高校数学I 背理法の証明—結論の否定から矛盾まで仮定をたどってつなぐ｜武蔵野個別指導塾

偶奇と既約分数の証明で、結論を否定してから矛盾に至るまでの論理をつなぎます。

高1の自習でよくあるのは、示したい結論を証明の途中で仮定し、その結論を使って答えにたどり着く場面です。たとえば「整数が奇数である」と示したいのに、最初から奇数と置いて計算しても、奇数だった場合を調べただけです。背理法では結論そのものではなく、その否定を一時的に仮定します。その仮定から何が起こるかを追い、元の条件などと両立しない事実に到達させます。

要点（結論から）

• 元の条件を残して結論を否定し、同時には成り立たない事実を導きます。
• 整数の偶奇は互いに排他的で、奇数でない整数は偶数です。
• 既約分数では、分子と分母に1以外の共通因数が出れば矛盾します。

どんな問いで使うか

整数の偶奇について「ある条件を満たす整数は奇数である」と示す型があります。結論を否定して偶数と置き、元の条件に反することを導きます。偶数と奇数が整数を重なりなく分けることが、この否定の読み替えを支えます。

無理数について「ある数は有理数ではない」と示す型もあります。結論を否定して有理数とし、整数の分数として既約の形に表します。分子と分母に共通因数が生じれば、既約という出発点と衝突します。分母が0でないことと、既約の意味を忘れないようにします。

「そのような整数は存在しない」という型では、存在すると仮定します。何を存在させたのか、元の条件をすべて書き添えてから計算します。なお、存在することを示す問いでは、具体例を1つ作れるなら直接示す方法が短いこともあります。

結論を否定して道筋を作る

命題「条件 P ならば条件 Q」が真であることを示すとします。背理法では P を満たし、しかも Q が成り立たないと仮定します。この2つと既に正しいと認めた事実から矛盾を導けば、P を満たして Q を満たさない場合は存在しません。したがって、P ならば Q です。

図1のように、元の条件 P は残し、結論 Q だけを否定します。矛盾とは、同じ対象について同じ条件のもとで R と R でないことが同時に出るなど、両立しない事実です。単に計算が長くなったことや、予想と異なる数が出たことは矛盾ではありません。

図1の終点では、何と何が衝突したかを言葉にします。仮定から得た条件と元の条件の衝突でも、仮定から得た2つの条件の衝突でもかまいません。ただし、矛盾から退けられるのは、元の条件を保ったまま加えた結論の否定です。元の条件まで捨ててはいけません。

整数 n が偶数とは、整数 k を用いて n = 2k と表せることです。奇数とは、整数 k を用いて n = 2k + 1 と表せることです。整数は偶数または奇数のいずれか一方です。そのため、整数が奇数でないと仮定することは、偶数と仮定することに相当します。整数という範囲がなければ、この読み替えは使えません。

有理数とは、整数 a、0でない整数 b を使って a/b と表せる数です。分母の符号を必要に応じて変え、共通因数を取り除けば、b > 0 で a と b が互いに素な形にできます。互いに素とは正の共通の約数が1しかないことです。無理数とは有理数でない実数です。

直接証明は P から Q を導きます。対偶を使う証明は Q でないことから P でないことを導きます。背理法は P と Q でないことを同時に置き、矛盾を探します。どの方法でも、途中で証明したい Q を根拠なしに使うことはできません。直接進めるなら直接証明、否定した側から元の条件の否定がすぐ出るなら対偶、既約性のような別の事実と衝突させると見通しがよければ背理法を選べます。

基本例題：偶数と置いて衝突させる

整数 n について、n² が奇数ならば n は奇数であることを背理法で証明してください。

まず、元の条件は「n は整数で n² は奇数」、結論は「n は奇数」です。図2のように結論を否定すると、整数 n は偶数です。ここで n² の偶奇を調べて、元の条件と比べます。

証明します。n が奇数でないと仮定します。

n は整数なので、n は偶数です。

したがって、ある整数 k を用いて n = 2k と書けます。

n² = (2k)²
   = 4k²
   = 2(2k²)

k は整数なので 2k² も整数です。よって n² は偶数です。これは仮定の n² が奇数であることと矛盾します。したがって n が奇数でないという仮定は成り立たず、n は奇数です。

