高校数学B 母比率の仮説検定—帰無仮説の比率で標準誤差を作って判断する｜武蔵野個別指導塾

帰無仮説の比率を分母に使う理由を押さえ、観測個数から両側検定の判定と結論までを求めます。

よくあるのは、高2の人が割合の検定式を見て、分母にも観測した割合を無条件に代入する場面です。標本から得た割合は計算に必要ですが、帰無仮説のもとでどれほど揺れるかを測る物差しは別に考えます。何を仮定して揺れを計算し、どの結果ならその仮定と食い違うとみなすのかを、具体的な回数から追います。

問われる形を見分ける

1つ目は、母比率がある値と等しいと仮定して、観測値が両側の棄却域に入るか判断する形です。回数から標本比率を出し、帰無仮説の値を基準に標準化します。観測値が基準より大きい場合も小さい場合も、絶対値で同じ境界と比べます。

2つ目は、棄却される回数の範囲を先に求める形です。標準化した不等式を回数に戻したあと、回数が整数であることに注意します。3つ目は、標準誤差の式や結論の文の誤りを直す形です。推定と検定の式の役割を区別し、不棄却から等しいと証明したことにしないか確かめます。

帰無仮説のもとで割合の揺れを測る

ある性質を持つものの母比率を p とします。独立に同じ確率 p で得られる標本を n 個取り、その性質を持つ個数を X、標本比率を R = X/n とします。復元抽出はこの条件を満たす一例です。偏った選び方や、戻さずに多く取り出す場合には、この独立のモデルをそのまま使えるとは限りません。

両側検定では、観測前に帰無仮説 H₀: p = p₀ と対立仮説 H₁: p ≠ p₀ を定めます。p₀ は 0 と 1 の間の既知の仮定値です。帰無仮説のもとで X は二項分布 B(n, p₀) に従い、R の平均は p₀、分散は p₀(1 − p₀)/n です。その平方根が標準誤差です。

図1のように、帰無仮説から分母を作ってから、観測した R との差を比べます。標本比率は分子に入りますが、分母に入れる値は仮説の p₀ です。

n p₀ と n(1 − p₀) がともに十分大きい場合、二項分布に由来する標本比率の分布を正規分布で近似します。ここでは連続補正をしない近似を使い、Z = (R − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n) を標準正規分布に近いものとして扱います。小標本や p₀ が端に近い場合は近似を安易に使えません。

有意水準を両側5%と定めると、標準正規分布の左右の裾にそれぞれ約2.5%を置きます。中心から 1.96 までの確率は表の 1.9 行と 0.06 列で 0.4750 です。したがって左右の裾の合計は 2(0.5 − 0.4750) = 0.0500 となり、|Z| ≧ 1.96 を棄却域とします。表の値と近似による境界なので、実際の離散的な棄却確率が厳密に5%になるとは限りません。

有意水準は、帰無仮説が正しい場合に棄却する手続の確率を調整する基準です。帰無仮説が正しい確率ではありません。また、母比率を区間推定するときには未知の p の代わりに R を使って標準誤差を推定する近似があります。その式と、仮説の p₀ のもとで分布を作る検定式は目的が異なります。

基本例題：基準からのずれを測る

ある箱から札を1枚ずつ戻して十分に混ぜ、独立に400回取り出します。印のある札の母比率を p とし、印がある回数は224回でした。H₀: p = 0.5、H₁: p ≠ 0.5 とし、有意水準5%の両側検定を行います。正規近似を使い連続補正はしません。標準化した値を小数で求め、結論を述べてください。

復元して混ぜるので各回の確率は一定で独立です。仮説のもとで成功と失敗の期待回数はどちらも200回であり、十分大きいとして近似します。

R = 224/400 = 0.56
p₀(1 - p₀)/n = 0.5・0.5/400 = 0.000625
√0.000625 = 0.025
Z = (0.56 - 0.5)/0.025
  = 0.06/0.025
  = 2.4

1行目は印の回数を標本数で割った割合です。2行目では観測割合ではなく仮説の 0.5 を使い、3行目で平方根を取っています。最後に仮説値との差を標準誤差で割りました。

