共通テスト数学の数学的帰納法で止まる—仮定を使える式の部分を見つける｜武蔵野個別指導塾

和の最後の項を分け、仮定を使う位置と最初の確認をつないで読み解く数学的帰納法。

次の段階の式を全部展開する前に、仮定した段階と同じ部分を探します。その部分を仮定の右辺に置き換え、残った項を合わせて次の形にします。最初の値で成り立つ確認と、次へ進む説明は別々に必要です。

高2の学年末、次の段階を書けたのに仮定を一度も使えなかった演習を思い浮かべてください。式は長くなり、右辺に似た形も見えます。しかし、どこから書き換えてよいか決まらず、両辺をそれぞれ計算して手が止まります。仮定を使う場所を囲み、残りを外に置くと、次に行う操作が見えます。

次の式に前の段階を見つける

たとえば、正の整数 n について、1から n までの整数の和が n(n+1)/2 に等しいことを考えます。ここで扱う式は練習のために作ったものです。和の最後が n なのか n+1 なのかを見落とすと、同じ記号が並んでも別の段階を扱ってしまいます。

n=k で成り立つと仮定すると、1+2+…+k = k(k+1)/2 です。次に示したいのは、1+2+…+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2 という式です。左辺の前半は仮定の左辺と同じで、最後の k+1 は新しく加わった項です。図1のように両者を分けると、どこを置き換え、何を残すかを判断できます。

仮定を使わずに左辺を初めから計算し直そうとすると、すでに持っている等式を使う位置が見えなくなります。反対に、k+1 の段階で成立する式そのものを先に仮定すれば、示したいことを示す前に使う循環になります。仮定は k の段階に限り、次の段階の結論とは区別します。

「…」には省略された連続する項が入ります。たとえば k=2 なら前半は 1+2 で、新しい項は 3 です。k=1 なら前半は 1 で、新しい項は 2 です。省略記号の前後だけを比べるのではなく、最初の項と最後の項、途中の増え方が一致するかを確かめてください。

答案のどこで仮定が働いたか

答案では、まず n=1 のとき左辺が 1、右辺が 1(1+1)/2 でともに 1 となることを示します。続いて k を正の整数として n=k で等式が成り立つと仮定します。ここで k が正の整数という条件を明記すると、どこから順に進む議論かが明瞭になります。

次の段階では、左辺を「仮定した和」と「新しい項」の和として書きます。前半の和を k(k+1)/2 に置き換えた行が、仮定を使った行です。そこに印を付け、置き換え前の和と仮定の左辺を見比べます。記号が似ていても、開始点や終点が違えばそのまま置換できません。

たとえば和が 2 から始まっているのに、1 から始まる仮定をそのまま代入すると、余分な 1 を含めることになります。その場合は、元の和と仮定した和の差を先に書き、差を補う必要があります。見た目が似た式を探すだけでなく、各項の範囲まで一致するかを確かめます。

また、n=k の式を確認することと、n=k+1 の式を導くことは異なります。特定の k に数字を入れて合うのは、式を点検する手掛かりです。それだけでは任意の正の整数 k から次へ進める理由にはなりません。文字のままの変形を残すことで、どの段階にも同じ説明を適用できます。

最後の項を残して置き換える

実際に式をつなぎます。次の段階の左辺を括弧で分けると、(1+2+…+k)+(k+1) です。括弧の中が仮定の左辺と一致するので、そこを k(k+1)/2 に置き換えます。括弧の外の k+1 は置換の対象にせず、そのまま残します。図2は、この順序を表しています。

置換後は k(k+1)/2+(k+1) です。分母をそろえると k(k+1)/2+2(k+1)/2 となり、共通する k+1 をくくれば (k+1)(k+2)/2 です。これは示したかった n=k+1 の右辺に一致します。元の式を変形した方向と、到達した式の役割を言葉でも添えると、等号の意味が追いやすくなります。

