共通テスト数学の格子点で一つ多く数える—境界を含む条件を列ごとに確かめる｜武蔵野個別指導塾

整数座標の列を表にして、境界上の点を数え直す手順をたどる格子点の演習です。

境界を含むかどうかは、図の線の見た目だけでなく、与えられた不等号に座標を代入して判断します。整数の x ごとに、許される整数の y を並べれば、端の点を重ねたり余分に加えたりした場所を探せます。格子点という名前から出題の有無を決めるのではなく、整数座標という条件が与えられた問題で、この数え方を練習しましょう。

高2の夏、図の端にある点を含めるかどうかで答えが1つ変わった日を考えます。線上の点を入れた答案と入れない答案を比べても、合計だけではどちらが条件に合うか判断できません。どの点を加えたかを座標で示し、その点がそれぞれの条件を満たすかに戻ると、違いを具体的に調べられます。

端の点が増える場所

たとえば、x と y は整数で、0 ≦ x ≦ 3、0 ≦ y、x + y < 4 を同時に満たす点を数えます。座標の順序は (x, y) です。斜めの境界は x + y = 4 ですが、最後の条件は等号を含まないので、その線上の点は数えません。一方、x = 0、x = 3、y = 0 は、それぞれに対応する不等号が等号を含むため、残りの条件も満たせば数えます。

図1のように、(1, 3) は斜めの線上にあります。1 + 3 = 4 なので、4 より小さいという条件を満たしません。近くの (1, 2) は 1 + 2 = 3 で、ほかの条件も満たします。線に近い点かどうかではなく、等号が許される条件かどうかが分かれ目です。

線を境に塗られた側を見て、端までまとめて数えると、境界上の点を混ぜることがあります。また、端の点をすべて除けば安全というわけでもありません。(3, 0) は x = 3 と y = 0 の両方の境界にありますが、3 + 0 < 4 も成り立つため対象です。同じ「線上」という言葉でも、どの条件の線かを区別します。

さらに、交点では複数の条件を同時に確認します。ある条件で等号が許されても、別の厳しい不等号に一致すれば除きます。たとえば (0, 4) は x = 0 を満たしますが、x + y < 4 を満たしません。1つの条件に合った印を付けた段階では、まだ数に入れられません。

自分の答案のどこを比べるか

合計が1つ違うときは、答えを先に直すのではなく、列ごとの一覧を作ります。自分が数えた点に丸を付け、条件を満たすか疑わしい点には座標を書きます。座標を書けない点は、どの列のどの高さを見たのかが曖昧なので、図の目盛りから書き直します。

特に調べたいのは、斜めの境界に最も近い点です。各列で上端の候補を条件に代入し、等号になった点を誤って入れていないか確認します。その点を除いた後、1つ下の整数も試せば、除きすぎていないかがわかります。図が粗く、点と線が重なって見えるときも、計算による照合を優先します。

間違いには別の形もあります。x が整数でも y が整数とは限らないと思い、線上の実数座標を数え始めることがあります。今回は両方が整数なので、各列には整数の高さしか並びません。また、条件のうち x + y < 4 だけを使うと、負の y を含めてしまいます。領域は複数の条件の共通部分です。各点に対し、x の範囲、y の下限、斜めの条件を順に照合してください。

列を作るとき、x = 3 の列を忘れる誤りもあります。0 ≦ x ≦ 3 は両端を含みますから、整数の x は 0、1、2、3 です。数字の差 3 をそのまま列の数にせず、実際に並べれば4列と確認できます。反対に x = 4 を加えたときは、斜めの条件を考える前に x の範囲から外れます。

点の数と間隔の数を混同した場合も、各座標に印を付けると区別できます。図の線分の長さを数えているのか、整数座標の点を数えているのかを答案の余白に明記します。点は線の端にもあり得るため、間隔の数をそのまま答えにしないことが必要です。

