高校数学I 必要条件と十分条件—二つの向きの反例を別々に探して判定する｜武蔵野個別指導塾

倍数の反例と係数0の例外から、判定の軸となるのが必要条件と十分条件です。

よくあるのは、高1の自習で一方向の矢印が成り立ったため、二つの条件を必要十分と判断する場面です。ある条件から別の条件が出ても、逆向きに戻れるとは限りません。戻れない理由を一つの数で示せれば、向きの違いははっきりします。

条件を満たす数の集まりを図に描く方法は便利です。ただし、図を描く前に対象を整数とするのか実数とするのかを決め、両向きについて実際に確かめることが欠かせません。ここでは倍数と方程式を使い、文字の値によって判定が変わるところまで追います。

答えを分ける3種類の問い

1つ目は、二つの条件 p、q が与えられ、「p は q の十分条件か、必要条件か」と問う形です。まず p から q への矢印を調べ、次に q から p への矢印を調べます。どちらも成り立てば必要十分条件です。一方だけなら十分条件か必要条件のどちらかになり、両方とも成り立たない場合もあります。

2つ目は、それぞれの矢印が成り立たないことを反例で示す形です。p から q への反例では、p が真で q が偽となる数を探します。逆向きでは、q が真で p が偽となる数を別に探します。単に両方が偽の数を挙げても、どちらの矢印も否定できません。

3つ目は、条件に文字が含まれ、その値ごとに関係を判定する形です。係数で割りたくなったら、その係数が0でないことを先に確かめます。0のときには方程式を元の形で調べ、条件を満たす数が存在するかまで確認します。

矢印と条件の名前を対応させる

同じ対象についての二つの条件を p、q とします。「p ならば q」が真であるとは、対象の範囲にある数のうち p を満たすすべての数が q も満たすことです。このとき p は q であるための十分条件、q は p であるための必要条件といいます。

十分とは、p があれば q を結論するのに足りるという意味です。必要とは、p が成り立つために q が欠かせないという意味です。どちらも同じ p → q を別の側から名付けています。図1のように、矢印の出発点が十分条件、到着点が必要条件です。

図1の逆向きの矢印は、元の矢印とは別に調べます。「p ならば q」と「q ならば p」がともに真なら、p は q の必要十分条件です。このとき q も p の必要十分条件です。片方向の証明を終えただけでは、必要十分と呼べません。

判定の組を言葉で整理すると、p → q だけが真なら p は q の十分条件ですが必要条件ではありません。q → p だけが真なら p は q の必要条件ですが十分条件ではありません。両方が偽なら p は q の必要条件でも十分条件でもありません。それぞれ「p は q の」という順番で読んでいます。

集合で考えるなら、全体集合を定め、p を満たす数の集合を P、q を満たす数の集合を Q とします。p → q が真であることと P が Q の部分集合であることは同じです。両向きが真なら P と Q は等しくなります。包含は判定をまとめる言葉ですが、包含を主張するには、任意の対象について根拠を示すか、否定する反例を示す必要があります。

特に、p を満たす対象が1つもないときは注意します。p を満たして q を満たさない対象も存在しないので、p → q は真です。これは「p を満たす数がある」という主張ではありません。空の条件から出る矢印と、逆向きの矢印は別に判定します。

基本例題：倍数から矢印をたどる

整数 n について、p を「n は6の倍数」、q を「n は3の倍数」とします。p が q の必要条件か十分条件かを判定し、成り立たない向きには整数の反例を1つ示してください。

まず p → q を調べます。n が6の倍数なら、ある整数 k を用いて次のように表せます。

n = 6k
  = 3・(2k)

k が整数なので 2k も整数です。よって n は3の倍数であり、p → q は真です。n が正の場合だけでなく、0や負の場合も整数 k に含まれるため、この説明で扱えます。

次に q → p を調べます。n = 3 は整数であり、3 = 3・1 なので q を満たします。しかし 3 = 6k とする整数 k はありません。実際、必要な k は 1/2 で、整数ではないからです。したがって n = 3 は q → p の反例で、この向きは偽です。

以上より、p は q の十分条件ですが、必要条件ではありません。図2のように、6の倍数は3の倍数に含まれますが、3の倍数から6の倍数へは戻れません。図の3は、逆向きが失敗する具体的な数です。

