高校数学I 逆と裏と対偶—否定する対象をそろえて真偽の関係を調べる｜武蔵野個別指導塾

条件の入れ替えと否定を区別し、整数の偶奇を使う証明へつなぐ対偶の道筋をたどります。

よくあるのは、高1の自習で対偶を作るとき、結論だけを否定して仮定をそのまま残す場面です。元の命題が正しそうに見えると、書き換えた文も正しいと判断したくなります。しかし、条件の順序と否定の位置を一つずつ追わなければ、別の命題を調べることになります。整数の偶奇を例に、反例の探し方から証明の組み立て方まで確認しましょう。

矢印をどう扱う問題か

出方は大きく3つです。まず、条件 p と q が与えられたとき、元の命題「p ならば q」から逆・裏・対偶を言葉で作る問題があります。次に、それぞれの真偽を判定し、偽なら反例を示す問題があります。最後に、直接示しにくい命題を対偶に置き換えて証明する問題があります。

どの型でも、最初に対象の範囲を決めます。整数の命題なら、反例も整数から選びます。実数を対象とする命題に整数の例を使うことはできますが、整数でいくつか確かめただけでは実数全体についての証明にはなりません。条件の真偽と、命題全体の真偽を区別することも必要です。

「p ならば q」が偽になるのは、p が成り立つのに q が成り立たない対象があるときです。そのような対象が1つあれば反例になります。一方、p が成り立たない対象は、この命題を偽にする反例にはなりません。成功した例を並べても、残りの対象に反例がないことまでは示せません。

入れ替えと否定を分ける

対象を決めたうえで、p、q をその対象についての条件とします。「p ならば q」を元の命題とすると、逆は「q ならば p」、裏は「p でないならば q でない」、対偶は「q でないならば p でない」です。逆は条件の順序を入れ替え、裏は両方を否定します。対偶は両方を否定してから順序も入れ替えます。

図1のように、矢印の両端をそれぞれ確認します。対偶で先に置くのは元の結論 q の否定です。元の仮定 p の否定を最後に置きます。片方だけを否定した文は、この操作で得られる対偶ではありません。

図1の4つの矢印は、同じ対象についての条件を表します。元の命題と対偶は常に真偽が一致します。なぜなら、元の命題が偽となる対象は「p が成り立ち、q が成り立たない」対象であり、これは対偶の仮定が成り立つのに結論が成り立たない対象と同じだからです。反例が存在するかどうかが一致するので、どちらか一方が真なら他方も真です。

同じ理由で、逆と裏も互いに対偶なので真偽が一致します。ただし、元の命題と逆が同じ真偽になるとは限りません。元が真で逆が偽のことも、両方が真のこともあります。各方向を別々に調べる必要があります。

否定は条件全体にかけます。実数 x について「x > 3」の否定は「x ≤ 3」です。境界の3を忘れずに含めます。「x = 3」の否定は「x ≠ 3」です。また「A かつ B」の否定は「A でない、または B でない」です。元の条件を構成する片方だけを否定しても、全体の否定にはなりません。

反例を使うと、真偽が一致する理由を具体的にも追えます。元の命題が偽だとすると、ある対象で p が真、q が偽です。その対象では「q でない」が真で「p でない」が偽なので、対偶も偽です。逆に対偶が偽なら、同じ対象で q は偽、p は真となり、元の命題も偽です。この両方向の説明は特定の数に限らず、対象全体について成り立ちます。

反例候補を見つけたら、表を頭の中で2列に分けてください。左に仮定の判定、右に結論の判定を書き、左が真で右が偽の場合に限って反例として採用します。両方が偽の場合や、仮定が偽で結論が真の場合は、矢印を壊していません。対偶の反例を元の命題へ戻す際も、同じ対象を使って2つの判定を確認できます。

基本例題：4つの命題を判定する

逆・裏・対偶を比べるため、整数 n の倍数条件を取り上げます。「n は6の倍数」という条件に p、「n は3の倍数」という条件に q という名前を付けます。元の命題、逆、裏、対偶を言葉で書き、それぞれの真偽を答えてください。偽のものは整数の反例を1つ示してください。

元の命題は「n が6の倍数ならば、n は3の倍数」です。n = 6k と整数 k を用いて表すと、次のようになります。

n = 6k
  = 3・(2k)