列を作って上端を確かめる

まず x の範囲から4列を決めます。次に x + y < 4 を y < 4 − x と読み替え、各列で許される y を探します。y は整数で、0 以上という条件も残っています。図2のように、上端の等号を除き、下端の 0 を含めて一覧にします。

列ごとの数は 4、3、2、1 です。合計は 4 + 3 + 2 + 1 = 10 点です。たとえば x = 2 の列で y = 2 を候補にすると、2 + 2 = 4 となるため除きます。その下の y = 1 は 2 + 1 = 3 で条件に合います。どの列でも、上端を一律に除いた理由は、その端で最後の不等式が等号になるからです。

各列は x の値が異なるため、同じ座標を2回数えません。列内では y を重複なく並べます。数の合計に進む前にこの2点を確認すると、境界の読み違いと、単なる足し算の誤りを分けられます。合計が違っても列の一覧が一致していれば、まず加算をやり直します。

途中で上端が整数でない場合には、上端そのものを除くだけでは十分な説明になりません。許される整数のうち最大のものを探し、その整数と次の整数をそれぞれ元の不等式に代入します。上端より小さい整数がないときは、その列の点数を 0 と記録します。空の列を表から消すと、列を見落としたのか条件を満たす点がないのかが区別しにくくなります。

図を描き間違えた場合は、図に合わせて式を変更せず、条件を満たす点と満たさない点を代入で決めてから描き直します。線の実線や破線は境界を表すための補助です。手書きで線種が不明瞭になったら、式の不等号に戻り、境界上の座標で等号が成り立つかを調べます。

時間が足りずに列の途中で止まった場合は、未確認の列を空欄のまま区別します。空欄を 0 とみなして合計すると、調べていない列が解なしの列に変わってしまいます。再開するときは最後に確認した x と、その列の上端を残しておき、次の列から条件に代入します。

数え漏れを見つける逆向きの点検

表ができたら、今度は図の側から各点をたどります。横方向に見て数えた列と、図に打った点が対応しているかを確認します。表にある座標が図になければ、図の打ち忘れか、座標の読み違いです。図にある点が表になければ、その点を元の3つの条件に代入し、表に加えるべきか図から除くべきか決めます。表と図のどちらかを無条件に正解とせず、条件を共通の基準にします。

例えば説明例の (3, 1) は、x の範囲と y の下限には合いますが、3 + 1 = 4 なので最後の条件には合いません。図にこの点を塗りつぶしていたら、斜めの境界を含む線として扱っていないか確認します。反対に (0, 0) は3つの条件に合います。原点を境界だからという理由で消した場合は、x と y のそれぞれの等号に戻ってください。

列の表は、計算を急ぐための公式ではなく、数えた対象を残す記録です。x の順序を逆に並べても、各列の中身と合計は変わりません。列を横ではなく縦に書いたり、点を丸印で記したりしても構いません。ただし、何を1列としたかが読めるようにし、同じ点を異なる名前で記録しないようにします。

条件を読み写すときに記号が変わった場合は、どの列からやり直すかにも注意します。斜めの条件の < を ≦ に書き換えたなら、境界上の候補がある列を全部点検します。1つの列を修正しただけでは、別の列の境界点が残るからです。x の上限を誤写した場合は、列そのものの一覧から作り直します。y の下限を誤写した場合は、各列の下端を見直します。

数え終えた後に答えだけを消してしまうと、どこで誤ったか比較できません。元の表を残し、修正した点の横に根拠となる代入を書いておくと、後から自分で確認できます。たとえば境界上の候補に対して、和が 4 になったという計算と、条件が 4 未満であることを隣に置きます。この2つがそろえば、除外した理由を読み返せます。

図や表を作る途中で条件を見失った場合は、作業を続けながら推測するより、元の問題文に戻ります。整数であること、上下の範囲、境界を含むかの3種類を分けて写し、作った表の各欄に対応させます。問題文が読みにくいときは、条件の部分を区切って読み直し、記号の向きと等号の有無をそれぞれ確認します。条件が不明なまま図の見た目で補わないことが、別の答えを作らないための手順です。

