高校数学A メネラウスの定理—一直線上の三点と延長した辺を見て比の式を作る｜武蔵野個別指導塾

延長上の点までの長さを辺全体と区別し、一直線の条件と逆を学ぶメネラウスの定理です。

よくあるのは、定期テスト前に三角形の辺を延長した図を見て、延長部分の長さを辺全体の長さと混同する場面です。点が辺の外にあると、たとえば辺BCと線分BRは同じではありません。Cの先にRがあれば、BRはBCとCRを合わせた長さです。図に見える三点が一直線に並ぶことを手がかりに、どの三角形のどの線分を使うかを順番に確かめましょう。

直線と辺の交点から何を求めるか

出方の一つは、三角形の2辺と残りの辺の延長にある3点が一直線上にあるとき、未知の長さを求める問題です。与えられた比をそのまま掛け始める前に、辺全体と分けられた部分を区別します。長さが文字で与えられたときも、点の並びを図に書けば、足すべきか引くべきかを判断できます。

もう一つは、辺上や延長上の3点について比が与えられ、それらが一直線上にあることを示す問題です。こちらは定理の逆を使います。積が1になることに加え、点が指定された辺や延長上にあることも確認して結論を出します。

さらに、三角形の頂点から引いた3本の直線が一点で交わる問題では、チェバの定理が候補です。一直線上に並ぶ3点を調べるのか、頂点からの3本が一点に集まるのかで選びます。図の線が多い場合は、必要な三角形を別に描き、交点を3個だけ取り出すと見通しがよくなります。

外側の点も含めて比を一周する

三角形ABCで、Pを辺AB上、Qを辺AC上、Rを辺BCのC側の延長上に取ります。P、Q、Rが一直線上にあるなら、メネラウスの定理により次が成り立ちます。点は頂点と異なるものとし、線分の長さは正の数として扱います。

AP/PB × BR/RC × CQ/QA = 1

図1のように、AからBへ、BからCへ、CからAへと頂点を一周し、それぞれの辺を直線が切る点で分けた長さを並べます。延長上のRについても、BからRまでとRからCまでを使います。分母の頂点から次の分子の頂点へ移ると覚えれば、比の向きがそろいます。

図1のようにCがBとRの間にあるので、BR = BC + CRです。逆に、BRとBCがわかっていればCR = BR − BCです。RはBC上にはありませんから、BC = BR + CRとはなりません。外分とは、このように2点を結ぶ線分の外側にある点で、2点からの距離の比を考えることです。RはBCを外分しています。

式の根拠も確かめましょう。A、B、Cから直線PQRへ下ろした垂線の長さを、それぞれhA、hB、hCとします。Pをはさむ直角三角形は、Pでの角が対頂角で等しいので相似です。したがってAP/PB = hA/hBです。同様に、RについてBR/RC = hB/hC、QについてCQ/QA = hC/hAです。掛けると高さが消えて1になります。どの高さも0ではなく、割り算ができます。

逆に、Pが辺AB上、Qが辺AC上、RがBCのC側の延長上にあり、上の積が1なら、P、Q、Rは一直線上です。確かめ方は、直線PQとBCの延長との交点をR’とすることです。PとQから決まる直線はBCに平行ではありません。平行ならAP/PBとAQ/QCが等しくなりますが、積が1という条件はそれらの比が異なることを要求するからです。定理をR’に使うとBR’/R’C = BR/RCとなります。C側の延長上でこの比を満たす点は1つなのでR’とRは一致します。したがって3点は一直線上にあります。

逆の説明で交点R’の位置も調べます。AP/PB = a、AQ/QC = bと置くと、積が1という条件はBR/RC = b/aを意味します。RがC側にあるのでBR/RC > 1です。したがってb > aとなり、QはAから見てPより各辺の中で先にあります。直線PQをQの先へ延ばすとBCのC側の延長に達します。そこで得たR’について、BR’/R’C = b/aです。Cからの距離をt、BCをdとすれば、この比は(d + t)/tです。比をkと置いたときt = d/(k − 1)と一通りに決まり、R’とRの一致が裏付けられます。

