高校数学III 垂直な漸近線—分母の零点の左右極限と除去できる穴を見分ける｜武蔵野個別指導塾

約分前の定義域を残し、左右の発散と穴を具体例で見分けて判定するのが垂直な漸近線です。

よくあるのは、理系高3の演習で分母が0になる値を見つけ、そのまま必ず漸近線だと書く場面です。式を約分すると、その値の近くでは有限の高さに近づくこともあります。分母が0であることは調査の出発点であり、結論ではありません。元の式で点を除き、左右から近づけた値を比べて、線になる場合と穴になる場合を分けましょう。

どんな問いで使うか

1つ目は、有理関数の分母の零点を並べ、それぞれで垂直な漸近線を求める問いです。分子も0になる点では共通因子を調べ、約分後の式の極限を元の定義域に沿って計算します。分母の零点が複数あるときは、点ごとに同じ手順を繰り返します。

2つ目は、左右で無限大への向きが異なるかを答える問いです。分母の符号が点の左右で変わるかどうかと、分子の符号を組み合わせます。左右が同じ正の無限大でも、異なる符号の無限大でも、垂直な漸近線になり得ます。

3つ目は、文字を含む分子について、指定された線が漸近線となる条件を求める問いです。分母を0にする値を分子にも代入し、消える場合と残る場合を分けます。境界となる文字の値を元の式へ戻すと、判定の抜けを見つけやすくなります。

学習指導要領に示された導関数による関数の概形の学習に関連して、ここでは有限の横座標の近くの様子を扱います。無限遠での水平・斜めの漸近線は別の話題です。

線と穴を分ける条件

関数のグラフについて、xが有限の値aに定義域内から近づくとき、少なくとも片側で関数値が正または負の無限大に発散するなら、直線x = aを垂直な漸近線といいます。片側に定義域がない場合も、その側からの極限を無理に書かず、近づける側で判定します。両側から近づける場合は、それぞれの符号まで記すとグラフの形が明確です。

図1のように、同じ位置に近づいても、高さが限りなく大きくなる場合と、有限の高さに落ち着く場合があります。後者で元の式がその点で定義されないなら、点を抜いた穴として描きます。穴の高さは極限値であり、元の関数のその点での値ではありません。

図1の左は発散、右は有限値への接近を表します。有限の極限があっても元の関数に値を勝手に補うことはできません。一方で、その値を補えば連続にできる不連続を除去可能と呼びます。単に左右が有限でも値が異なれば、この意味での穴とは限りません。

分数式では、最初に元の分母が0となる点を除きます。共通因子を約分した式は、除いた点以外では元の式と等しいため、極限計算に使えます。ただし約分した式がその点に代入できても、元の定義域は広がりません。計算の簡略化と、関数の定義の変更を区別します。

例えば分子がx → aで正の数Aに近づき、残った分母がx − aなら、分母は左で負、右で正です。分子は0から離れた正の値を保ち、分母の絶対値は0へ近づくので、商は左で-∞、右で+∞へ発散します。分母が(x − a)²の場合も、分子が正の数Aに収束するなら左右とも+∞です。分子の正負に加えて、その極限が0でないことを確かめます。

判定を途中で止めないための点検

候補の近くで分子と分母がともに0になったとき、0/0は極限の答えではありません。共通因子を調べる前には、発散するか、有限値に近づくかを決められない印です。因数分解ができたら、消した因子の個数と残った分母を確認し、その後に符号と極限を求めます。途中式に定義域を添えると、代入してはいけない点が見えたままになります。

計算機に除外点そのものを入れてエラーが出ても、それだけでは線と穴のどちらか決まりません。除外点の左右で距離を小さくしながら値を調べれば、予想の手がかりは得られます。ただし有限個の数値では、限りなく近づくときの振る舞いは証明できません。最後は式の変形と符号から結論を出します。

また、符号だけを見て発散とすることもできません。例えば正の値が続いても、有限の正の数に近づく場合があります。分子が0でない値に近づき、分母の絶対値が0に近づくことまで確認して初めて、商の絶対値が限りなく大きくなると判断できます。図の枝も、その根拠に合う向きに描きます。

