高校数学III 水平斜めの漸近線—無限遠で直線との差が零に近づくことを示す｜武蔵野個別指導塾

分数関数の割り算と根号の有理化を使い、左右で異なる直線に近づく理由をたどります。焦点は斜めの漸近線です。

理系高3の演習で、よくあるのは関数値が発散するので漸近線はないとする場面です。曲線の高さが際限なく増えることと、ある斜めの直線に近づくことは両立します。比べる相手を水平線から斜めの直線に変え、同じ横座標での縦の差を追ってみましょう。学習指導要領の数学IIIには導関数を用いる曲線の概形が含まれ、その概形を考える際にも端の様子は手がかりになります。

要点（結論から）

• 同じxで関数値と直線の値を引き、その差が0に近づくかを調べます。
• 水平線は傾き0、斜めの直線は傾きが0でない場合です。
• 正と負の無限遠は別々に調べ、根号では|x|の符号を分けます。

無限遠で何を問われるか

1つ目は、分数式を割り算して直線部分と残りを分ける型です。例えば分子の次数が分母より1大きければ、商に一次式が現れる場合があります。ただし、一次式が現れたことだけでは結論になりません。残りがその方向の無限遠で0に近づくことまで示します。

2つ目は、根号を含む式を有理化する型です。正の無限遠では√(x² + 定数)がxに近づきそうでも、負の無限遠では-xが比較対象になります。平方根は負にならないので、√(x²) = |x|という確認が分かれ目です。左右で違う式を引き、それぞれの差を計算します。

3つ目は、候補の直線が本当に漸近線かを判定する型です。関数と直線の比が1に近づいても、縦の差が0に近づくとは限りません。比の計算は傾きの見当をつける補助として使い、最後は差に戻します。計算の途中で候補が消えたり、片側だけに現れたりする場合も答えに含めます。

直線との差を測る

関数y = f(x)が、調べる向きの無限遠に十分近いところで定義されているとします。正の無限遠において

lim[x→+∞] {f(x) - (ax + b)} = 0

なら、直線y = ax + bはその向きでの漸近線です。負の無限遠でも、x→-∞として同じ差の極限を調べます。a = 0なら水平な漸近線、a ≠ 0なら斜めの漸近線です。横座標をそろえた2点の縦の差が0に近づくという定義であり、2点が同じ場所に落ち着くという意味ではありません。

図1のように、曲線と直線のそれぞれが高くなっても、縦の差が小さくなれば斜めの漸近線になれます。逆に、その差が一定の正の数に近づく場合は、曲線が直線と平行に離れたままです。図1の差は符号付きで考え、負なら曲線が直線より下にあります。符号は上下の判定に役立ち、極限が0かどうかが漸近線の判定を決めます。

候補を式から探すとき、f(x)/xが有限な極限aを持ち、さらにf(x) − axが有限な極限bを持てば、差f(x) − (ax + b)は0に近づきます。この順番は両方の有限な極限を確認して初めて使えます。後者が発散したり振動したりすれば、最初の極限だけで切片を決められません。

この逆も成り立ちます。差をr(x)と置き、r(x)→0ならf(x) = ax + b + r(x)です。xで割るとf(x)/x = a + b/x + r(x)/xなので、調べた向きでは傾きの極限はaです。さらにf(x) − ax = b + r(x)→bです。したがって、同じ方向に2本の異なる直線が同時に漸近線になることはありません。ただし正と負の方向では別々の直線でかまいません。

差が途中で0になることは、漸近線を否定しません。有限の位置で曲線が直線と交わるかどうかと、無限遠で差が0に近づくかどうかは別の問いです。また、分母が0となる有限の点の近くを調べる垂直な漸近線は、ここでの無限遠の直線とは別に考えます。

基本例題：割り算で直線を取り出す

問題。x ≠ 1で定義された関数

f(x) = (x² + x + 1)/(x - 1)

について、正と負の無限遠における水平または斜めの漸近線を、正確な直線の式で求めてください。正の無限遠で曲線が直線の上下どちらにあるかも答えます。

分母はx = 1で0ですが、その点を除けば両方向の無限遠で関数は定義されます。まず分子をx − 1で割り、余りまで残します。

x² + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3
f(x) = x + 2 + 3/(x - 1)
f(x) - (x + 2) = 3/(x - 1)

x→+∞でもx→-∞でも、最後の分数は0に近づきます。したがって、どちらの方向でも斜めの漸近線はy = x + 2です。右へ進むとf(x)も正の無限大に発散しますが、直線も同じように増え、縦の差が消えるため矛盾しません。

図2はx > 1の部分を示します。この範囲では3/(x − 1) > 0なので、曲線は直線の上にあります。xが大きくなるにつれ図2の縦の隔たりが小さくなることも、式から確かめられます。例えばx = 4では直線の値が6、関数の値が7で差は1です。x = 7では直線の値が9、関数の値が19/2で差は1/2です。

