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高校数学III・C 極限と積分の記述答案—評価式と定理の条件を必要な順で並べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴理系の数学III・C 融合問題と記述答案

固定区間の積分を分割して上から押さえ、予想した極限との差を不等式で小さくする答案を組み立てます。

よくあるのは、理系高3の演習で積分を含む数列の値をいくつか計算し、その表を証明として提出する場面です。値がある数に近づいて見えても、その後ずっと近づき続けることは表からは決まりません。予想した値を基準に差を作り、差の絶対値を0に近づく量で押さえると、極限までの道筋が答案になります。

ここでは有限区間の定積分と数列の極限を結びます。積分の中で極限を取ってから積分する操作は根拠なしには使わず、各段階で成り立つ評価を先に書きます。

どの量を評価するか

積分の中身が非負で、上から扱いやすい関数で押さえられるときは、積分の大小を使います。積分区間が固定されていて上側の積分が0に近づけば、はさみうちで元の積分も0に近づきます。まず非負性と上下関係が区間全体で成立するかを確かめます。

次に、求める値が0以外に見えるときは、予想値をそのまま主張せず差を取ります。積分の線形性によって差を1つの積分にまとめ、その絶対値を評価します。分母を含む場合は分母が正であることも先に示します。

区間を分ける方法もあります。全区間で一様に小さいとはいえなくても、端の短い区間と残りの区間に分け、それぞれを別の理由で小さくできます。分割点を固定してから数列の極限を調べ、その後で分割点を動かす順序が重要です。

評価から結論へ渡す条件

閉区間上の連続関数は定積分できます。同じ区間の各点で f(x) ≤ g(x) なら、積分の大小から ∫[a→b] f(x) dx ≤ ∫[a→b] g(x) dx です。ただし a ≤ b とします。絶対値についても、- |f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| を積分して、積分の絶対値は |f(x)| の積分以下とわかります。

数列 Aₙ が Bₙ ≤ Aₙ ≤ Cₙ を満たし、両端の極限が同じ値 L なら、はさみうちの原理から Aₙ も L に収束します。この原理を使うには、不等式が十分大きいすべての n で成立することと、両端の極限を書く必要があります。表の何行かで不等式を確かめても、この条件を満たしたことにはなりません。

図1のように、区間内の大小を積分の大小へ移し、数列のはさみうちへ渡します。図1の矢印は、いきなり積分と極限を交換するのではなく、各 n での不等式を経由する順番を表しています。

積分区間が変わるときは、その長さと向きも確認します。また、各点での収束は、区間全体で同じ上界を使えることを直ちには意味しません。積分の評価に必要な上界を実際に示すことが、記述答案の中心です。

基本例題：差を非負の積分にする

正の整数 n に対し、Iₙ = ∫[0→1] 1/(1 + nx) dx とします。lim[n→∞] Iₙ を求め、答えを整数で示してください。

被積分関数は [0, 1] で連続です。原始関数を用いて積分できますが、ここでは区間分割により評価し、対数を含む極限の処理を避けます。0 < a < 1 を固定すると、[0, a] と [a, 1] の両方で分母は正です。

0 ≤ 1/(1 + nx) ≤ 1                 (0 ≤ x ≤ a)
0 ≤ 1/(1 + nx) ≤ 1/(1 + na)       (a ≤ x ≤ 1)

したがって、積分の加法性と大小から次を得ます。

0 ≤ Iₙ
Iₙ ≤ ∫[0→a] 1 dx + ∫[a→1] 1/(1 + na) dx
Iₙ ≤ a + (1 - a)/(1 + na)

図2のように、左側は幅 a の長方形、右側は高さ 1/(1 + na) の長方形で押さえています。図2では a = 1/4、n = 4 の場合を描いています。分割点での曲線の高さは 1/2 です。

任意の正の数 ε を取ります。まず 0 < a < min(1, ε/2) と選び、その a を固定します。次に十分大きい n では (1 − a)/(1 + na) < ε/2 なので、0 ≤ Iₙ < ε です。よって定義から lim[n→∞] Iₙ = 0 です。

順序を逆にして、n ごとに選んだ a に対し「固定した a の極限」を使うと、論理の説明が不足します。ここでは a を先に選び、必要な n の大きさをその後に決めました。端点 x = 0 では被積分関数は常に 1 ですが、区間の幅を小さくする評価により、結論は妨げられません。