基本例題：異なる向きに発散する

関数 f(x) = (x + 2)/(x − 1) について、垂直な漸近線を求め、x = 1の左右の極限をそれぞれ無限大の符号を付けて答えなさい。

まず定義域はx ≠ 1です。分母はx = 1で0になり、分子は3に近づきます。1の十分近くでは分子は正なので、分母の符号を調べます。

x < 1 のとき x - 1 < 0
x → 1 - 0 のとき x - 1 → 0
よって lim[x→1-0] f(x) = -∞

x > 1 のとき x - 1 > 0
x → 1 + 0 のとき x - 1 → 0
よって lim[x→1+0] f(x) = +∞

したがって垂直な漸近線はx = 1です。元の分母の零点は1以外にないので、この関数に他の有限の横座標の候補はありません。実際、分母が0でない点では分子と分母が連続であり、商も連続だからです。

図2のように、線の左では曲線が下へ、右では上へ伸びます。点(0, -2)と点(2, 4)は元の式に代入して得られ、描いた枝が左右の極限と矛盾しないことも確認できます。

図2では破線がx = 1です。曲線はその線に有限の高さで到達するという意味ではありません。例えば左からの値は、1に近づければどんなに小さい負の数よりも小さくできます。

標準例題：因子を消しても穴は残る

関数 g(x) = (x² − 4)/(x² − x − 2) について、定義域、垂直な漸近線、穴の位置を求めなさい。座標は整数または分数で答えなさい。

元の分母を因数分解し、先に除外点を記録します。

x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
定義域は x ≠ 2, -1
g(x) = (x + 2)/(x + 1)  （x ≠ 2, -1）

x = 2の近くでは約分後の分母が0にならないので、商の連続性から極限は4/3です。元の式はx = 2で定義されないため、穴の位置は(2, 4/3)です。約分後の式に2を入れて得た4/3は、元の関数値ではなく近づく高さです。

x = -1の近くでは分子x + 2は正で1に近づき、分母x + 1は左で負、右で正です。そこで次のようになります。

lim[x→-1-0] g(x) = -∞
lim[x→-1+0] g(x) = +∞

垂直な漸近線はx = -1です。答えを元の条件へ戻すと、2と-1はいずれも元の分母を0にしますが、2では分子の共通因子も消えます。区別の根拠は、分母の零点という見かけではなく、除外点を保ったまま計算した極限にあります。

発展例題：文字による消去と発散

実数aに対し、h(x) = (x − a)/((x − 3)²) とします。直線x = 3が垂直な漸近線となるaの範囲を求め、残る場合の左右の極限も答えなさい。

定義域はaの値にかかわらずx ≠ 3です。まず分子のx = 3での値3 − aが0かどうかで分けます。分母は定義域内で正であり、3に近づくと0に近づきます。

a < 3 のとき 3 - a > 0
lim[x→3-0] h(x) = +∞
lim[x→3+0] h(x) = +∞

a > 3 のとき 3 - a < 0
lim[x→3-0] h(x) = -∞
lim[x→3+0] h(x) = -∞

a = 3なら分子にもx − 3が現れますが、分母には2個の因子があるため、約分後も1個残ります。

h(x) = (x - 3)/(x - 3)²
     = 1/(x - 3)  （x ≠ 3）
lim[x→3-0] h(x) = -∞
lim[x→3+0] h(x) = +∞

したがって答えはaが任意の実数です。分子が0だから必ず穴になる、という判定も誤りです。共通因子が何個消え、分母に何個残るかまで調べる必要があります。境界a = 3を元の式に戻すと、分母の2個に対して分子の因子は1個なので、残った因子が発散を生むと確かめられます。

誤答から直す：線を2本描いてしまう

次の式について、分母が0となるx = 4とx = -2を両方とも垂直な漸近線とする解答を考えます。

p(x) = (x - 4)/((x - 4)(x + 2))
定義域は x ≠ 4, -2
p(x) = 1/(x + 2)  （x ≠ 4, -2）

誤りの理由は、候補を挙げた段階で極限の判定を終えたと考えたことです。x = 4では左右から1/6に近づき、発散しません。点(4, 1/6)は穴です。x = -2では左から-∞、右から+∞なので、垂直な漸近線はx = -2です。

