高校数学III・C 複素数とベクトルの軌跡答案—必要条件と十分条件を分けて書き切る｜武蔵野個別指導塾

半円の移動と内分点の問題を解き、候補点から元の動点を復元して円弧の範囲と除外点を確定します。

理系高3の演習で、動点の座標から円の方程式を得て、軌跡の候補だけを書いて答案を終える場面がよくあります。ところが、元の点が半円上に限られていれば、円周の反対側は実現しないかもしれません。元の点を除く条件があれば、候補の端にも穴が空きます。候補の中の点を実際に作り直せるかを調べて、答案を閉じましょう。

どの条件を先に運ぶか

出方の1つは、円周上の動点を一定の割合で移す問題です。中心からの距離を使うと新しい円が候補になり、動点の上下や端点の条件が円弧を切り出します。複素数では差の絶対値、ベクトルでは長さと成分が対応します。

もう1つは、動点から作った線分の中点や内分点を追う問題です。位置ベクトルの一次式を逆に解けば、候補の点から元の点を復元できます。係数が0でないことを確認してから割り、復元した点が元の範囲に入るかを調べます。

さらに、向きの条件が内積で与えられることもあります。円の式と半平面の不等式を同時に残すと、円周のどちら側が必要かが見えます。円の式だけを残すと、長さは合っていても向きが違う点を採用してしまいます。

候補から元の点へ戻る道

軌跡は、指定された条件を満たして動く点が実際に通る点の集合です。必要条件は、元の条件から候補の条件が必ず従うことです。十分条件は、候補の各点について、元の条件を満たす点を構成し、そこからその候補点が得られることです。両方を示して初めて集合の一致が言えます。

複素数 z = x + yi を点 P に対応させると、|z − a| は P と複素数 a に対応する点との距離です。一方、原点を O とすると、位置ベクトル OP の長さも同じ距離を成分から表します。例えば w = 2z + 1 なら、w − 1 = 2z です。係数2は正で0ではないので、長さは2倍になり、虚部の符号も保存されます。逆に z = (w − 1)/2 と置けるため、候補点を戻せます。

図1のように、元の条件から候補へ進んだ後、候補から元の条件へ戻す矢印を別に考えます。逆向きでは円の式だけでなく、半平面、端点の等号、分母が0にならない条件まで戻す必要があります。係数が負や複素数なら上下がそのまま保たれるとは限らず、成分を計算して判断します。

図1の左に元の動点の範囲、右に候補の範囲を書き、片道ごとに根拠を添えると確認漏れを見つけやすくなります。候補が空の場合も、逆に構成する点がないことまで含めて結論を述べます。

基本例題：半円を移した円弧

点 P は原点 O を中心とする半径1の円周のうち、y座標が0以上の部分を動きます。ただし P = (1, 0) を除きます。点 Q は Q = (2x + 1, 2y) と定めます。ただし P = (x, y) です。Q の軌跡を方程式と不等式、除外点で正確に表してください。

図2のように、P の半円は Q の中心 (1, 0)、半径2の上半円へ移ります。右端は元の P で除かれているので白丸にします。まず候補を出し、次に候補から P を作り直します。

Q = (X, Y) とします。P の条件は x² + y² = 1、y ≥ 0、(x, y) ≠ (1, 0) です。複素数 z = x + yi、w = X + Yi を使えば、w = 2z + 1 です。したがって次を得ます。

w - 1 = 2z
|w - 1| = 2|z|
|w - 1| = 2
Y = 2y ≥ 0

また P = (1, 0) に対応する Q は (3, 0) です。2で割って元に戻せるので、他の P が (3, 0) に移ることはありません。よって必要条件は (X − 1)² + Y² = 4、Y ≥ 0、(X, Y) ≠ (3, 0) です。

逆に、この3条件を満たす Q を任意に取ります。z = (w − 1)/2 と置き、対応する点を P とします。すると |z| = |w − 1|/2 = 1、Im z = Y/2 ≥ 0 です。さらに Q ≠ (3, 0) から z ≠ 1 です。P は元の動く範囲に入り、2z + 1 = w なので指定の Q が得られます。以上から、必要条件として得た円弧が軌跡です。

ベクトルでも同じ道筋をたどれます。C = (1, 0) とすると、ベクトル CQ = 2ベクトル OP です。長さから CQ = 2、縦成分から Y ≥ 0 を得ます。逆に候補の Q に対してベクトル OP = (1/2)ベクトル CQ と定めれば、OP = 1、P の縦成分は非負です。除外点も係数が0でないため対応します。複素数の絶対値とベクトルの長さは同じ幾何条件を表し、逆向きの式まで揃うことが要点です。