線分の比だけが与えられたときは、辺の実際の長さが不明でも式を立てられます。たとえばAP:PBが1:3ならAP/PBは1/3ですが、AP/ABは1/4です。AB全体を使う比と、2つの部分を比べる比は別物です。問題文にAP:ABが与えられた場合は、まず残りのPBに対応する数を引き算で求めてから式に入れます。図の線分に数字を書き込めば、どの長さ同士を比べたかを後から追えます。

なお、直線が三角形の3辺の延長をそれぞれ横切る配置でも、同じように一周した比の積は1です。ただし頂点を通る場合や辺に平行で交点がない場合は、そのままこの式を書けません。まず、使う交点が存在し、分母になる線分が0でないことを確かめます。

基本例題：延長部分を求める

三角形ABCの辺AB上にP、辺AC上にQを取り、直線PQと辺BCのC側の延長との交点をRとします。AP = 2 cm、PB = 4 cm、AQ = 4 cm、QC = 2 cm、BC = 6 cmです。CRの長さを既約分数または整数で、単位を付けて求めてください。

図2のように、RはCの外側にあります。求めるCRをx cmと置くと、xは正です。また、BからRまでの長さは辺BCと延長部分の和なので、BR = 6 + x cmです。ここでBRを6 cmと置くと、延長部分を含まない線分を使ったことになります。

図2の三角形ABCをA、B、Cの順に一周し、直線PQRとの交点を使います。定理に代入して、次のように計算します。

AP/PB × BR/RC × CQ/QA = 1

2/4 × (6 + x)/x × 2/4 = 1

(6 + x)/(4x) = 1

6 + x = 4x

3x = 6

x = 2

答えはCR = 2 cmです。途中で4xを掛けられるのは、RがC側の延長上にありx > 0だからです。最後にBR = 6 + 2 = 8 cmと戻すと、2/4 × 8/2 × 2/4 = 1です。与えられたBCもBR − CR = 8 − 2 = 6 cmとなり、元の長さと合います。

同じ結果は、まず比を求めても出せます。最初と最後の比はそれぞれ1/2なので、真ん中のBR/RCは4です。BR:RC = 4:1と見ると、差に当たるBCは3に対応します。BCが6 cmなので比の1は2 cmです。この方法でも、4に対応するのがBCではなくBRである点が重要です。

式を逆向きに一周しても構いません。PB/AP × RC/BR × QA/CQ = 1は、上の式の全ての比を逆にしたものです。一方、1個だけ逆にすると積は一般に1ではなくなります。式を書き終えたら、一つの頂点で終わる比の次に、その頂点から始まる比があるかを見てください。

少し難しい例題：逆を使う条件を調べる

三角形ABCで、Pは辺AB上、Qは辺AC上、Rは辺BCのC側の延長上にあります。AP:PB = 2:3、AQ:QC = 3:2、BC = 15 cmです。P、Q、Rが一直線上にあるためのCRの長さを、既約分数または整数で、単位を付けて求めてください。また、その長さなら一直線上にある理由も説明してください。

CR = x cmと置くと、BR = 15 + x cmです。一直線上にあるなら定理から、次の式が必要です。

2/3 × (15 + x)/x × 2/3 = 1

4(15 + x) = 9x

60 + 4x = 9x

x = 12

したがって必要な長さは12 cmです。ただし、ここまででは一直線上にあるなら12 cmになると示した段階です。問題は「その長さなら」という向きも尋ねています。x = 12ならBR = 27 cmで、2/3 × 27/12 × 2/3 = 1です。P、Q、Rの位置も定理の逆の条件を満たすので、3点は一直線上です。BR − CR = 27 − 12 = 15 cmとなり、与えられたBCにも戻ります。

条件が変わり、Rを辺BCの内部に取るなら、BR = BC − CRです。PとQもそれぞれ辺AB、ACの内部にある場合、3点は一直線上に並びません。ただし、長さの比の積が1になること自体はあります。上の比でCR = 60/13 cm、BR = 135/13 cmとすれば積は1ですが、外分点という位置の前提を満たさないので、メネラウスの定理の逆は使えません。比の計算とともに、各点が辺の内部か延長上かを確かめます。

