高校数学III・C 微分と不等式の記述答案—定義域と等号条件の省略を修正する｜武蔵野個別指導塾

対数や指数を含む文字入りの不等式を、割る式の符号と端点から点検し、必要十分性と等号条件へ結びます。

よくあるのは、理系高3の演習で、割った式の符号と等号条件を書かないまま結論へ進む場面です。計算結果が合っていても、割る数が負になる場所や0になる場所を調べなければ、同じ変形を定義域全体で使った理由は伝わりません。文字を含む不等式を題材に、微分で得た増減を元の条件へ戻す順番を練習します。

何を固定して比べるか

出方の1つは、実数の定数 a について、指定された範囲のすべての x で不等式が成立する条件を求める形です。a を固定し、x を動かします。例えば正の式で割って a ≥ g(x) と直せたなら、g の最大値や上限と a を比べます。負の式で割れば不等号の向きが変わり、0の点では割れません。まず分母や係数の符号を確認します。

もう1つは、与えられた a のもとで不等式を証明し、等号の成立する x を求める形です。左右の差を f(x) とし、f(x) ≥ 0 を示します。f′(x) の符号から f の最小値を特定し、その値が0となる点を調べます。導関数が0となる点は候補であって、それだけで元の式の等号を意味しません。

さらに、境界値が定義域に含まれないときは、端に近づく極限と実際に取る値を分けます。最小値を取らなくても下限は条件を決めます。必要性では条件に反する定数が使えない理由を示し、十分性では残った定数が各 x に対して実際に働くことを示します。

差の符号を定義域から追う

対数 log x の定義域は x > 0 です。連続で微分可能な関数の導関数が区間の内部で正なら、その区間で関数は増加します。負なら減少します。定義域を区切って増減を比べるときは、接続する点が定義域に含まれるかも確認します。

図1のように、仮定から差の関数を作り、導関数の符号を元の差の符号へ戻します。a の範囲を求めるときは、その後に必要性と十分性を分けます。どこで割るかを先に書けば、不等号を逆向きにすべき場所も見落としにくくなります。

図1の最後の等号は、最小値の値と、その値を与える点の両方から決まります。例えば f′(c) = 0 でも f(c) > 0 なら、c で元の不等式に等号は成立しません。逆に、定義域の端点で等号になるとき、そこで導関数が0とは限りません。

除法に頼る場合も同じです。x > 0 なら x で割っても向きは保たれます。x < 0 なら逆向きになり、x = 0 では元の式に直接代入します。この3つを分けず、変形した式をそのまま全域に延ばす答案は成立しません。

基本例題：対数の係数を決める

実数 a に対し、すべての x > 0 で log x ≤ a(x − 1) が成り立つための a の範囲を求め、成立する場合の等号条件を答えてください。

まず x = 1 では両辺が0です。一方、x − 1 は x > 1 で正、0 < x < 1 で負ですから、全域で一律に割ることはできません。図2のように、1の両側から条件を調べます。

必要性を示します。x > 1 では、元の不等式から

a ≥ log x / (x - 1)

です。log x は x = 1 で微分可能で、導関数の値は1です。したがって右辺は x → 1 + 0 で1に近づき、a ≥ 1 です。同様に 0 < x < 1 では割る数が負なので

a ≤ log x / (x - 1)

です。x → 1 − 0 で右辺は1に近づき、a ≤ 1 です。よって必要な条件は a = 1 です。極限を使う理由は、固定した a がそれぞれの範囲のすべての x について上または下から抑えるからです。

十分性を示します。a = 1 として、x > 0 で

f(x) = x - 1 - log x
f′(x) = 1 - 1/x
       = (x - 1)/x

とおきます。分母 x は正なので、f′(x) は 0 < x < 1 で負、x = 1 で0、x > 1 で正です。f は1まで減少し、その後増加します。f(1) = 0 より、すべての x > 0 で f(x) ≥ 0 です。したがって a = 1 は十分で、求める範囲は a = 1、等号は x = 1 のときです。

元の式に戻すと log 1 = 0、1 − 1 = 0 です。両側で厳密に減少・増加するため、ほかに等号となる点はありません。x = 1 を割り算から除いたことと、元の式に戻して等号を調べたことは別の操作です。

