高校数学I 条件の否定—すべてとあるを入れ替えて否定の範囲を定める｜武蔵野個別指導塾

「すべて正しい」の否定を例外の存在で表し、かつ・またはと不等号の端点まで読み直して、否定文を組み立てます。

高1の自習で、すべての数が条件を満たすという文の否定を、一つも満たさないと書いてしまう場面があります。たとえば箱の中のカードがすべて赤いという文が崩れるのは、赤くないカードが1枚見つかったときです。赤いカードが残っていても、元の文は成り立ちません。否定は反対らしい強い文を作る操作ではなく、元の文が成り立たない場合を過不足なく表す操作です。

要点（結論から）

• 「すべて」の否定は、条件を満たさないものが少なくとも1つあることです。
• 「ある」の否定は、対象のすべてが条件を満たさないことです。
• 「かつ」と「または」を入れ替え、それぞれの条件も否定します。

否定を求める問いの見取り図

出方の1つは、対象の範囲を指定した文を言い換える問題です。「すべての整数について」という範囲を保ったまま、「ある整数について」に変え、後ろの条件も否定します。対象を実数に変えると、整数では見つからなかった例外が現れることもあるため、範囲を勝手に広げたり狭めたりしません。

もう1つは、複数の条件を組み合わせた文です。「かつ」は両方が必要なので、片方でも崩れれば否定が成立します。「または」は少なくとも一方が必要なので、その否定には両方の不成立が必要です。最後に不等号を否定するときは、等号の有無まで確認します。

さらに、量化と複合条件が重なった文では、外側から順にほどきます。いきなり不等号を変え始めると、どの数についての条件かが曖昧になります。先に対象、次に「すべて」か「ある」か、最後に各条件という順で読むと、否定の範囲を見失いにくくなります。

対象と条件を分けて読む

命題は、真か偽かが定まる文です。文字を含む条件は、対象を決めたときに真偽が定まります。ここでは対象の集合を先に決め、その中の要素について条件 P が成り立つかを考えます。「すべての対象が P を満たす」が偽であることは、「P を満たさない対象が少なくとも1つある」ことです。逆に「P を満たす対象が少なくとも1つある」が偽であることは、「すべての対象が P を満たさない」ことです。

図1のように、外側の言葉を入れ替えたら、中身の条件も否定します。「ある」は1つに限るという意味ではありません。2つ以上あっても、少なくとも1つあれば存在の文は真です。対象が空集合の場合も定義に沿って考えます。対象が1つもなければ、条件を満たすものが存在するという文は偽です。また、例外が存在しないので、すべてが条件を満たすという文は真と扱います。

図1の上下はそれぞれ元の文とその否定の対応です。元の文が真なら否定は偽、元の文が偽なら否定は真になります。この一方だけが真になる関係を、作った文の点検に使います。

条件 P と Q の両方を満たすことを「P かつ Q」と書きます。その否定は「P でない、または Q でない」です。どちらか一方が成り立たない場合も、両方が成り立たない場合も含みます。「P または Q」は少なくとも一方を満たすことで、両方を満たす場合も含みます。その否定は「P でない、かつ Q でない」です。

たとえば実数 x について「x > 1 かつ x < 5」の否定は「x ≤ 1 または x ≥ 5」です。1 は元の条件を満たさないので否定側に入ります。5 も同様です。一方、元が「x ≥ 1 かつ x ≤ 5」なら、否定は「x < 1 または x > 5」で、1 と5は否定側に入りません。端点を代入すると、等号の置き忘れを見つけられます。

不等号の否定は、実数の大小が必ず比較できることを使います。x > a の否定は x ≤ a、x ≥ a の否定は x < a です。同様に x < a の否定は x ≥ a、x ≤ a の否定は x > a です。等号の否定は不等号ではなく x ≠ a です。「等しくない」を大小の言葉に分ければ、x < a または x > a となります。

基本例題：全員という条件を崩す

例題1：集合 A = {1, 2, 3, 4} の要素について、文「A のすべての要素 x は x + 2 < 6 を満たす」の否定を言葉と式で表し、元の文と否定の真偽を答えてください。

元の文の対象は A の要素です。否定しても対象は A のままです。「すべて」を「少なくとも1つある」に変え、条件 x + 2 < 6 を否定します。不等号の境界を含めるので、答えは「A のある要素 x は x + 2 ≥ 6 を満たす」です。