図2では、偶数と置いた先に平方の偶数が出て、元の奇数という条件に戻って衝突します。n = 2k と置く理由は整数の偶奇の分類です。最後に n² の偶数と奇数が同時には成立しないと述べることで、どこが矛盾かが明確になります。

この命題は対偶「n が奇数でなければ n² は奇数でない」を直接示しても証明できます。実際、上の計算は偶数の平方が偶数であることを示しています。いくつかの n を代入するだけでは、調べていない整数が残るため証明にはなりません。

標準例題：既約分数と偶奇を結ぶ

√6 が無理数であることを、既約分数を用いて証明してください。√6 は二乗すると6になる非負の実数です。以下では整数の偶奇に加え、整数の二乗が3の倍数なら元の整数も3の倍数であることを使います。

まず後者を確かめます。整数を3で割った余りは0、1、2のいずれかです。余りが1なら二乗の余りは1、余りが2なら二乗の余りは4を3で割った余りの1です。よって二乗が3の倍数なら、元の整数の余りは0です。これは有限個の余りをすべて調べた説明であり、数例を試すこととは異なります。

証明します。結論を否定して √6 が有理数であると仮定します。

すると、整数 a、正の整数 b を使い、a と b が互いに素となるように √6 = a/b と表せます。b > 0 なので分母は0ではなく、両辺を二乗して b² を掛けられます。

6 = a²/b²
6b² = a²

a² は3の倍数なので、上で確かめた性質から a は3の倍数です。そこで、ある整数 c を使って a = 3c と置きます。

6b² = 9c²
2b² = 3c²

右辺は3の倍数なので 2b² も3の倍数です。もし b が3の倍数でなければ、先の余りの確認から b² を3で割った余りは1であり、2b² の余りは2です。これは3の倍数であることに反します。したがって b も3の倍数です。

a と b はともに3で割り切れます。これは a と b が互いに素であることに矛盾します。よって √6 が有理数という仮定は成り立たず、√6 は無理数です。

最初から a と b をともに3の倍数としてはいけません。それは証明したい矛盾を先に置くことになります。また、分数を既約と指定せず共通因数が見つかっても、約分前の分数だった可能性があるため、それだけでは矛盾しません。既約の表示を選んだ事実が終点の根拠です。

発展例題：存在を仮定して偶奇を調べる

整数 x、y で x + y = 11 かつ x − y = 4 を満たすものは存在しないことを証明してください。答えは存在しない理由を含む証明で示します。

そのような整数 x、y が存在すると仮定します。2つの等式を辺々加えると、次のようになります。

(x + y) + (x - y) = 11 + 4
2x = 15

x は整数なので 2x は偶数です。一方、15 = 2・7 + 1 は奇数です。同じ整数 2x が偶数であり奇数でもあることになり、矛盾します。よって、指定された2条件を同時に満たす整数 x、y は存在しません。

実数として連立方程式を解けば x = 15/2、y = 7/2 です。元の2式には戻りますが、整数ではありません。式の条件に合うことと、対象の範囲に入ることは別々に確かめます。存在しないことを直接示す場合も、整数の偶奇が食い違うと説明できます。背理法では「存在する」と置いた対象の整数性が、衝突の片方を作ります。

誤答を直す：仮定の向きを取り違えない

基本例題に対し「n は奇数だから n = 2k + 1 と置く。すると n は奇数である」と書いたとします。これは結論を最初に認めており、n² が奇数という元の条件から n の奇数性を示していません。仮定がすでに結論を含む循環した説明です。

図3のように、誤った出発点を消して「n は奇数でない」を置きます。整数の分類から n は偶数となり、平方も偶数です。これを元の n² は奇数という条件と照合して初めて矛盾になります。

図3の修正では、結論の否定を置くことと、結論が正しいと決めることを区別します。否定した仮定は証明の途中でだけ使い、矛盾が出た後に退けます。また「n は偶数だから矛盾」とだけ書くのも不足です。偶数であること自体は可能であり、n² の奇数という元の条件との衝突まで示す必要があります。