最初の確認と次への移行を合わせると、n=1 で成立し、成立する段階からその次の段階へ進めます。したがって、この等式はすべての正の整数 n で成り立ちます。最初の確認があるから出発でき、移行の説明があるからその先へ進めます。どちらか一方だけでは、この結論は得られません。

途中で手が止まったら、次に示す式の左辺を一度そのまま書き、最後に加わる項に線を引いてください。残りが仮定の左辺と完全に同じなら置き換えます。同じでなければ、項の範囲や係数を確認して差を補います。右辺の形を先に眺めて推測するより、置換が許される根拠を一行ずつ残すことが重要です。

計算の結果が目標と一致しないときは、まず新しい項を落としていないか、次に通分の際に分子を変えたか、最後にくくり出した式を展開して戻るかを調べます。たとえば分母を 2 にそろえる前の k+1 を、そのまま分子に足すと値が変わります。誤りの場所を見つけたら、仮定から書き直す必要があるか、通分の行から直せるかを区別します。

積の場合は何を残すか

和では最後の項を足しましたが、積では新しい因子を掛けます。図3のように、前の段階の積と新しい因子を分けてから、仮定を適用します。足し算の例の形をそのまま持ち込まず、式が表す操作を先に確かめます。

ここで一度、説明例を閉じて確かめます。正の整数 m について、奇数を順に掛けた積を P(m) とし、P(m)=1×3×…×(2m-1) と定義します。P(r) がある数 A に等しいと仮定したとき、P(r+1) を A と r を使って表してください。r は正の整数で、A はその段階の積を表します。

答えは P(r+1)=A(2r+1) です。次の積の最後の因子は 2(r+1)-1、つまり 2r+1 です。それより前の積が P(r)=A なので、A に新しい因子を掛けます。A+(2r+1) とした場合は、積の定義に戻って隣り合う因子の間が掛け算であることを確かめます。

最後の因子を 2r-1 とした場合は、それがすでに P(r) の中に入っていることを見直します。r+1 を元の最後の因子の式へ代入し、括弧を外してから整理すると、段階のずれを発見できます。この問題は仮定を置き換える位置の練習であり、A の具体的な値や別の積の公式を求める必要はありません。

和と積を比べるときは、増えた部分の形だけで判断しないようにします。和なら前の和に新しい項を加え、積なら前の積に新しい因子を掛けます。前の部分と新しい部分を結ぶ記号が違うので、仮定した結果を代入した後の操作も変わります。式の端まで写したかどうかが、両者に共通する確認点です。

始まりが変わるときの確認

命題が n=1 からではなく、ある整数から始まる場合には、その指定された値で初めの確認をします。開始値より前を無理に示す必要はありません。ただし、移行の仮定もその開始値以上の整数について置く必要があります。最初に確かめた値と、次へ進める範囲がつながっているかを見ます。

仮定を使う部分が式の一部としてそのまま現れないときもあります。たとえば共通の係数が掛かっているなら、括弧を作り、仮定と一致する部分を見える形にします。括弧を作る前後で式の値が変わらないことを展開で確認し、残った部分を消さずに書きます。形を変える目的は答えを予想することではなく、使える等式の位置を特定することです。

次の段階の右辺から変形を始める場合は、最後にどの式と一致したかを明確にします。目標から正しい式へたどっただけでは、途中の操作が逆向きにも成り立つかが問題になる場合があります。等式の置換や展開の根拠を確認し、答案では仮定から次の結論へ進む道筋を読めるように整えます。

最初の値で左右が違ったなら、次への変形をどれだけ整えても、その開始値からの主張は成立しません。問題の式の写し間違い、開始値、分母を順に確認します。それでも違うなら、仮定を利用する前に命題や条件を確かめ直します。例をいくつか試して合った場合も、一般の移行を示す作業は残ります。