答えを元の分数式へ戻す確認もできます。x = 4では分子が21、分母が3なのでf(4) = 7です。x = 7では57/6 = 19/2となり、割り算で得た値に一致します。一方x < 1では余りの分数が負なので、左側の枝は同じ直線の下側にあります。定義されないx = 1をまたいで曲線をつなぐ必要はありません。

この例では一度差を示した後、水平線の候補を別に列挙しなくても、先ほどの一意性から同じ方向の別の直線はありません。差の極限と定義域を書くことで、図の見た目だけに頼らない答案になります。

標準例題：水平線が片側に現れる

問題。すべての実数xで定義された関数

g(x) = (3x² - 2x + 5)/(x² + 4)

の正と負の無限遠における水平または斜めの漸近線を、正確な直線の式で求めてください。さらに、十分大きい正のxと絶対値の大きい負のxで、曲線がその直線の上下どちらにあるかを答えます。

分母x² + 4は常に正です。分子の最高次の項だけを見て水平線の候補を3と予想したら、差を計算します。

3x² - 2x + 5 = 3(x² + 4) - 2x - 7
g(x) = 3 + (-2x - 7)/(x² + 4)
g(x) - 3 = (-2x - 7)/(x² + 4)

分子・分母をx²で割ると、x ≠ 0において

g(x) - 3 = (-2/x - 7/x²)/(1 + 4/x²)

です。x→+∞とx→-∞の両方で分子は0、分母は1に近づきます。よって水平な漸近線はどちらの方向でもy = 3です。分母は正ですから、差の符号は-2x − 7の符号で決まります。x > -7/2では曲線が下、x < -7/2では上です。差はx = -7/2で0となり、その点で曲線は漸近線と交わります。

実際にx = -7/2を元の式に代入すると、分子は195/4、分母は65/4です。関数値は3となり、求めた直線上にあります。交点があっても無限遠で差が0に近づく事実は変わりません。例えばx = 10では差が-27/104、x = -10では差が13/104です。左右で上下が逆になる理由を、分子の符号から読み取れます。

この問題で分母をx²で割る前にx = 0を除いているのは、変形の条件を明確にするためです。無限遠の極限には0の近くの値は影響しません。また、分母が0に近づく式なら分子だけを見て極限を断定できません。今回の分母は1に近づくため、この割り算が使えます。

発展例題：根号と左右の向き

問題。すべての実数xに対し

h(x) = √(x² + 9) + 2x - 1

とします。正と負の無限遠における水平または斜めの漸近線を、それぞれ正確な式で求めてください。各方向で曲線が直線の上か下かも答えます。

根号の中は常に正で、両方向に式が定義されます。正の方向では√(x²) = xなので、まずy = 3x − 1を候補にします。差を有理化します。

h(x) - (3x - 1) = √(x² + 9) - x
= {(x² + 9) - x²}/(√(x² + 9) + x)
= 9/(√(x² + 9) + x)

x > 0では分母が正で、x→+∞のとき分母は無限大に発散します。差は正のまま0に近づきます。正の無限遠の漸近線はy = 3x − 1で、曲線はその上側です。

負の方向では√(x²) = -xです。先ほどのxをそのまま使うと、根号の符号を取り違えます。そこでy = x − 1を候補として差を計算します。

h(x) - (x - 1) = √(x² + 9) + x
= {(x² + 9) - x²}/(√(x² + 9) - x)
= 9/(√(x² + 9) - x)

x < 0では分母が正で、x→-∞のとき分母は無限大に発散します。差は正のまま0に近づくので、負の無限遠の漸近線はy = x − 1、曲線はその上側です。左右の答えを1本にまとめず、向きと組にして記します。

元の式にx = 4とx = -4を戻すと、根号はいずれも5です。h(4) = 12で、正側の直線の値11との差は1です。h(-4) = -4で、負側の直線の値-5との差も1です。有理化後の分数もそれぞれ9/9 = 1となります。これらは式変形の確認であり、無限遠の極限を有限個の代入だけで証明したことにはなりません。

間違えた答えを直す

「f(x) = x + 2 + 1/xについて、x→+∞でf(x)/x→1だから、y = xが漸近線です」という答案を考えます。比の極限までは正しいものの、結論は誤りです。図3のように比と差を別に計算すると、判定の違いが見えます。

f(x)/x = 1 + 2/x + 1/x² → 1
f(x) - x = 2 + 1/x → 2

縦の差は0ではなく2に近づきます。つまり傾き1という情報だけでは切片が抜けています。y = xから2だけ上の直線を候補として、もう一度差を調べます。

f(x) - (x + 2) = 1/x → 0

したがって正しい漸近線はy = x + 2です。図3の左右の欄は同じ関数についての2つの調べ方です。x = 10ならf(10) = 121/10で、y = xとの差は21/10、y = x + 2との差は1/10です。比が1に近いという事実と、切片2を落とした間違いが同時に確認できます。