誤答を線分の意味から直す

基本例題でCRをx cmとして、次の式を立てる誤りを考えます。

2/4 × 6/x × 2/4 = 1

ここではBRに6を入れています。しかし6 cmはBCであり、Rまでの長さではありません。図3のように、BからCまでとCからRまでをつないだものがBRです。分子のBRを6 + xに直してから解き直します。

図3のようにBCとCRを分けて書けば、BR = BC + CRを読み取れます。誤った式はx = 3/2を与えますが、その値で本来のBRを使うと、2/4 × (6 + 3/2)/(3/2) × 2/4 = 5/4となり1ではありません。答えを元の図に戻す検算で誤りに気づけます。

もう一つの誤りは、AP/PB、BR/RC、QA/CQと、最後の比だけ逆にすることです。CからAへ進む最後の比はCQ/QAです。両端の文字を一周するように並べ、1つの比だけを書き換えないようにします。長さの計算が合っていても、対応が逆なら別の式を解いてしまいます。

練習：位置を描いてから式を立てる

次の3問はそれぞれ独立です。長さの答えは既約分数または整数で、単位を付けてください。点は指定された辺の端点とは異なります。

1. 三角形ABCの辺AB上にP、辺AC上にQを取り、直線PQとBCのC側の延長との交点をRとします。AP = 3 cm、PB = 6 cm、AQ = 6 cm、QC = 3 cm、BC = 9 cmのとき、CRを求めてください。
2. 三角形DEFの辺DE上にS、辺DF上にT、辺EFのF側の延長上にUがあります。DS:SE = 1:2、DT:TF = 3:1、EF = 10 cmです。S、T、Uが一直線上にあるためのFUを求め、その長さで一直線になることも説明してください。
3. 三角形KLMの辺KL上にX、辺KM上にY、辺LMのM側の延長上にZがあります。KX:XL = 2:3、KY:YM = 4:1、LZ = 12 cm、MZ = 2 cmです。X、Y、Zは一直線上にありますか。理由を式で示してください。

練習の答えと考え方

1. CR = x cmとするとBR = 9 + x cmです。定理により、3/6 × (9 + x)/x × 3/6 = 1です。よって9 + x = 4x、x = 3です。答えは3 cmです。BR = 12 cmと戻すと、3/6 × 12/3 × 3/6 = 1で、12 − 3 = 9 cmも元のBCに合います。

2. FU = x cmならEU = 10 + x cmです。一直線上なら、1/2 × (10 + x)/x × 1/3 = 1です。10 + x = 6xなのでx = 2です。逆にFU = 2 cmならEU = 12 cmとなり、1/2 × 12/2 × 1/3 = 1です。定理の逆から3点は一直線上です。EU − FU = 10 cmなので辺EFの条件も満たします。答えは2 cmです。

3. 一周する積は、KX/XL × LZ/ZM × MY/YK = 2/3 × 12/2 × 1/4 = 1です。各点の位置は定理の逆の条件に合うので、一直線上にあります。LZ − MZ = 10 cmが辺LMの長さとなり、ZはM側の延長上に置けます。比を逆にしても、3個全てを逆にした積は1です。

要点を線に沿って確認

辺と延長を切る3点が一直線なら、頂点を一周した比の積は1です。
外分点では、辺全体と延長部分を足して遠い頂点からの長さを出します。
位置の条件と積が1であることをそろえれば、逆から一直線を示せます。
頂点からの3本の共点を調べるときはチェバの定理を考えます。

どこで手が止まったかを見る

式が作れないときは、まず三角形の3頂点を指し、横切る直線との交点をそれぞれ言葉にしてみます。比は書けるのに答えが合わないときは、分子と分母を結んで一周できるか、延長部分を足したかを確認します。計算後に与えられた辺の長さへ戻すことも、図の読み違いを見つける手がかりです。

個別指導で確かめるなら、BR = BC + CRと置いた理由を、点の並びを指しながら本人に説明してもらいます。続いて、一直線を仮定した計算と、逆を使う結論の間に必要な条件を確かめます。比の積の意味と外分点の位置がつながると、複雑な図でも使う三角形を選べます。