図2のように、それぞれの要素を元の条件へ戻して調べます。1 + 2 = 3、2 + 2 = 4、3 + 2 = 5 はいずれも6未満ですが、4 + 2 = 6 は6未満ではありません。よって元の文は偽です。x = 4 は A の要素であり、4 + 2 ≥ 6 を満たすため、否定は真です。

図2では4が境界に達しています。もし否定を x + 2 > 6 と書けば、4を取り逃します。否定の式が元の条件の不成立をすべて拾うかを、等号を使って確かめてください。また x = 5 は不等式を満たしますが A の要素ではないので、この問題の例外として使えません。

標準例題：存在の否定と2つの条件

例題2：実数 x に関する文「ある実数 x が x ≥ 2 かつ x < 3 を満たす」の否定を表し、それぞれの文の真偽を答えてください。

まず「ある実数」を「すべての実数」に変えます。次に、後ろの2条件をまとめて否定します。

x ≥ 2 かつ x < 3
の否定は
x < 2 または x ≥ 3

したがって否定は「すべての実数 x について、x < 2 または x ≥ 3」です。元の文は真です。実際に x = 2 とすると、2 ≥ 2 かつ 2 < 3 だからです。求めた否定は偽で、同じ x = 2 を代入すると、2 < 2 も 2 ≥ 3 も成り立ちません。全称の文に対して、この1つが例外になります。

ここで x = 3 を代入すると、元の後半の 3 < 3 が偽です。否定側では 3 ≥ 3 が真なので、元の条件が崩れた理由と対応します。逆に x = 2 では前半の等号を含むので、否定した x < 2 は成り立ちません。2と3の両方を調べれば、それぞれ別の不等号に付く等号を確認できます。

「すべての実数が x < 2 かつ x ≥ 3」としてはいけません。これはどの実数も同時には満たせない、元の否定より強い条件です。元の2条件の片方が崩れた時点で、元の「かつ」は偽になります。両方の失敗を要求する必要はありません。

発展例題：量化の順序と境界

例題3：実数 a に対し、文「すべての実数 x について、x ≥ a または x ≤ 4 が成り立つ」を考えます。この文の否定を表し、元の文が真となる a の範囲を不等式で答えてください。

最初に量化を外側から否定します。ある実数 x が存在して、後ろの「または」が成り立たないという形です。次にそれぞれの不等式を否定し、「または」を「かつ」に変えます。

x ≥ a または x ≤ 4
の否定は
x < a かつ x > 4

よって否定は「ある実数 x が x < a かつ x > 4 を満たす」です。言い換えると、4 < x < a を満たす実数があるかという問いです。

まず a > 4 の場合、x = (a + 4)/2 と置きます。2は0でないので分数は定義されます。また a > 4 から次の2つが従います。

(a + 4)/2 - 4 = (a - 4)/2 > 0
a - (a + 4)/2 = (a - 4)/2 > 0

したがって 4 < x < a となり、否定は真、元の文は偽です。次に a ≤ 4 の場合を考えます。もし 4 < x < a なら、4 < a が従いますが、a ≤ 4 に反します。したがってそのような x は存在せず、否定は偽、元の文は真です。答えは a ≤ 4 です。

境界 a = 4 では、元の文は x ≥ 4 または x ≤ 4 です。4自身を含むすべての実数で少なくとも一方が成り立ちます。a = 5 なら x = 9/2 を元の文へ戻すと、9/2 ≥ 5 も 9/2 ≤ 4 も偽です。境界の両側と等号の場合を確かめることで、答えの向きも点検できます。

この解法で x を先に固定し、その1つの値についてだけ a を求めると、すべての x を扱ったことにはなりません。一方、a > 4 で作った中点は、各 a に応じた例外です。任意に選ばれた a > 4 ごとに例外が作れるので、その範囲全体を除けます。

誤答を直す：強すぎる否定と端点

「すべてのカードが青い」の否定を「どのカードも青くない」としたとします。青いカードと青くないカードが混ざっている場合、元の文は偽ですが、この誤答も偽です。元の文と否定が同時に偽になるので、誤答は正しい否定ではありません。

