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高校数学A チェバの定理—三本の線が一点で交わる条件を線分の比で調べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.11更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校の定期テスト数学A 単元別

辺を一周する比の向きと逆の使い方を、長さを求める例題で確かめ、3本の線が1点に集まる条件を式に表します。

よくあるのは、定期テスト前に三角形の辺に書かれた数値を追い、比の一つだけを逆向きにして式に入れてしまう場面です。計算は最後まで進んでも、三本が一点で交わるという条件を式に移す段階で、別の関係を作ってしまいます。辺をどの順で一周するか決めてから、分子と分母を並べてみましょう。線分の長さを求める問題にも、三本が交わることを示す問題にも、この確認が役立ちます。

辺の比から何を調べるか

三角形の各頂点から、向かい合う辺上の点へ線を引きます。3本が1点で交わるとき、辺が分けられる比には一定の関係があります。この関係を使うと、交点の位置を直接求めなくても、辺の上の未知の長さを計算できます。

出方の1つは、交点が既に示され、5つの線分の長さや比から残りを求める型です。2つ目は、辺上の3点の比が与えられ、3本が1点で交わるかを判定する型です。後者では定理そのものではなく、その逆を使います。3つ目は、辺全体の長さと一部の比から、それぞれの部分の長さを出して式に入れる型です。全体の長さをそのまま比の片側に使わないようにします。

ここでは辺の内部に点を取る場合を扱います。頂点や辺の延長上に点がある場合は、同じ図と式をそのまま使わず、点の位置と適用する定理の条件を別に確認します。

三角形を一周する比

三角形ABCの辺BC、CA、ABの内部に、それぞれ点D、E、Fを取ります。線分AD、BE、CFが1点Pで交わるとき、チェバの定理により次の式が成り立ちます。

BD/DC × CE/EA × AF/FB = 1

図1のように、辺をBからC、CからA、AからBへ進みます。各辺で最初の頂点から辺上の点までを分子、そこから次の頂点までを分母にすると、3つの比の向きがそろいます。辺を逆回りにして3つとも逆数にしても積は1です。しかし1つだけ逆にすれば、一般には別の値になります。

図1のDはBC上、EはCA上、FはAB上です。例えば最初の比はBD/DCで、辺全体BCを分母にはしません。DがBにもCにも一致しないので、BDとDCはいずれも正です。他の辺でも同じように、分母が0にならないことを確かめられます。

この式の理由は面積から追えます。三角形PBDとPCDは、頂点Pから直線BCへの高さが共通なので、面積の比はBD/DCです。また三角形ABDとACDも、Aからの高さが共通なので、面積の比はBD/DCです。前者と後者で共通の比を使い、面積の差を取ると、面積PABとPCAの比もBD/DCに等しくなります。同様に、CE/EAは面積PBCとPABの比、AF/FBは面積PCAとPBCの比です。3つを掛けると面積が順に消え、積は1になります。

逆も使えます。D、E、Fがそれぞれ辺の内部にあり、上の積が1なら、AD、BE、CFは1点で交わります。理由を確かめるため、まずADとBEの交点をPとし、直線CPとABとの交点をF’とします。三角形の内部で引いた2本なのでPは内部にあり、F’はABの内部にあります。定理からAF’/F’Bは、与えられたAF/FBと等しくなります。線分ABを正の決まった比に内分する点は1つなので、F’はFです。したがってCFもPを通ります。このように、積が1という条件から共点を結論するのが逆です。

基本例題：残りの線分を求める

三角形ABCの辺BC、CA、ABの内部にそれぞれD、E、Fがあり、AD、BE、CFは1点で交わっています。BD = 4、DC = 6、CE = 6、EA = 4、AF = 5のとき、FBの長さを求めなさい。答えは整数で表し、長さの単位は付けません。

図2のように、未知のFBをxと置きます。D、E、Fが辺の内部にあるため、xは正です。線が1点で交わることが問題に与えられているので、チェバの定理を使えます。

B、C、A、Bの順に辺を一周して式を作ります。

BD/DC × CE/EA × AF/FB = 1

4/6 × 6/4 × 5/x = 1

1 × 5/x = 1

5 = x

したがってFB = 5です。最初の2つの比が互いに逆数なので、その積は1です。最後の比も1である必要があり、AFとFBの長さが等しくなります。ここで6を辺BC全体の長さと読んだり、EA/CEを使ったりすると、与えられた図とは違う式になります。

答えを元の場面に戻すと、ABは5 + 5 = 10で、FはABの内部にあります。実際に3つの比を代入すると、4/6 × 6/4 × 5/5 = 1です。3本が共点である条件と一致し、正の長さという条件も満たします。積が1になることだけでなく、求めた値が指定された辺の部分として置けるかも見ておきます。

辺全体が与えられる場合

三角形ABCの辺BC、CA、ABの内部にそれぞれD、E、Fがあります。AD、BE、CFは1点で交わり、BC = 15、BD = 6、CE:EA = 3:4、AF = 8です。FBの長さを既約分数で求めなさい。長さの単位は付けません。

まずDCは辺全体からBDを引き、15 − 6 = 9です。CE:EAはそのままCE/EA = 3/4と使えます。FBをyとすると、共点の条件より

6/9 × 3/4 × 8/y = 1

1/2 × 8/y = 1

4/y = 1

y = 4

よってFBは4です。整数4も既約分数4/1と表せます。ここでは辺全体15をDCの場所に入れず、Dが辺の内部にあることを利用して残りを引き算で求めました。問題にDCが最初から書かれている場合とは、この1段階が異なります。