図2では集合の内側を見て一方向の関係をつかめます。ただし、図だけを根拠にせず、6k = 3・(2k) と整数性を言葉で示しました。逆向きの否定にも、3が出発点の q を満たし、到着点の p を満たさないことを両方書きます。

標準例題：両方向に反例が必要な場合

実数 x について、p を「x² = 9」、q を「x > 0」とします。p が q の必要条件か十分条件かを判定し、偽となる向きごとに実数の反例を1つ示してください。

p → q を調べるため、x² = 9 を満たす数を求めます。平方の差を因数分解すると、

x² - 9 = 0
(x - 3)(x + 3) = 0
x = 3 または x = -3

積が0なら少なくとも一方の因数が0です。x = -3 は実数で、(-3)² = 9 なので p を満たしますが、-3 > 0 は偽です。よって p → q は偽です。正の解 x = 3 が見つかっても、もう一つの解で失敗するため、矢印は真になりません。

次に q → p を調べます。x = 1 は実数で 1 > 0 だから q を満たします。一方、1² = 1 であり 9 ではないので p を満たしません。したがって q → p も偽です。p は q の必要条件でも十分条件でもありません。

2つの反例の役割は逆です。-3 は p を満たす側から q へ行けないことを示し、1 は q を満たす側から p へ行けないことを示します。例えば x = 0 は p も q も満たしません。どちらの向きについても仮定が成立しないので、この数だけでは矢印が偽だと示せません。

対象を正の実数に変えると、p を満たす数は3に限られ、p → q は真になります。元の問題では負の実数も対象なので、定義域を勝手に狭めてはいけません。同じ式でも対象の範囲が変われば、真偽は変わりえます。

発展例題：係数0を含めて分類する

実数 a を定数とし、実数 x に関する条件 p を「ax = 6」、q を「x = 2」とします。a の値に応じて、p が q の必要条件か十分条件かを分類してください。該当する a の範囲は実数の等式または不等式で示します。

先に q → p を調べます。q を満たす数は x = 2 なので、これを p に代入します。

2a = 6
a = 3

2は0でないので割れます。a = 3 なら x = 2 は p を満たし、q → p は真です。a ≠ 3 なら x = 2 は q を満たす一方、2a ≠ 6 なので p を満たしません。したがって、この数が q → p の反例です。

続いて p → q を調べます。まず a = 0 なら、p は 0・x = 6 です。左辺はどの実数 x に対しても0なので、p を満たす実数はありません。この場合、p を満たして q を満たさない反例は存在せず、p → q は真です。逆向きは、先ほど見たように x = 2 が反例です。

次に a ≠ 0 とします。この条件の下でのみ a で割ると、p を満たす数は x = 6/a の1つです。この数が q も満たすための条件は、

6/a = 2
6 = 2a
a = 3

ここでは a ≠ 0 なので、両辺に a を掛ける操作ができます。a = 3 のとき p の解は x = 2 で、p → q は真です。a ≠ 0 かつ a ≠ 3 のとき、x = 6/a は p を満たしますが、2とは異なるので q を満たしません。この数が p → q の反例です。

結果は次の3通りです。

元の条件にも戻して確認します。a = 3 では 3x = 6 と x = 2 が同じ実数を選びます。a = 0 では 0x = 6 が不可能ですが x = 2 は可能です。残る場合は x = 6/a と x = 2 が異なり、各方向に反例があります。したがって、行の分け方と矢印の判定が対応しています。

ここで、ax = 6 の両辺を a で割った式だけから始めると、a = 0 の行を失います。a = 0 を後で式 6/a に代入することもできません。分母が0になる式は定義されないからです。例外の有無は計算の最後ではなく、割る前に確かめます。

誤答を矢印と反例で修正する

基本例題で「6の倍数は3の倍数だから、6の倍数であることは3の倍数であるための必要十分条件」と答える誤りを考えます。前半の矢印は正しいのですが、後半の逆向きが調べられていません。図3のように、逆向きの出発点に3を置けば、3の倍数から6の倍数へ戻れないとわかります。

図3では、3は左の条件を満たしますが、右の条件を満たしません。よって「3の倍数ならば6の倍数」は偽です。十分条件という結論は残し、必要十分条件という結論を修正します。