標準例題：内分点を逆算する

A = (0, 0)、B = (6, 0) とします。点 P は、A を中心とする半径3の円周のうち y座標が0以下の部分を動きます。ただし P = (0, -3) を除きます。線分 BP を B から P へ 1 : 2 に内分する点を Q とします。Q の軌跡を方程式、不等式、除外点で表してください。

P = (x, y)、Q = (X, Y) とすると、内分の定義から次のようになります。

ベクトル OQ = (2ベクトル OB + ベクトル OP)/3
X = 4 + x/3
Y = y/3
x = 3(X - 4)
y = 3Y

元の条件 x² + y² = 9 に代入すると、9(X − 4)² + 9Y² = 9、すなわち (X − 4)² + Y² = 1 です。y ≤ 0 から Y ≤ 0 です。除いた P = (0, -3) は Q = (4, -1) に対応します。

逆に (X − 4)² + Y² = 1、Y ≤ 0、Q ≠ (4, -1) を満たす点 Q を取ります。P = (3(X − 4), 3Y) と定めると、x² + y² = 9、y ≤ 0 です。Q が除外点でないので P ≠ (0, -3) です。この P に内分の式を適用すると Q に戻ります。したがって軌跡は中心 (4, 0)、半径1の下半円から (4, -1) を除いたものです。端点 (3, 0)、(5, 0) は元の半円に含まれ、いずれも残ります。

複素数表示では B を6、P を z、Q を w とすれば w = (12 + z)/3 です。|z| = 3 から |w − 4| = 1、Im z ≤ 0 から Im w ≤ 0 が出ます。逆式 z = 3(w − 4) に候補の条件を代入すれば、同じ十分性を確かめられます。内分の比を逆にすると中心も半径も変わるので、Q が B に近い側にあることを式と見比べます。

発展例題：向きの条件で弧を切る

A = (2, 0)、B = (0, 2) とします。点 P は原点を中心とする半径2の円周を動き、ベクトル OP とベクトル AB の内積は0以上とします。ただし P = B は除きます。Q を線分 AP の中点とするとき、Q の軌跡を方程式と不等式、除外点で表してください。

P = (x, y)、Q = (X, Y) とします。ベクトル AB = (-2, 2) ですから、元の向きの条件は -2x + 2y ≥ 0、つまり y ≥ x です。中点の式と逆式は次の通りです。

X = (2 + x)/2
Y = y/2
x = 2X - 2
y = 2Y

円周の条件と向きの条件をそれぞれ移します。

(2X - 2)² + (2Y)² = 4
(X - 1)² + Y² = 1
2Y ≥ 2X - 2
Y ≥ X - 1

P = B に対応する点は (1, 1) です。よって候補は (X − 1)² + Y² = 1、Y ≥ X − 1 から (1, 1) を除いた円弧です。境界直線と円の交点は (1 + 1/√2, 1/√2)、(1 − 1/√2, -1/√2) です。両点では内積が0で、除外点でもないので含みます。

逆に候補上の Q を任意に取って P = (2X − 2, 2Y) と置きます。円の式から x² + y² = 4、半平面の条件から y ≥ x です。Q ≠ (1, 1) なので P ≠ B です。中点の式に戻すと ((2 + x)/2, y/2) = (X, Y) となります。したがって候補の各点は実現し、上の円弧が軌跡です。

複素数では z = x + yi、w = X + Yi とすれば w = 1 + z/2 です。|z| = 2 は |w − 1| = 1 に移ります。内積の条件は実部と虚部を使い Im z ≥ Re z と表せるので、2Im w ≥ 2Re w − 2 です。ここでも z = 2(w − 1) で戻して範囲を確認します。絶対値の式だけでは、向きの条件で切られた側を選べません。

間違った答案を直す

基本例題で「|w − 1| = 2 だから軌跡は中心 (1, 0)、半径2の円周である」と書くと、図3の下側まで含めてしまいます。例えば Q = (1, -2) は円の式を満たしますが、逆算すると P = (0, -1) です。元の P の y座標は0以上なので、この点は作れません。また Q = (3, 0) も逆算すると除かれた P = (1, 0) になります。

原因は、等式を得た方向と、その逆方向を混同したことです。円周に入ることは必要ですが、それだけでは十分ではありません。図3のように下側と右端を調べると、失った条件が見えます。