確認としてBD + DC = 6 + 9 = 15で、与えられたBCに戻ります。CEとEAは具体的な長さがなくても、3対4の正の長さとして置けます。さらにAF/FB = 8/4なので、2/3 × 3/4 × 2 = 1です。ABは8 + 4 = 12で、Fも辺の内部に置けます。辺全体が条件に現れたときは、最後に部分を足して元の長さに戻るか確かめます。

一つの比だけを逆にしたら

基本例題で、CE/EAの代わりにEA/CEを入れる誤答を考えます。図3のように辺を一周する向きを決めたにもかかわらず、CAの部分だけAからCへ読んでしまった式です。

4/6 × 4/6 × 5/x = 1

この式を解くとx = 20/9ですが、これは元の共点の条件を満たしません。実際の比の向きで代入すると、4/6 × 6/4 × 5/(20/9) = 9/4となり、1から外れます。計算途中の約分が正しくても、最初に立てた関係が違うと答えは直りません。

修正するときは、図3のように比の順をBからC、CからA、AからBに戻します。CE/EAは6/4ですから、正しい式は4/6 × 6/4 × 5/x = 1となり、x = 5です。逆向きでそろえたい場合は、DC/BD × EA/CE × FB/AF = 1と3つとも反転します。都合のよい項だけを入れ替えることはできません。

また、積が1でない場合に「計算ミスに違いない」と決めつける必要もありません。共点を仮定していない問題なら、逆の条件を満たさないので3本は1点に集まらないと判断します。まず点の対応と比の向きを確かめ、それでも積が1でなければ、その値を根拠に結論します。

練習：比と共点を調べる

いずれも三角形ABCの辺BC、CA、ABの内部に、順にD、E、Fを取ります。長さには単位を付けず、指定された形で答えてください。

AD、BE、CFが1点で交わり、BD = 6、DC = 8、CE = 8、EA = 9、AF = 6です。FBを既約分数で求めなさい。
BD:DC = 2:5、CE:EA = 5:3、AF:FB = 3:2です。AD、BE、CFが1点で交わるか答え、理由を示しなさい。
BD:DC = 1:2、CE:EA = 3:4、AF:FB = 2:1です。3本が1点で交わるか答え、理由を示しなさい。
AD、BE、CFが1点で交わり、BC = 21、BD = 7、CE:EA = 4:3、AB = 15です。AFとFBをそれぞれ既約分数で求めなさい。

練習の答えと道筋

FBをtとすると、3/4 × 8/9 × 6/t = 1です。前の2項の積は2/3なので、4/t = 1となり、t = 4です。既約分数では4/1です。代入すれば3/4 × 8/9 × 6/4 = 1で、AB = 6 + 4 = 10となり、Fは辺の内部です。
指定の順に掛けると、2/5 × 5/3 × 3/2 = 1です。各点は辺の内部にあるので、チェバの定理の逆から3本は1点で交わります。各辺の比をそのまま戻しても、分子と分母の積はともに30です。比の向きと点の位置が、逆を使う条件に合っています。
積は1/2 × 3/4 × 2/1 = 3/4です。もし3本が1点で交われば定理によって積は1になるはずですが、実際は1ではありません。したがって3本は1点では交わりません。3/4という結果は、与えられた3つの比を一周する向きでそのまま掛けたものです。
DC = 21 − 7 = 14です。定理より、1/2 × 4/3 × AF/FB = 1なので、AF/FB = 3/2です。AB = 15を3:2に内分するため、AF = 9、FB = 6です。既約分数では順に9/1、6/1です。9 + 6 = 15、7 + 14 = 21となって辺全体に戻り、1/2 × 4/3 × 9/6 = 1も満たします。両方の長さが正なので、求めたFはABの内部にあります。

判定の論理を取り違えない

積が1になる式は、共点の図から導いた必要な関係です。したがって積が1でないときは、共点だと仮定した場合に定理と矛盾します。この考え方は、練習3のように共点ではないことを示す場面で使えます。積が1でないからといって、線分が交わること自体を否定するわけではありません。2本の交点を3本目が通らない、という意味を丁寧に読み取ります。

一方、積が1なら共点だという結論には逆が必要です。元の定理が「共点なら積が1」と述べていることだけでは、向きを入れ替えた結論を出せません。辺上の3点が内部にあるという条件まで書き添えて逆を適用すると、判定の根拠が明確になります。問題文に共点が与えられているか、これから示すのかを先に区別してください。

比だけが与えられた場合、各辺の長さを勝手に同じにする必要はありません。例えばある辺の2つの部分が2:3なら、正の数kを使って2kと3kと置けます。その辺全体は5kですが、別の辺の比を表す数は別に選べます。チェバの式には各辺内の比が入るため、各辺の尺度はそれぞれ約分されます。

答えが図に入るか調べる

文字で長さを置いたとき、方程式の解が正でなければ辺の内部という設定に合いません。正の解が出た場合も、既知の部分と足して辺全体の条件に戻るかを確認します。辺全体より長い部分が出たら、引き算や分数の向きを見直す手掛かりです。

また、辺の名前を一斉に入れ替えても考え方は変わりません。図を回転させて見た場合も、最初に選んだ頂点から隣の頂点へ進む順を保ちます。頂点の並びを小さく書き添えてから比を置く方法もあります。試してみましょう。文字の並びを暗記するだけでなく、分子が出発側、分母が到着側と説明できれば、図の向きが変わっても式を作れます。