点を1つずつ列挙する方法は、範囲が大きくなると書き漏れに注意が必要です。その場合も、各列の最小と最大を記し、整数が連続して並ぶことを条件から確かめたうえで個数を計算できます。範囲が空なら個数は 0 です。列挙を省いた計算を使うときは、小さい列を実際に書いて、端を含めた個数と式が一致するかを試します。

別の境界で試す

斜めの境界に等号が付くと、その線上の整数座標も他の条件を満たす限り数えます。図3は、上端を含む場合と含まない場合の判断の分岐です。境界を含む印を付けた後も、他の条件の確認は必要です。図の線上にあることだけで採用を決めないでください。

ここで、説明例とは別の領域を考えます。整数 u、v が 1 ≦ u ≦ 2、1 ≦ v、2u + v ≦ 6 を満たすとき、点 (u, v) は何個ありますか。列ごとに v を書き出し、斜めの境界上にある点を明示してください。図を先に描く場合も、線上かどうかを式に代入して確かめます。

解答は6個です。u = 1 では 1 ≦ v ≦ 4 なので v は 1、2、3、4 の4個です。u = 2 では 1 ≦ v ≦ 2 なので v は 1、2 の2個です。合計は6個です。境界上の点は (1, 4) と (2, 2) で、いずれも 2u + v = 6 を満たし、ほかの条件にも合います。

もし4個としたなら、等号のある境界上の2点を除いていないか確認します。7個以上になったなら、たとえば u = 2 の列で v = 3 を入れていないか調べます。2 × 2 + 3 = 7 は 6 以下ではありません。別の数になった場合も合計だけを修正せず、各列の点を書き出してから、条件ごとの判定に戻ります。

境界上の点がいつも存在するとは限りません。線の式を満たす座標が整数でなければ、その位置は今回の対象ではありません。逆に、境界上の点が複数ある場合は、1つを確認しただけで残りを判断せず、それぞれが他の条件にも合うかを調べます。条件が矛盾してどの列にも点がない場合には、表の各列が空であることを確かめ、点数を 0 とします。

列の数え方を別の人と比べるときは、合計の一致だけで判定しません。例えば一方が境界上の点を余分に入れ、別の列の点を1つ落としていれば、合計が偶然一致することもあります。列ごとの集合まで一致するかを見れば、相殺された誤りも調べられます。異なる列が見つかったら、候補の点を1つずつ元の条件へ戻し、採用か除外かを決めます。

計算機や表を使って確かめる場合も、入力した不等号が問題文と一致するかを最初に点検します。結果が空だった場合は、条件の組が本当に両立しないのか、範囲や記号の入力を誤ったのかを分けます。途中で道具が止まった場合は、出力がないことを点数 0 と解釈せず、未確認の列を手で調べ直します。

答案を持って確かめる

不等号の読み方が曖昧なら、教科書の不等式と座標の説明に戻り、等号を含む記号と含まない記号を見比べます。質問するときは、問題の条件、自分が描いた領域、列ごとの一覧を一緒に用意します。「境界を入れますか」だけでなく、「この座標を代入すると等号になりますが、この条件では採用できますか」と聞けば、判断したい場所を共有できます。

お子さまの答案を見るときも、合計が合ったかだけで終えず、どの列で上端を判断したか尋ねてみてください。図の線が太くて判別しづらい場合は、座標と式で確かめ直せます。途中の表がない答案なら、答えから逆算するより、条件を使って列を作り直す方が誤りの位置を見つけやすくなります。

個別指導では、書き込んだ図と列の一覧を並べ、境界上の候補を元の式に代入するところから見ます。列を飛ばしたのか、等号を読み違えたのか、足し算でずれたのかによって、戻る場所が変わるからです。点がない列や、複数の境界が交わる点も答案上で区別します。

格子点の数え上げは、列の選択、各列の整数の範囲、境界上の代入、合計の順に確かめられます。境界の点を数に入れる根拠は、その点が与えられたすべての条件を満たすことです。