図3のように、穴と線を異なる記号で残すと修正の位置が見えます。図3の白丸は元の式にその点が含まれないことを示し、破線は発散する位置を示します。約分後のグラフを描いてから白丸を忘れずに抜きます。

もし分母の零点で左右の極限が有限でも異なる場合は、1個の穴として補って連続にすることはできません。分母の零点を扱うときも、実際に近づける範囲と左右の極限を別々に書き出すと、例外を見落としにくくなります。

練習問題

各問で元の定義域を示し、求める線は方程式で、穴は整数または分数の座標で答えなさい。左右極限は正負の無限大または正確な有限値で示します。

1. f(x) = (x − 5)/(x + 3) の垂直な漸近線とその左右極限を求めなさい。
2. g(x) = (x² − 9)/(x² − 5x + 6) の垂直な漸近線と穴を求めなさい。
3. h(x) = (x + 1)/(x − 2)² のx = 2での左右極限と垂直な漸近線を求めなさい。
4. 実数bに対し q(x) = (x − b)/(x + 4) とします。x = -4が垂直な漸近線となるbの条件を求め、残る場合の穴を求めなさい。
5. r(x) = (x − 1)²/((x − 1)(x + 5)) の垂直な漸近線と穴を求め、それぞれの除外点での左右極限を答えなさい。

練習問題の答えと考え方

1. 定義域はx ≠ -3です。分子は-3の近くで負、分母は左で負、右で正となります。したがって左極限は+∞、右極限は-∞で、線はx = -3です。元の分母に-3を代入すると0、分子は-8であり、消える因子がないことも確認できます。

2. 定義域はx ≠ 2, 3です。分子は(x − 3)(x + 3)、分母は(x − 3)(x − 2)なので、定義域内でg(x) = (x + 3)/(x − 2)です。3では極限が6、穴は(3, 6)です。2では分子が正で、左極限は-∞、右極限は+∞です。線はx = 2です。元の式でも3は分子と分母の共通の零点であり、2では分子が-5なので結果と一致します。

3. 定義域はx ≠ 2です。分子は2の近くで正の3に近づき、分母は両側で正のまま0に近づきます。よって左右極限はいずれも+∞で、線はx = 2です。元の分子に2を戻すと3となり、符号判定が確かめられます。

4. 定義域はx ≠ -4です。b ≠ -4なら分子は-4 − bという0でない値に近づき、分母は符号を変えながら0に近づくため、線はx = -4です。b = -4なら定義域内でq(x) = 1となり、穴は(-4, 1)です。b = -4を元の分子に戻すと分母と同じx + 4になり、有限の極限1と一致します。

5. 定義域はx ≠ 1, -5です。約分後はr(x) = (x − 1)/(x + 5)です。1での左右極限はいずれも0なので、穴は(1, 0)です。-5では分子が負、分母は左で負、右で正なので、左極限は+∞、右極限は-∞です。線はx = -5です。元の分子に1を戻すと0、-5を戻すと36であり、両点の判定と合います。

要点

元の分母から定義域の除外点を決めます。 共通因子を消しても除外点は残します。 各候補で左右の極限と符号を調べます。 片側でも無限大に発散すれば垂直な漸近線です。 共通の有限極限への穴と発散を区別します。

つまずいた位置を診断する

線を多く書いたときは、各候補の横に左右の極限を書き、有限値で止まる点が混ざっていないか見ます。穴を見落としたときは、約分後の式ではなく元の分母に戻り、除外した値を追います。個別指導で説明するなら、分子と分母の因子を1個ずつ指し、消去後に何が残るかを声に出して確かめると、計算と定義域の取り違えを特定できます。左右の符号が逆なら、分母の符号表と分子の符号を別に書き、最後に商へ合わせます。候補を調べ切った先で、線と穴の位置が定まります。