置き換えられない形を直す

仮定した和が見えない場合、次の式を最初から別の方法で計算する前に、仮定との差を調べます。たとえば仮定の和に含まれる最初の項が次の式にはないなら、その項を引いてから新しい項を加える形にできます。逆に余分な項があるなら、その項を足して関係を表します。補正の符号は、具体的な小さい段階を代入して元の式に戻るかを確かめると見落としに気づけます。

仮定の式に係数が掛かっている場合も、全体をその係数倍する必要があります。左辺の一部にだけ掛けて右辺全体を置き換えると、別の等式になります。括弧を付けて係数のかかる範囲を示し、置換後も同じ係数を残してください。展開で元に戻ることを確認してから代入すると、括弧の外の項を誤って含めずに済みます。

仮定を複数回使う形なら、それぞれの適用先を別に記します。異なる段階の式が必要なら、現在の仮定だけでその段階の成立を使えるかも確かめます。使える範囲が足りないときに、必要な式を無言で追加してはいけません。問題の条件や証明の方法を教科書へ戻して確認し、どの段階を仮定するかを改めて決めます。

等号の前後を点検する

等号で結んだ各行は、同じ値を表さなければなりません。仮定による置換、分母をそろえる操作、共通因子をくくる操作は、それぞれ前の行から次の行へ進む理由が異なります。各等号の横に短く理由を書き、説明できない等号がないか確かめます。式が目標に似ているという印象は、等号を置く理由にはなりません。

右辺に到達した後は、最初に書いた目標の式と、終わりの式の括弧や分母を照合します。括弧の中の数字が違っていれば、目標の写し間違いと途中の計算違いの両方が考えられます。まず目標を元の命題に次の段階の文字を代入して作り直し、それから最後の変形を逆にたどります。どちらが誤っているかを決めてから修正すれば、正しい行まで消さずに済みます。

仮定の行が正しくても、基底の確認が欠けた答案は完成していません。また、基底の計算が正しくても、次へ進む行に目標の式を書いただけでは理由が不足します。答案を読む人が、出発点と、任意の段階から次への移行を別々に追えるかを確認します。最後に結論の対象が命題の指定した整数の範囲と一致するかも見直します。

教科書と答案を持って聞く

教科書の数学的帰納法の説明と、自分が止まった行を並べます。質問するときは「仮定のどの部分を、次の式のどこに使えるか」と具体的に示すと、範囲のずれや抜けた項を一緒に調べられます。仮定した等式、次に示したい等式、置き換えた直後の行を残しておくと、計算と論理のどちらで止まったかも区別できます。

自分で見直すときには、仮定の左辺と置き換える部分に同じ印を付け、残りには別の印を付けます。印を付けた後に最初と最後の項を読み上げれば、省略記号に隠れた範囲も確認できます。教科書にある例と記号が違っても、開始、仮定、移行という役割を対応させて読みます。

仮定を使った行が見つからないときは、完成した解答をただ写す前に、仮定と次の左辺を上下に書いて対応を調べます。合う部分が見つかったら、その部分を別の表現へ置き換える理由を声に出して説明します。合わない部分が残ったら、それを消すのではなく、元の操作に従って足すか掛けるかを決めます。説明が途中で途切れた位置が、質問するときに示す場所です。

最初の値と移行のそれぞれに日を置いて再挑戦する場合も、以前の答えを隠し、まず命題の範囲を読み直します。書けなかった行だけを確認し、なぜその行が必要なのかを自分の言葉で説明します。

個別指導で見比べる式

個別指導では、お子さまが書いた仮定の行と次の段階の行を並べ、置き換えに使った範囲を指でたどります。計算結果だけでなく、新しい項を残した行も見ます。止まった箇所が項の切り分けならそこから、通分ならその計算から戻り、同じ式でつなぎ直します。

仮定を次の一歩へ

数学的帰納法では、最初の値を確認し、ある段階での成立を仮定して次へ進めます。和や積の次の式から仮定と同じ部分を切り出し、残りを保ったまま置き換えれば、仮定が結論へ働く場所を示せます。式の境目が、証明の一歩をつなぎます。