もう1つの失敗は「f(x)が無限大に発散するから直線に近づかない」という判断です。近づく対象が固定された高さとは限りません。直線の値も発散する場合に差を取って初めて、互いの隔たりが縮むかどうかがわかります。根号の例で負の方向を正の方向と同じ式にする失敗も、√(x²) = |x|と書いて符号を分ければ修正できます。

練習問題

各問で、漸近線は正確な直線の式で答えてください。1と2は両方向、3と4は指定された方向を調べます。5は候補の適否と理由を答えます。

1. p(x) = (2x² − x + 4)/(x + 2)について、正と負の無限遠の水平または斜めの漸近線を求め、正の無限遠で曲線が直線の上下どちらにあるか答えてください。
2. q(x) = (5x² + 3x − 1)/(x² + 1)について、両方向の水平または斜めの漸近線と、x = 2での曲線と直線の縦の差を求めてください。
3. r(x) = √(x² + 16) − 2について、正と負の無限遠でそれぞれ斜めの漸近線を求め、各方向で曲線が直線の上下どちらにあるか答えてください。
4. s(x) = (x² + 2)/(2x − 3)について、正の無限遠の斜めの漸近線を求め、x = 2で関数値と直線の値をそれぞれ求めてください。
5. t(x) = 4x − 3 + 5/xについて、正の無限遠でy = 4xが漸近線か判定し、正しい斜めの漸近線を求めてください。

練習問題の答えと道筋

1. x ≠ -2であり、両方向の無限遠では定義されています。分子を割ります。

2x² - x + 4 = (x + 2)(2x - 5) + 14
p(x) = 2x - 5 + 14/(x + 2)
p(x) - (2x - 5) = 14/(x + 2) → 0

どちらの方向もy = 2x − 5です。正の方向ではx + 2 > 0なので曲線は上です。元の式にx = 2を代入するとp(2) = 10/4 = 5/2です。直線の値-1に差14/4を加えても5/2となり、割り算の余りを照合できます。

2. 分母x² + 1は常に正です。分子を5(x² + 1)と比較します。

q(x) = 5 + (3x - 6)/(x² + 1)
q(x) - 5 = (3/x - 6/x²)/(1 + 1/x²) → 0

最後の変形はx ≠ 0で有効です。両方向の答えはy = 5、x = 2で差は0です。元の式でもq(2) = (20 + 6 − 1)/5 = 5ですから、その位置では漸近線上にあります。無限遠で近づく直線と有限の交点があることは両立します。

3. 根号は常に定義されます。正側は√(x²) = x、負側は√(x²) = -xを使います。

r(x) - (x - 2) = 16/(√(x² + 16) + x) → 0  （x→+∞）
r(x) - (-x - 2) = 16/(√(x² + 16) - x) → 0  （x→-∞）

答えは正側がy = x − 2、負側がy = -x − 2です。各式の分母は調べる向きで正なので、曲線はそれぞれ直線の上にあります。x = 3ではr(3) = 3で、正側の直線の値1との差2が16/(5 + 3)と一致します。x = -3でも値は3で、負側の直線の値1との差は2です。

4. x ≠ 3/2に注意して割り算します。

x² + 2 = (2x - 3)(x/2 + 3/4) + 17/4
s(x) = x/2 + 3/4 + 17/{4(2x - 3)}
s(x) - (x/2 + 3/4) → 0  （x→+∞）

答えはy = x/2 + 3/4です。x = 2では元の関数値が6、直線の値が7/4です。差は17/4で、余りの分数にx = 2を入れた値にも一致します。分母の零点を答えに代入しないことも確認します。

5. x > 0では式が定義されています。候補の直線との差を先に調べます。

t(x) - 4x = -3 + 5/x → -3
t(x) - (4x - 3) = 5/x → 0

y = 4xは漸近線ではなく、正しい直線はy = 4x − 3です。x = 5ではt(5) = 18、正しい直線の値は17で差は1です。一方y = 4xとの差は-2です。有限の値は代入の点検に用い、極限の根拠には上の式を使います。

要点を残す

• 同じxで関数値と直線の値を引き、その差が0に近づくかを調べます。
• 水平線は傾き0、斜めの直線は傾きが0でない場合です。
• 正と負の無限遠は別々に調べ、根号では|x|の符号を分けます。
• 比が1に近づくことだけでは切片を決められません。
• 割り算や有理化の後も、元の定義域と差の極限に戻ります。

どこで止まったかを見分ける

候補を出せないときは、分子の割り算で余りまで書けているか、根号の中から取り出す量が|x|になっているかを確認します。候補は出ても証明が止まるときは、直線を括弧ごと引き、残った式が0に近づく理由を言葉にします。

個別指導で答案を見るなら、左右の無限遠を書き分けたか、差の符号から上下を判定したか、元の式への代入が合うかを順に問い直せます。関数値が発散していても、直線との差が消えるなら斜めの漸近線は存在します。