図2のように、2.4 は右の境界 1.96 より外側にあります。|2.4| > 1.96 なので H₀ を棄却し、母比率は 0.5 と異なると判断します。有意水準5%での判断であり、差の原因や実用上の大きさまではわかりません。

逆に 0.5 + 2.4・0.025 = 0.56、0.56・400 = 224 です。元の回数に戻るので、割合と標準化の転記が合っています。棄却しても、母比率の正確な値を 0.56 と確定したわけではありません。

標準例題：棄却される個数を求める

別の箱から札を戻して混ぜながら独立に625回取り出します。印のある母比率について H₀: p = 0.4、H₁: p ≠ 0.4 とします。有意水準5%、連続補正なしの正規近似で、棄却される印の個数 X の範囲を整数で求めてください。

仮説のもとで期待回数は印ありが250、印なしが375で、ともに十分大きいとします。R = X/625 の標準誤差は次のとおりです。

√(0.4・0.6/625) = √0.24/25
Z = (X/625 - 0.4)/(√0.24/25)

棄却域の左側を回数に戻します。正の数を掛けるため不等号の向きは変わりません。

Z ≦ -1.96
X/625 - 0.4 ≦ -1.96√0.24/25
X ≦ 250 - 49√0.24

同じ方法で右側は X ≧ 250 + 49√0.24 です。24 < 49√0.24 < 25 は、正の各辺を二乗して 576 < 576.24 < 625 と確かめられます。したがって左端は 225 と 226 の間、右端は 274 と 275 の間です。整数の回数に戻すと、答えは X ≦ 225 または X ≧ 275 です。

225 と 275 は境界の外側、226 と 274 は内側です。回数を四捨五入するのではなく、不等式を満たす整数を選びました。たとえば X = 250 なら R = 0.4 で Z = 0 となり、棄却されないことも元の仮説と整合します。

発展例題：同じずれでも標本数で判断が変わる

ある性質の母比率について H₀: p = 0.36、H₁: p ≠ 0.36 とします。独立に同じ確率で得られた標本で、標本比率はいずれも 0.42 です。標本Aは400個、標本Bは1600個とします。有意水準5%の両側検定をそれぞれ行い、連続補正なしの正規近似で判断してください。

標本Aの仮説のもとでの期待回数は 144 と 256、標本Bでは 576 と 1024 です。いずれも十分大きいので近似を使います。0.36・0.64 = 0.2304、√0.2304 = 0.48 に注意します。

Aの標準誤差 = 0.48/√400 = 0.024
Aの Z = (0.42 - 0.36)/0.024 = 2.5
Bの標準誤差 = 0.48/√1600 = 0.012
Bの Z = (0.42 - 0.36)/0.012 = 5

AもBも絶対値が 1.96 以上なので、どちらも H₀ を棄却します。Bでは標本数が4倍になり、標準誤差が半分です。同じ 0.06 の差が、仮説のもとの揺れの何倍かという尺度では2倍になります。

標本Aの成功数は 400・0.42 = 168、標本Bは 1600・0.42 = 672 で、どちらも整数です。計算結果を差に戻すと、2.5・0.024 = 0.06、5・0.012 = 0.06 です。標本数を増やしても抽出の偏りは消えないため、独立性と選び方の確認は別に必要です。

誤答から分母と結論を直す

基本例題で「標準誤差は √(0.56・0.44/400)」とするのは、観測した R をそのまま検定の分母に入れた誤答です。図3のように、観測値は仮説からの差を作る側、0.5 は帰無仮説のもとで揺れを作る側に置きます。

原因は、区間推定で標本比率を代入する近似式と、検定で仮説の分布を使う式を同一視することです。修正すると分母は √(0.5・0.5/400) = 0.025 です。別の計算で結論が偶然同じでも、仮説のもとの基準を使っていないことは変わりません。

また、棄却されなかった結果を「p = p₀ が証明された」と書くのも誤りです。正しくは「この有意水準では p が p₀ と異なると判断する根拠が得られなかった」と書きます。判断に必要な差が検出されなかった場合も含むからです。検定後に片側へ変更して結論を選ぶことも、事前に定めた両側の手続とは異なります。