図3のように、青くないカードが1枚あれば元の全称は崩れます。残りの色に制約はありません。正しくは「青くないカードが少なくとも1枚ある」です。カードが1枚もない場合も、元の全称は例外がないため真で、正しい否定は偽になります。

図3の混在する場合は、強すぎる否定を見抜く試金石です。逆に「青いカードがある」の否定を「青くないカードがある」とするのも誤りです。混在なら両方が真になってしまいます。正しくは「すべてのカードが青くない」です。

数の条件では端点にも同じ点検をします。「x ≤ 7」の否定を「x ≥ 7」にすると、x = 7 で両方が真です。元の式が等号を含むので、否定は x > 7 です。否定を作ったら、境界値、境界の内側、外側をそれぞれ元の条件へ戻し、真偽が必ず反転するかを調べます。

練習：否定を作って真偽も調べる

次の5問では、否定を日本語と必要な式で表してください。真偽を求める問題では、対象の範囲に合う根拠も示します。

1. 集合 B = {-2, 0, 2, 5} について「B のすべての要素 x は x < 5 を満たす」の否定を作り、元の文と否定の真偽を答えてください。
2. 整数 n について「ある整数 n が 2 < n < 3 を満たす」の否定を作り、元の文と否定の真偽を答えてください。
3. 実数 t について「t ≤ -1 または t > 6」の否定を、かつを使った不等式で表してください。t = -1 と t = 6 をそれぞれ代入し、元の条件と否定の真偽を答えてください。
4. 実数 b について「すべての実数 y が y ≤ b または y ≥ 8 を満たす」の否定を作り、元の文が真となる b の範囲を不等式で答えてください。
5. 集合 C = {1, 3, 5, 7} について「C のある要素 m は m < 3 かつ m > 5 を満たす」の否定を作り、元の文と否定の真偽を答えてください。

解答と考え方

1. 否定は「B のある要素 x が x ≥ 5 を満たす」です。5は B に属し、5 ≥ 5 ですから否定は真、元の文は偽です。残りの -2、0、2 はいずれも5未満ですが、全称の真偽は5という例外で決まります。5を否定側に含めることで、境界の値を落としません。

2. 否定は「すべての整数 n について、n ≤ 2 または n ≥ 3」です。整数には2と3の間の数がないので、元の文は偽、否定は真です。2は否定の前半に入り、3は後半に入ります。対象を実数に変えると 5/2 が元の条件を満たすため、結論が変わることにも注意します。

3. 否定は「t > -1 かつ t ≤ 6」です。t = -1 では元の前半が真で、否定の前半は偽です。t = 6 では元の2条件がともに偽で、否定の2条件はともに真です。境界を含む側がそれぞれ異なるため、両端を別々に戻して確認します。

4. 否定は「ある実数 y が y > b かつ y < 8 を満たす」です。b < 8 なら y = (b + 8)/2 は b < y < 8 を満たすので、元の文は偽です。b ≥ 8 なら b < y < 8 を満たす y は存在しません。したがって元の文が真となる範囲は b ≥ 8 です。b = 8 では両方の不等式が8を含み、すべての実数を覆います。

5. 否定は「C のすべての要素 m について、m ≥ 3 または m ≤ 5」です。元の2条件を同時に満たす数は存在しないので、元の文は偽、否定は真です。実際に1は m ≤ 5、3と5は両方、7は m ≥ 3 を満たします。全要素を元の集合に戻して確認すると、否定の全称にも漏れがありません。

要点を短く整理

• 「すべて」の否定は、条件を満たさないものが少なくとも1つあることです。
• 「ある」の否定は、対象のすべてが条件を満たさないことです。
• 「かつ」と「または」を入れ替え、それぞれの条件も否定します。
• 不等号の否定では、等号が元の条件と否定のどちらに入るか確かめます。

答えがずれる場所を見つける

否定文が強すぎるときは、元の条件を満たすものと満たさないものが混在する場合を試します。元と書いた否定が同時に偽、または同時に真になれば修正が必要です。不等号で迷うときは境界を代入し、対象の集合から外れた数を例外に使っていないかも見直します。

個別指導では、まず生徒が元の文をどこまで一まとまりとして読んだかを、括弧と言葉で確かめます。次に例外を1つ挙げてもらい、それが対象に属するか、元の条件を本当に崩すかを順に点検します。条件の否定は、元の文の成立しない場合を正確に言い表します。