標準例題：予想値との差を押さえる

正の整数 n に対し、Jₙ = ∫[0→2] (3 + x/n)/(1 + x/n) dx とします。lim[n→∞] Jₙ を求め、答えを整数で示してください。

固定した x では被積分関数は 3 に近づきます。そこで候補を ∫[0→2] 3 dx = 6 として、差を直接調べます。分母 1 + x/n は区間内で 1 以上なので、差の式は連続であり、分母を正のまま評価できます。

Jₙ - 6 = ∫[0→2] ((3 + x/n)/(1 + x/n) - 3) dx
        = ∫[0→2] (-2x/n)/(1 + x/n) dx

0 ≤ x ≤ 2 において次の不等式が成立します。

0 ≤ (2x/n)/(1 + x/n) ≤ 2x/n
|Jₙ - 6| ≤ ∫[0→2] (2x/n)/(1 + x/n) dx
          ≤ ∫[0→2] 2x/n dx
          = 4/n

4/n → 0 ですから、はさみうちにより |Jₙ − 6| → 0 です。したがって Jₙ → 6 です。差を積分する前に、それぞれの関数が固定区間で連続であることを確認したので、線形性を使えます。

また差の被積分関数は非正なので Jₙ ≤ 6 です。値が下側から近づくことは評価と矛盾しません。ただし、下側から近づいて見えるという観察は証明の代わりにはなりません。差を 4/n 以下に押さえたことで、必要な近さを保証できました。

発展例題：区間分割と積分の評価を組み合わせる

積分 ∫[0→1] xⁿ/(1 + x) dx の値を Kₙ とおき、n は正の整数の範囲で動かします。lim[n→∞] nKₙ を求め、答えを分数で示してください。

そのまま Kₙ → 0 を示しても、n 倍した極限は決まりません。そこで xⁿ の積分が 1/(n + 1) であることに注目し、係数 1/(1 + x) を x = 1 での値 1/2 と比較します。どの n でも被積分関数は [0, 1] で連続です。

Kₙ - 1/(2(n + 1))
= ∫[0→1] xⁿ(1/(1 + x) - 1/2) dx
= ∫[0→1] xⁿ(1 - x)/(2(1 + x)) dx

この差は非負です。0 < a < 1 を固定し、[0, a] では xⁿ ≤ aⁿ、[a, 1] では 1 − x ≤ 1 − a を使います。さらに 1/(2(1 + x)) ≤ 1/2 ですから、次が成り立ちます。

0 ≤ n(Kₙ - 1/(2(n + 1)))
≤ (n/2)∫[0→a] aⁿ dx + (n(1 - a)/2)∫[a→1] xⁿ dx
≤ naⁿ/2 + (1 - a)n/(2(n + 1))
≤ naⁿ/2 + (1 - a)/2

0 < a < 1 で naⁿ → 0 です。例えば a = 1/(1 + h)、h > 0 と置けば、二項定理より (1 + h)ⁿ ≥ n(n − 1)h²/2 となり、n ≥ 2 で naⁿ ≤ 2/((n − 1)h²) → 0 と示せます。

任意の ε > 0 に対し、まず (1 − a)/2 < ε/2 となる a を選びます。その a を固定すると、十分大きい n で naⁿ/2 < ε/2 です。したがって差の n 倍は 0 に収束します。一方、n/(2(n + 1)) → 1/2 なので、求める極限は 1/2 です。

この結果は元の積分にも戻して確認できます。1/2 ≤ 1/(1 + x) ≤ 1 より、n/(2(n + 1)) ≤ nKₙ ≤ n/(n + 1) です。求めた 1/2 はこの範囲と矛盾しませんが、この粗い評価だけでは両端の極限が異なるため、答えの証明には足りません。差の評価で初めて両端を0にそろえています。

数値表だけの答案を直す

例として基本例題について「n = 10, 100, 1000 で積分値が小さくなった。よって極限は0」と書いた答案を考えます。数値の傾向は予想には役立ちますが、有限個の値では、それより先のすべての n を制御できません。計算値が正しくても結論に至る根拠が欠けています。