2k は整数なので、n は3の倍数です。したがって元の命題は真です。図2のように、6の倍数は3の倍数に含まれますが、逆向きは別に調べます。

逆は「n が3の倍数ならば、n は6の倍数」です。n = 3 は整数で、3の倍数ですが6の倍数ではありません。したがって逆は偽です。図2の3は、逆の仮定を満たし結論を満たさない位置にあります。

裏は「n が6の倍数でないならば、n は3の倍数でない」です。n = 3 は6の倍数でなく、しかも3の倍数なので、裏も偽です。同じ3が、逆と裏の両方の反例になっています。

対偶は「n が3の倍数でないならば、n は6の倍数でない」です。元の命題が真なので、対偶も真です。直接確かめるなら、もし n が6の倍数なら先ほどの計算から3の倍数になるため、3の倍数でない整数は6の倍数ではありません。0も対象に含まれ、0 = 6・0 = 3・0 なので元の命題に反しません。

標準例題：不等式の境界を残す

実数 x について、命題「x > 4 ならば x > 1」の逆・裏・対偶を作り、それぞれの真偽を判定してください。偽の命題には実数の反例を1つ示してください。

元の命題は真です。x > 4 と 4 > 1 から、x > 1 が従います。逆は「x > 1 ならば x > 4」です。x = 2 は 2 > 1 を満たしますが 2 > 4 は満たさないので、逆は偽です。

裏は「x ≤ 4 ならば x ≤ 1」です。x = 2 は 2 ≤ 4 を満たし、2 ≤ 1 を満たしません。よって裏も偽です。対偶は「x ≤ 1 ならば x ≤ 4」で、1 ≤ 4 より真です。元と対偶、逆と裏の真偽がそれぞれ一致しています。

ここで x = 4 を考えると、「x > 4」は偽であり、その否定「x ≤ 4」は真です。否定を x < 4 と書くと、この境界を落とします。逆の反例を探す際に x = 4 を選んでも、4 > 1 は真、4 > 4 は偽なので有効です。等号の扱いを曖昧にすると、正しい反例を見落とすことがあります。

発展例題：対偶で偶奇を示す

整数 n について「n² が偶数ならば n は偶数」を、対偶を用いて証明してください。偶数とは整数 k を用いて 2k と表せる整数、奇数とは整数 k を用いて 2k + 1 と表せる整数です。整数は2で割った余りが0または1なので、偶数でない整数は奇数です。

元の仮定 p は「n² が偶数」、結論 q は「n が偶数」です。対偶は「n が偶数でないならば n² は偶数でない」、つまり「n が奇数ならば n² は奇数」です。元の結論の否定から始める点に注意します。

n が奇数と仮定すると、ある整数 k を用いて n = 2k + 1 と書けます。両辺を二乗して整理します。

n² = (2k + 1)²
   = 4k² + 4k + 1
   = 2(2k² + 2k) + 1

k が整数なので 2k² + 2k も整数です。したがって n² は奇数であり、偶数ではありません。対偶が示されたので、元の命題も真です。

n² が偶数という式から n の形を直接決めようとすると、二乗を外す段階で偶奇の根拠が必要です。対偶では n 自身を 2k + 1 と置けるため、展開後に奇数の形が現れます。負の奇数もこの形に含まれます。例えば n = -3 は k = -2 に対応し、n² = 9 は奇数です。ただし、この1例は証明の代わりではなく、整数 k に負の値も含まれることの確認です。

誤答を矢印の両端から直す

先ほどの整数の命題に対して、「n² が偶数ならば n は奇数」を対偶としてしまう誤答を考えます。これは結論だけを否定し、条件の順序も元のままです。n = 2 なら n² = 4 は偶数ですが、n は奇数ではないので、この文は偽です。元の命題が真でも、この書き換えた文は真になりません。

図3のように、正しい対偶では「n は奇数」を先に、「n² は奇数」を後に置きます。対偶を作る作業と、その真偽を証明する作業は別です。正しく作った対偶についても、仮定から結論に至る根拠を書かなければ証明は完成しません。