標準例題：係数の正負と必要十分性

実数 a に対し、すべての実数 x で eˣ ≥ 1 + ax が成り立つための a の範囲を求め、等号条件を答えてください。

必要性では x = 0 に近い点を使います。x > 0 なら x で割って

a ≤ (eˣ - 1)/x

です。x < 0 なら不等号が逆になり、

a ≥ (eˣ - 1)/x

です。指数関数は0で微分可能で導関数の値が1なので、どちらの側からも商の極限は1です。したがって a ≤ 1 かつ a ≥ 1 であり、a = 1 が必要です。x = 0 自体は商に入れられませんが、元の式では両辺が1で等号になります。

十分性では、全実数で微分可能な関数

g(x) = eˣ - 1 - x
g′(x) = eˣ - 1

を考えます。指数関数は増加し e⁰ = 1 なので、g′(x) は x < 0 で負、x > 0 で正です。g は0で最小となり、g(0) = 0 です。したがって g(x) ≥ 0 が全実数で成立し、等号は x = 0 のときに限ります。a = 1 を元の式に戻しても両辺は1です。

必要性の一方だけで a ≤ 1 と結論する失敗には、例えば a = 0 と x = -1 を代入して気づけます。e⁻¹ < 1 なので e⁻¹ ≥ 1 は成立しません。この反例は a = 0 が使えないことを示しますが、a = 1 の十分性を示すには上の増減が必要です。

発展例題：含まれない境界と等号

実数 a に対し、すべての x > 0 で log(1 + x) ≥ ax が成り立つための a の範囲を求め、成立する場合の等号条件を答えてください。

x は正なので、x で割っても不等号の向きは変わりません。すべての x > 0 について

a ≤ h(x)
h(x) = log(1 + x)/x

となる条件を求めます。h は x > 0 で微分可能です。商の微分により

h′(x) = {x/(1 + x) - log(1 + x)}/x²

です。分母 x² は正ですから、分子の符号を調べます。

q(x) = log(1 + x) - x/(1 + x)
q′(x) = 1/(1 + x) - 1/(1 + x)²
      = x/(1 + x)²

q は x ≥ 0 で連続、x > 0 で微分可能で、q(0) = 0 です。x > 0 で q′(x) > 0 だから q(x) > 0 です。従って h′(x) < 0 であり、h は正の範囲で減少します。

下限を調べるため、t = √(1 + x) とおきます。t > 1 で、log t ≤ t − 1 が基本例題から成立するので、

0 < log(1 + x)/x
  = 2 log t/(t² - 1)
 ≤ 2(t - 1)/((t - 1)(t + 1))
  = 2/(t + 1)

です。x → ∞ で t → ∞ だから、はさみうちにより h(x) → 0 です。0は h の値としては取られませんが下限です。もし a > 0 なら、この極限の定義から h(x) < a となる十分大きい x があり、元の不等式はその点で成立しません。よって a ≤ 0 が必要です。

逆に a ≤ 0 なら x > 0 により ax ≤ 0 です。また 1 + x > 1 なので log(1 + x) > 0 です。従って log(1 + x) > ax がすべての x > 0 で成立します。求める範囲は a ≤ 0 で、いずれの場合も等号はありません。x = 0 を代入すれば等号になりますが、問題の定義域に含まれないため採用しません。

誤答を読み直す：割る前と後

基本例題で次の答案を考えます。「log x ≤ a(x − 1) を x − 1 で割ると a ≥ log x/(x − 1)。x → 1 で a ≥ 1。よって a ≥ 1」。図3のように、x − 1 の符号が途中で変わる点が原因です。x = 1 では割ることもできません。

図3の左側では負の数で割るため a ≤ log x/(x − 1) と直します。両側の極限から a = 1 が必要です。さらに差の関数の最小値を用いて、その値で全域に成立することを確かめます。例えば誤答が許す a = 2 と x = 1/2 を元の式に入れると、右辺は -1 です。log(1/2) > -1 なので不等式は破れます。実際、基本例題の不等式を x = 2 に適用すると log 2 < 1 です。

別の誤りは、f′(1) = 0 と書いただけで「等号は x = 1」とすることです。停留点は差の値が0であることを保証しません。修正答案には f の減少と増加、f(1) = 0、ほかの点で差が正であることを書きます。導関数の式が正しくても、結論への橋が抜けていれば証明は完成しません。