練習問題

各問で独立に同じ確率で標本を得たとします。各検定は有意水準5%の両側、連続補正なしの正規近似を用い、仮説のもとの成功と失敗の期待回数はともに十分大きいものとします。標準化した値は指定がなければ正確な分数または整数で表し、結論を述べてください。

1. カードの印の母比率について p₀ = 0.5 とし、標本900枚中の印は420枚です。Z と検定の結論を求めてください。
2. 部品のある性質の母比率について p₀ = 0.2 とし、標本400個中にその性質を持つものが96個ありました。Z と検定の結論を求めてください。
3. 色札の母比率について p₀ = 0.8 とし、標本400枚中の該当札は304枚です。Z と検定の結論を求めてください。
4. 印刷物のある特徴の母比率について p₀ = 0.5、標本数100とします。棄却される特徴の個数の範囲を整数で求めてください。
5. ある材料の性質の母比率について p₀ = 0.25、標本数900、該当個数270です。Z を根号を用いて正確に表し、検定の結論を求めてください。

練習の答えと解き方

1

R = 420/900 = 7/15
標準誤差 = √(0.5・0.5/900) = 1/60
Z = (7/15 - 1/2)/(1/60)
  = (-1/30)・60 = -2

仮説値との差を標準誤差で割っています。|-2| > 1.96 なので H₀ を棄却し、母比率は 0.5 と異なると判断します。1/2 − 2/60 = 7/15、900・7/15 = 420 と回数に戻ります。

2

R = 96/400 = 0.24
標準誤差 = √(0.2・0.8/400) = 0.02
Z = (0.24 - 0.2)/0.02 = 2

仮説の 0.2 を使って分母を計算します。|2| > 1.96 なので H₀ を棄却し、母比率は 0.2 と異なると判断します。0.2 + 2・0.02 = 0.24、400・0.24 = 96 で元の個数です。

3

R = 304/400 = 0.76
標準誤差 = √(0.8・0.2/400) = 0.02
Z = (0.76 - 0.8)/0.02 = -2

負の値は観測割合が仮説値より小さいことを表します。|-2| > 1.96 なので H₀ を棄却し、母比率は 0.8 と異なると判断します。0.8 − 2・0.02 = 0.76、400・0.76 = 304 です。

4

標準誤差 = √(0.5・0.5/100) = 0.05
Z = (X/100 - 0.5)/0.05
Z ≦ -1.96 または Z ≧ 1.96
X ≦ 40.2 または X ≧ 59.8

正の数を掛けて回数に戻しました。X は整数なので、答えは X ≦ 40 または X ≧ 60 です。40 と 60 は棄却域に入り、41 と 59 は入りません。X = 50 を代入すると Z = 0 となり、仮説値の中心も確かめられます。

5

R = 270/900 = 0.3
標準誤差 = √(0.25・0.75/900) = √3/120
Z = (0.3 - 0.25)/(√3/120)
  = 6/√3 = 2√3

分母は仮説値の 0.25 で作ります。2√3 は正で、その二乗は12です。1.96² = 3.8416 より 2√3 > 1.96 なので H₀ を棄却し、母比率は 0.25 と異なると判断します。0.25 + 2√3・√3/120 = 0.3、900・0.3 = 270 と戻ります。

覚えておくこと

帰無仮説の p₀ で標準誤差を作ります。 両側5%では近似的に |Z| ≧ 1.96 なら棄却します。 不棄却は等しいことの証明ではありません。

つまずきの見分け方

分母が違うときは、まず「どの仮説のもとでの分布か」を口に出し、p₀ と R を別々に書いてもらいます。式の記憶だけで進めず、成功と失敗の期待回数、独立性、両側かどうかを順に確かめます。個別指導では、観測回数から R に直し、計算した Z から R と回数へ戻せるかを確認します。

棄却しない問題では結論を一文で書き、等しいと証明した表現になっていないかを見ます。数式と判断の言葉を結びつけると、母比率の検定で何を仮定したかが明確になります。