もう一つの誤りは、「n が偶数なら n² が偶数」を示し、それを元の命題の証明とすることです。これは元の逆であり、たまたま真でも元の命題を証明したことにはなりません。n = 2k として n² = 2(2k²) とできるのは逆の証明です。対偶に取り組むときは、最初の行に仮定と結論の否定を書き出してから、順番を交換しましょう。

条件の範囲を変えると、同じ文でも真偽が変わる場合があります。例えば「正の整数」という制限があれば、0や負の数を反例に使うことはできません。命題を変形しても対象の範囲はそのまま保ちます。範囲を書き落としたまま計算を始める前に、どの数を選べるか確認しましょう。

練習問題

次の5問は、指定された範囲の対象について答えてください。命題の真偽を問うものは、偽なら反例を1つ示してください。

1. 整数 n について、p を「n は10の倍数」、q を「n は5の倍数」とします。「p ならば q」の逆・裏・対偶を言葉で書き、4つの命題の真偽を答えてください。
2. 実数 x について「x ≥ -2 ならば x > -5」の対偶を言葉と不等式で表し、その真偽を答えてください。
3. 整数 n について「n が4の倍数ならば n は偶数」の逆を作り、その真偽を答えてください。
4. 整数 n について「n² が奇数ならば n は奇数」を、対偶を用いて証明してください。
5. 実数 x について、p を「x > 2 かつ x < 7」、q を「x > 0」とします。「p ならば q」の対偶を、不等式を用いて書き、真偽を答えてください。

解答と考え方

1. 元は「n が10の倍数ならば5の倍数」で真です。n = 10k = 5・(2k) と書けます。逆は「5の倍数ならば10の倍数」で、n = 5 は仮定を満たし結論を満たさないので偽です。裏は「10の倍数でないならば5の倍数でない」で、同じ n = 5 が反例となり偽です。対偶は「5の倍数でないならば10の倍数でない」で、元と真偽が一致するので真です。反例の5は整数であることも条件に合います。

2. 対偶は「x ≤ -5 ならば x < -2」です。元の結論 x > -5 の否定が x ≤ -5、元の仮定 x ≥ -2 の否定が x < -2 です。-5 < -2 なので、x ≤ -5 から x < -2 が従い真です。x = -5 も対偶の仮定に含まれ、結論を満たします。元の仮定の境界 x = -2 でも -2 > -5 となり、元の命題と矛盾しません。

3. 逆は「n が偶数ならば n は4の倍数」です。n = 6 は整数かつ偶数ですが、4の倍数ではないので偽です。元の命題は n = 4k = 2・(2k) から真です。元の真偽から逆の真偽を決めず、逆の仮定を満たす数を探します。

4. 対偶は「n が奇数でないならば n² は奇数でない」、すなわち「n が偶数ならば n² は偶数」です。n = 2k と置くと、k は整数であり、

n² = (2k)²
   = 4k²
   = 2(2k²)

となります。2k² は整数なので n² は偶数です。対偶が真だから元の命題も真です。例えば n = -4 でも n² = 16 となり、対偶の条件を満たしますが、証明は任意の整数 k について成立しています。

5. p の否定は「x ≤ 2 または x ≥ 7」です。したがって対偶は「x ≤ 0 ならば、x ≤ 2 または x ≥ 7」です。x ≤ 0 なら x ≤ 2 なので、後半の条件を満たし真です。元の条件を満たす x = 3 では x > 0 となり、元の命題にも合います。境界 x = 2 と x = 7 はどちらも p を満たさず、p の否定には含まれます。

覚えておくこと

元の命題と対偶、逆と裏はそれぞれ真偽が一致します。 対偶は元の結論と仮定を両方否定し、順序を入れ替えます。 反例は対象範囲内で仮定を満たし、結論を満たさないものです。 不等式や複合条件の否定では、境界とかつ・またはを確認します。

どこで止まったかを見分ける

対偶を作れないときは、元の仮定と結論に印を付け、それぞれの否定を口に出してから順序を交換できるかを確認します。対偶は作れても証明が進まないときは、仮定した偶数や奇数を整数を使う式に直せるかを見ます。個別指導では、反例候補についても仮定と結論を別々に判定してもらい、どの判断で迷ったかを確かめます。矢印の向きと否定の位置がそろえば、証明の出発点が定まります。