修正答案では「軌跡は (X − 1)² + Y² = 4、Y ≥ 0、(X, Y) ≠ (3, 0) である」と書き、候補の任意の点に対して P = ((X − 1)/2, Y/2) を構成します。この P が単位円上で、上半平面にあり、除外点と異なることを順に示します。最後に Q = (2x + 1, 2y) で元の候補点が再現されると書けば、逆の確認まで完了です。

端点を調べる際は、図で白丸か黒丸かを先に決めるだけで終えません。端点を逆算して元の点が許されるかを調べます。円弧の途中の除外点も、端点だけを調べていると残してしまうため、除いた元の点の像を個別に追います。

練習問題

各問で軌跡を正確な方程式と不等式で示し、除外点があれば明記してください。必要条件と十分条件の両方を説明します。

1. P は原点中心、半径4の円周上で x ≥ 0 を満たします。Q = (x/2, y/2 + 3) とするときの Q の軌跡を求めてください。
2. P は原点中心、半径2の円周上で y ≤ 0 を満たし、P = (2, 0) を除きます。Q = (x − 3, y + 1) とするときの軌跡を求めてください。
3. A = (0, 3)、P は原点中心、半径3の円周上で x ≤ 0 を満たします。Q を AP の中点とするときの軌跡を求めてください。
4. P は原点中心、半径2の円周上で y ≥ x を満たします。Q = (-x, -y) とするときの軌跡を求めてください。
5. P は原点中心、半径1の円周上で x + y ≥ 0 を満たし、P = (1, 0) を除きます。Q = (3x + 2, 3y − 1) とするときの軌跡を求めてください。

練習の解答と逆の確認

1. Q = (X, Y) とすると x = 2X、y = 2(Y − 3) です。

x² + y² = 16
4X² + 4(Y - 3)² = 16
X² + (Y - 3)² = 4
x ≥ 0 より X ≥ 0

逆にこの2条件を満たす Q から P = (2X, 2(Y − 3)) を作ると、P の長さは4で x ≥ 0 です。指定の式で Q に戻るので、中心 (0, 3)、半径2の右半円が軌跡です。上下の端点も許されます。

2. x = X + 3、y = Y − 1 です。したがって (X + 3)² + (Y − 1)² = 4、Y ≤ 1 です。除いた P = (2, 0) の像は (-1, 1) です。逆に候補上の点から P = (X + 3, Y − 1) を作れば、半径2、y ≤ 0 を満たし、Q ≠ (-1, 1) なら P ≠ (2, 0) です。移動の式で Q が再現されます。中心 (-3, 1) の下半円から (-1, 1) を除きます。

3. 中点の式は X = x/2、Y = (3 + y)/2 です。逆式は x = 2X、y = 2Y − 3 です。

(2X)² + (2Y - 3)² = 9
X² + (Y - 3/2)² = 9/4
x ≤ 0 より X ≤ 0

候補上の Q から P = (2X, 2Y − 3) を定めると、P は半径3の円周上で x ≤ 0 です。A と P の中点は元の Q になります。軌跡は中心 (0, 3/2)、半径3/2の左半円です。

4. 逆式は x = -X、y = -Y です。円の式は X² + Y² = 4 で、y ≥ x は -Y ≥ -X、すなわち Y ≤ X となります。逆にこの条件を満たす Q から P = (-X, -Y) とすると、P は元の円周と y ≥ x を満たします。再び符号を反転すると Q に戻るため、指定された半平面側の円弧が軌跡です。境界では等号が成立し、端点を含みます。

5. 逆式は x = (X − 2)/3、y = (Y + 1)/3 です。円の式は (X − 2)² + (Y + 1)² = 9 です。向きの条件は X − 2 + Y + 1 ≥ 0、つまり X + Y ≥ 1 です。除いた P = (1, 0) の像は (5, -1) です。逆に候補上でこの点以外の Q を取り、逆式で P を作ると、単位円上で x + y ≥ 0、P ≠ (1, 0) となります。元の式に代入して Q が戻るので、この円弧から (5, -1) を除いた集合が軌跡です。

答案を点検する順番

元の範囲から円と不等式を出します。 除外点と等号の対応を調べます。 候補の任意の点から元の点を作ります。 元の条件と再現を確かめ、軌跡を結論します。

円全体を書いてしまう場合は、元の不等式を Q の座標へ移せるかを見ます。端点だけが曖昧な場合は、等号を代入して元の動点が許されるかを確認します。個別指導では、候補の点を1つ指定し、逆式で作った P が元の円と範囲の両方を満たすかを説明してもらいます。その後、任意の候補点へ同じ計算を広げられるかを確かめます。必要と十分の往復が、円弧の軌跡を答案にします。