自分で試す5問

各問の文字は実数の定数です。条件の答えは不等号または等式で正確に表し、等号があれば x も求めてください。

1. すべての x > 0 で log x ≤ b(x − 2) + log 2 が成立するための b を求めてください。
2. すべての実数 x で eˣ ≥ 1 + x + c x² が成立するための c の範囲を求めてください。
3. すべての x ≥ 0 で eˣ ≥ 1 + d x が成立するための d の範囲を求めてください。
4. すべての x > 0 で log(1 + 2x) ≥ kx が成立するための k の範囲を求めてください。
5. すべての x > 0 で x − 1 − log x ≥ p(x − 1)²/x が成立するための p の範囲を求めてください。

5問の解答と条件への戻し方

1. 接する点を2に移す

x > 2 では x − 2 > 0、0 < x < 2 では x − 2 < 0 です。両側で割る向きを区別して x → 2 とすると、log x の2での導関数は 1/2 なので、b ≥ 1/2 かつ b ≤ 1/2 です。よって b = 1/2 が必要です。

十分性は t = x/2 > 0 とおいて示します。基本例題から

log(x/2) ≤ x/2 - 1
log x - log 2 ≤ (x - 2)/2

です。よって b = 1/2 は十分です。等号は t = 1、すなわち x = 2 のときで、元の式の両辺は log 2 です。

2. 二次の項を加える

x ≠ 0 のとき x² > 0 です。指数関数の正値性より eˣ > 0 ですから、c = 0 は標準例題によって十分です。c < 0 でも c x² ≤ 0 なので同じ不等式が成立します。x ≠ 0 では標準例題の差が正で、等号は x = 0 に限ります。

必要性を調べます。c > 0 とすると、x = -t、t > 0 を代入した右辺は 1 − t + c t² です。t ≥ 2/c なら c t² − t ≥ c t²/2 となり、t を十分大きく取れば右辺は1より大きくなります。一方 e⁻ᵗ < 1 です。元の不等式が破れるので c > 0 は不適です。答えは c ≤ 0、等号は x = 0 です。実際に0を代入すると両辺は1です。

3. 端点を含む半直線

x > 0 で割ると d ≤ (eˣ − 1)/x です。x → 0 + で右辺は1に近づくため、d ≤ 1 が必要です。十分性は標準例題から eˣ ≥ 1 + x ≥ 1 + d x として得られます。x > 0 では最初の不等号が厳密なので等号はありません。x = 0 を元の式へ代入すると両辺が1となり、等号は x = 0 です。

4. 定義域の端で取らない下限

x > 0 で t = 2x とおくと t > 0 です。発展例題から、すべての t > 0 で log(1 + t) ≥ (k/2)t が成り立つ条件は k/2 ≤ 0 です。したがって k ≤ 0 です。実際に k ≤ 0 なら右辺 kx ≤ 0、左辺は正なので、元の式は厳密に成立し等号はありません。k > 0 が不適なことも、発展例題の下限0に戻して確認できます。

5. 正の式で割って下限を探す

x = 1 では元の両辺が0です。x ≠ 1 では (x − 1)²/x > 0 なので、向きを変えずに割れます。

p ≤ r(x)
r(x) = x(x - 1 - log x)/(x - 1)²

ここで r(x) > 0 です。さらに x → 0 + で x log x → 0 だから r(x) → 0 です。この極限は、u = 1/√x として log u ≤ u − 1 を使えば、0 ≤ -x log x ≤ 2(√x − x) から得られます。従って p > 0 なら十分小さい正の x で r(x) < p となり、元の条件が破れます。p ≤ 0 が必要です。

逆に p ≤ 0 なら右辺 p(x − 1)²/x ≤ 0 です。基本例題より左辺は0以上なので、すべての x > 0 で成立します。左辺が0となるのは x = 1 に限り、そこでは右辺も0です。答えは p ≤ 0、等号は x = 1 です。

答案を閉じる前に

定義域と割る式の符号を書き、0になる点は元の式に戻します。 導関数から増減を示し、差の値と等号を結びます。 文字の範囲は必要性と十分性の両方で確定します。 端点が含まれない場合は、極限と等号を区別します。

途中式が止まる位置を見ると、次に確かめる箇所が絞れます。符号表を作れても結論が逆なら、負の式で割った行を一緒に追います。増減表から等号へ飛ぶ場合は、元の差の値を代入してもらいます。個別指導では、定数を固定して変数を動かす意味、境界の点を採用できるか、候補の定数で全域に成立するかを順に言葉にして確かめます。符号と等号がつながれば、文字入りの不等式も根拠を持って書き切れます。