もう一つの誤りは、p → q が偽だと言いたいのに、q を満たして p を満たさない数を挙げることです。それは q → p の反例であって、求めた向きの反例ではありません。反例の横に「仮定は真、結論は偽」と書き、どちらが仮定かを矢印で指してから代入すると、向き違いを防げます。

練習問題

各問で指定した範囲を守り、真偽と反例を求めてください。反例は指定した数の種類で1つずつ示します。

1. 整数 n について p を「n は8の倍数」、q を「n は4の倍数」とします。p が q の必要条件か十分条件かを判定し、偽の向きに整数の反例を示してください。
2. 実数 x について p を「x = -4」、q を「x² = 16」とします。p が q の必要条件か十分条件かを判定し、偽の向きに実数の反例を示してください。
3. 整数 n について p を「n は偶数」、q を「n は3の倍数」とします。p が q の必要条件か十分条件かを判定し、偽の向きそれぞれに整数の反例を示してください。
4. 実数 x について p を「x > 5」、q を「x ≥ 5」とします。p が q の必要条件か十分条件かを判定し、偽の向きに実数の反例を示してください。
5. 実数 b を定数とし、実数 x について p を「bx = 10」、q を「x = 5」とします。b の値に応じて p と q の関係を分類し、b の範囲を実数の等式または不等式で示してください。

練習の解答と考え方

1. p は q の十分条件ですが必要条件ではありません。n = 8k と書けば k は整数で、n = 4・(2k) だから q を満たします。逆向きは n = 4 が反例です。4 = 4・1 ですが、4 = 8k とする整数 k はありません。元の条件で4の倍数であり8の倍数でないことまで確かめます。

2. p は q の十分条件ですが必要条件ではありません。x = -4 なら (-4)² = 16 です。逆向きは x = 4 が反例で、4² = 16 ですが 4 ≠ -4 です。二乗すると符号の違いが消えるため、等式を逆向きに読む前に両方の符号を点検します。

3. p は q の必要条件でも十分条件でもありません。n = 2 は偶数ですが3の倍数ではなく、p → q の反例です。n = 3 は3の倍数ですが偶数ではなく、q → p の反例です。2と3はいずれも指定された整数で、各矢印の仮定と結論を逆にしないように確認します。

4. p は q の十分条件ですが必要条件ではありません。x > 5 なら x ≥ 5 です。逆向きは x = 5 が反例で、等号を含む q は満たしますが、等号を含まない p は満たしません。境界そのものを調べると、厳密な不等号の違いが見えます。

5. b = 0 のとき、p を満たす実数はなく p → q は真です。x = 5 は q を満たしますが 0・5 ≠ 10 なので q → p は偽です。よって p は q の十分条件で、必要条件ではありません。

b ≠ 0 のとき、p は x = 10/b と同値です。この値が5に等しいのは 10 = 5b、すなわち b = 2 のときです。b = 2 なら 2x = 10 と x = 5 は同じ条件なので、p は q の必要十分条件です。

b ≠ 0 かつ b ≠ 2 なら、x = 10/b は p を満たしますが q を満たしません。また x = 5 は q を満たしますが、5b ≠ 10 なので p を満たしません。したがって p は必要条件でも十分条件でもありません。3つの場合は実数 b の取りうる値を重なりなく分けています。

手元に残す要点

• p → q が真なら、p は q の十分条件、q は p の必要条件です。
• 必要十分には p → q と q → p の両方が必要です。
• 反例は調べる矢印の仮定を満たし、結論を満たさない対象です。
• 定義域と、文字で割る前の0の場合を確かめます。
• 仮定を満たす対象がないときも、逆向きと分けて判定します。

どこで向きが入れ替わったかを見つける

答えが食い違うときは、まず「p は q の」という順番を書き、十分条件の判定に p → q を使ったかを見ます。次に反例を元の二つの条件へ代入し、仮定が真で結論が偽かを口に出して確かめます。反例が対象の範囲に入らない場合は、範囲内で探し直します。

個別指導で確かめる箇所は、正しい矢印を一つ見つけた後に逆向きも自分で問い直せるか、係数0のときに割らずに元の式を読めるかです。条件の名前を暗記しただけでは区別しにくい場面も、対象と矢印を紙に残すと判断の根拠が見えます。必要十分の判定は、二つの向きがそれぞれ成立するかで決まります。