否定の対象にも注意します。「x と y がともに偶数」の否定は「x または y の少なくとも一方が偶数でない」です。両方が奇数であると勝手に強めると、片方だけ奇数の場合を見落とします。全体の否定がどこまでを含むか、言葉に直してから式へ進みます。

練習問題

次の5問は、それぞれ根拠を含む証明、または指定された反例で答えてください。整数の範囲を明記した問いでは、その範囲を途中でも保ちます。

1. 整数 m について、m² が偶数なら m は偶数であることを背理法で証明してください。
2. 整数 p、q について、p + q が偶数なら p と q の偶奇は同じであることを背理法で証明してください。
3. √3 が無理数であることを、既約分数を用いて証明してください。整数の二乗が3の倍数なら元の整数も3の倍数であることは上の余りの議論を使えます。
4. 整数 u、v で u + v = 8 かつ u − v = 3 を満たす組が存在しないことを証明してください。
5. 「整数 t について、t² が奇数なら t は偶数である」は偽です。条件を満たし結論を満たさない整数の反例を1つ挙げ、その両方を確かめてください。

練習の解答と道筋

1. m が偶数でないと仮定します。m は整数なので奇数であり、整数 k を使って m = 2k + 1 と置けます。

m² = (2k + 1)²
   = 4k² + 4k + 1
   = 2(2k² + 2k) + 1

2k² + 2k は整数なので m² は奇数です。元の条件である m² の偶数性と矛盾します。したがって m は偶数です。奇数と置いて計算した後、元の平方の条件に戻すことが必要です。

2. p と q の偶奇が異なると仮定します。一方は偶数、もう一方は奇数なので、整数 a、b を使って和を 2a + (2b + 1) と表せます。

p + q = 2a + (2b + 1)
      = 2(a + b) + 1

a + b は整数なので p + q は奇数です。和が偶数という条件と矛盾するため、偶奇は同じです。p が偶数の場合と q が偶数の場合は、和の順序を入れ替えて同じ式で扱えます。両方が偶数または両方が奇数なら和が偶数になることも、元の条件と整合します。

3. √3 が有理数だと仮定し、整数 a、正の整数 b を互いに素として √3 = a/b とします。b は0でないので二乗して整理できます。

3 = a²/b²
3b² = a²

a² は3の倍数なので a も3の倍数です。整数 c について a = 3c と置きます。

3b² = 9c²
b² = 3c²

b² も3の倍数なので b も3の倍数です。a と b が互いに素であることと矛盾します。よって √3 は無理数です。分子と分母が共通に3で割れるという結論を、最初の既約性に戻して照合しています。

4. 条件を満たす整数 u、v が存在すると仮定します。等式を辺々加えると次のようになります。

(u + v) + (u - v) = 8 + 3
2u = 11

u が整数なら 2u は偶数ですが、11 = 2・5 + 1 は奇数です。両者の等号は成り立たず矛盾します。したがってそのような整数の組は存在しません。実数の組なら u = 11/2、v = 5/2 で元の和と差を満たしますが、どちらも整数ではありません。

5. たとえば t = 5 です。5 は整数で、t² = 25 = 2・12 + 1 は奇数なので仮定を満たします。一方、5 = 2・2 + 1 は奇数であり、偶数という結論を満たしません。対象の範囲、仮定、結論の不成立をそれぞれ確認したため、1つの反例で元の命題は偽といえます。

要点

• 元の条件を残して結論を否定し、同時には成り立たない事実を導きます。
• 整数の偶奇は互いに排他的で、奇数でない整数は偶数です。
• 既約分数では、分子と分母に1以外の共通因数が出れば矛盾します。
• 直接証明や対偶で短く進む場合も、条件と結論の向きを確かめます。

手が止まる場所を見分ける

否定が書けないときは、元の条件と結論に別々の印を付け、どちらを残すかを確認します。矛盾が見つからないときは、導いた事実の横に使った仮定を書き、最初の条件と照合します。個別指導では、奇数でない整数を偶数と置く理由や、既約性が最後にどう使われたかを本人の言葉で確かめます。結論を先に使っていないかを一行ずつ追えば、証明の道筋を修正できます。