図3のように、観察から予想を立てた後、区間を分けて上界を作り直します。図3の右側では、上界が任意に小さくなる理由まで書くことが必要です。

修正答案では、任意の ε > 0 に対し a を先に固定し、十分大きい n で a + (1 − a)/(1 + na) < ε と述べます。これにより定義に必要な「以後のすべての n」が扱われます。x > 0 で被積分関数が0に近づくと書くだけの答案も、端点を含む積分全体への移行が抜けています。

逆に、上界が0へ収束しないときは、その評価が失敗したのであって、元の数列が収束しないと決まるわけではありません。発展例題の粗い上下界がその例です。差を取り直す、区間を分けるなど、評価する対象を変えます。

練習問題

各 n は正の整数とします。極限は整数または分数で答え、根拠となる評価も示してください。

Aₙ = ∫[0→3] x/(n + x²) dx の極限を求めてください。
Bₙ = ∫[0→1] (2n + x)/(n + x) dx の極限を求めてください。
Cₙ = ∫[0→1] xⁿ(2 − x) dx とする。nCₙ の極限を求めてください。
Dₙ = ∫[0→1] 1/(1 + nx²) dx の極限を、区間を分けて求めてください。
Eₙ = ∫[0→2] x/(1 + x/n) dx の極限を求めてください。

練習の答えと道筋

1

被積分関数は [0, 3] で連続かつ非負です。n + x² ≥ n より、積分の大小を使えます。

0 ≤ x/(n + x²) ≤ x/n
0 ≤ Aₙ ≤ ∫[0→3] x/n dx
0 ≤ Aₙ ≤ 9/(2n)

右端は0に収束するため、答えは0です。元の分母は正で、x = 0 を含む全区間で評価が成立します。正の積分値が0に近づくという結論とも整合します。

2

分母 n + x は正で、被積分関数は連続です。候補 2 の積分値は2ですから、差を取ります。

Bₙ - 2 = ∫[0→1] ((2n + x)/(n + x) - 2) dx
        = -∫[0→1] x/(n + x) dx
0 ≤ |Bₙ - 2| ≤ ∫[0→1] x/n dx
                = 1/(2n)

はさみうちから答えは2です。元の被積分関数は 2 − x/(n + x) であり、2以下という向きも差の符号に一致します。

3

連続な多項式の積分を計算します。

Cₙ = ∫[0→1] (2xⁿ - xⁿ⁺¹) dx
   = 2/(n + 1) - 1/(n + 2)
nCₙ = 2n/(n + 1) - n/(n + 2)

それぞれの分数は1に収束するので、答えは 2 − 1 = 1 です。元の積分では xⁿ と 2 − x は非負です。結果が正であることも元の条件に合います。

4

被積分関数は [0, 1] で連続かつ非負です。0 < a < 1 を固定して、左側では1、右側では 1/(1 + na²) を上界にします。

0 ≤ Dₙ ≤ ∫[0→a] 1 dx + ∫[a→1] 1/(1 + na²) dx
0 ≤ Dₙ ≤ a + (1 - a)/(1 + na²)

任意の ε > 0 に対し、まず a < ε/2 と選びます。その後で n を十分大きくすると第2項も ε/2 未満です。よって答えは0です。x = 0 で被積分関数が1のままでも、左側の区間の幅を押さえているため問題ありません。

5

分母は [0, 2] で正です。候補 ∫[0→2] x dx = 2 との差を評価します。

Eₙ - 2 = ∫[0→2] (x/(1 + x/n) - x) dx
        = -∫[0→2] (x²/n)/(1 + x/n) dx
0 ≤ |Eₙ - 2| ≤ ∫[0→2] x²/n dx
                = 8/(3n)

右端は0に収束するので答えは2です。元の被積分関数は x 以下かつ非負であり、Eₙ が2以下から近づくことも確かめられます。

評価が使えないときの点検

分母の下界を作る際、負の値で割れば不等号の向きは逆になります。分母が0になる点を含む場合は、その点で関数が定義されるかを先に確かめ、連続性を前提に積分の大小を使わないようにします。また、数値計算で小数が0と表示されても、丸めによって小さい正の値が隠れることがあります。表示桁を増やして傾向を調べた後も、結論には区間全体で成立する評価が必要です。

十分大きい n を選ぶ手順では、先に与えられた ε に応じて条件を決めます。ある1つの ε で近さを確認するだけでは、任意の精度で近づくという極限の定義を満たしません。評価が成立する n の範囲も明記すると、有限個の計算と証明の違いが見えます。