれているだけなら、重なりや周りの部分の広さは決まりません。図の位置関係を読み取ってから引き算を選びます。

辺の2倍を面積の2倍にしたとき

ある正方形の辺が2 cmで、別の正方形の辺が4 cmだとします。「辺が2倍だから面積も2倍」として、小さい面積4 cm²に2を掛け、8 cm²とするのは誤答です。

図3の大きい正方形は、小さい正方形と同じ正方形4枚に分けられます。横に2枚並べたところで数えるのをやめると、もう1列分を落とします。実際には縦にも2列あるため、4枚分です。

小さい方は2 × 2 = 4 cm²、大きい方は4 × 4 = 16 cm²です。4 × 4 = 16と、直接計算でも一致します。誤答の8 cm²は、小さい正方形2枚分にしかなりません。2倍という言葉を見たら、何の2倍かを「辺」と書き、面積は図の縦と横の両方を数えて直します。

反対に、面積が4倍なら辺も4倍とするのも誤りです。相似な図形では、2を2回掛けると4になるので、対応する辺は2倍です。面積の数字を見てすぐ辺へ移す前に、同じ数を2回掛ける確かめをはさみます。

練習：比の向きと与えられた量を読む

次の図形はそれぞれ相似です。面積は整数で、辺の比は最も簡単な整数の比で答えましょう。辺の長さを求める問題は整数のcmで答えます。

1. 2つの正方形の対応する辺の比は、小さい方から大きい方へ1 : 3です。小さい方の面積が7 cm²のとき、大きい方の面積を求めましょう。
2. 2つの相似な三角形の対応する辺の比は、小さい方から大きい方へ4 : 5です。大きい方の面積が75 cm²のとき、小さい方の面積を求めましょう。
3. 2つの相似な五角形の面積の比は、小さい方から大きい方へ25 : 49です。小さい方の対応する辺が10 cmのとき、大きい方の辺を求めましょう。辺の比も答えます。
4. 2つの相似な長方形の対応する辺の比は、小さい方から大きい方へ1 : 2です。面積の差が27 cm²のとき、それぞれの面積を求めましょう。

練習の答えと考え方

1. 面積比は1 × 1 : 3 × 3 = 1 : 9です。小さい方の7 cm²が1に当たるので、7 × 9 = 63 cm²です。答えは63 cm²です。辺の3倍をそのまま掛けず、面積の9倍を使います。

2. 面積比は4 × 4 : 5 × 5 = 16 : 25です。大きい方の25に当たる面積が75 cm²なので、1に当たる面積は75 ÷ 25 = 3 cm²です。小さい方は3 × 16 = 48 cm²です。答えは48 cm²です。大きい方から計算を始めても、比の順は小さい方からのまま保ちます。

3. 5 × 5 = 25、7 × 7 = 49なので、辺の比は5 : 7です。小さい方の辺10 cmが5に当たります。10 ÷ 5 = 2 cmが比の1に当たり、2 × 7 = 14 cmです。答えは辺の比が5 : 7、大きい方の辺が14 cmです。25 : 49を辺の比にすると、面積へ直すときにもう一度大きくなってしまいます。

4. 面積比は1 × 1 : 2 × 2 = 1 : 4です。差は4 − 1 = 3個分です。27 ÷ 3 = 9 cm²が1個分ですから、小さい方は9 cm²、大きい方は9 × 4 = 36 cm²です。答えは9 cm²と36 cm²です。36 − 9 = 27 cm²と差も確かめられます。

答え合わせでは、計算結果の大小も見ます。大きい図形を小さい図形より狭いと答えた場合は、比の順を逆に使った可能性があります。差を求める問題で大きい面積より差の方が大きくなった場合も、与えられた量を当てた場所を見直します。計算が合っているかどうかと、問題の条件に合っているかどうかを両方確かめます。

辺の比を逆算するとき、面積の比の数を2で割る方法は使えません。たとえば面積比が1 : 9なら、1と3をそれぞれ2回掛けて1と9になるので、辺の比は1 : 3です。比は単位のない関係で、実際の辺の長さを決めるには、対応する辺の長さが少なくとも一方について必要です。

計算の途中では、長さにcm、面積にcm²を付けて書きます。比の数には単位を付けず、1個分の面積に戻したところでcm²を付けると、量の取り違えに気づきやすくなります。

覚えておくこと

• 相似の条件と、対応する辺の順を先に確かめます。
• 面積比は相似比のそれぞれの数を2回掛けて作ります。
• 面積が比のどの数に当たるかを見て、1に当たる面積を出します。
• 差が与えられたら、面積比の差に当てます。
• 面積比から辺へ戻すときは、同じ数を2回掛けて確かめます。

お子さまが迷ったときの見守り方

まず「2倍は辺と面積のどちらかな」と問い、問題文の言葉を指してもらいます。次に、正方形を横2枚、縦2列に分け、何枚になるかをお子さま自身に数えてもらいます。面積比が出た後は、与えられた面積が小さい方、大きい方、差のどれかを尋ね、表の該当する場所に書くまで待ちます。

計算を急いで代わりに進めるより、比の順と単位が合っているかを最後に一緒に見ます。答えが違うときは、辺の比から面積の比へ移る行と、面積を比に当てる行を別々に確かめます。敷き詰めた4枚を数える一歩が、辺と面積の違いを目に見える形にします。