高校数学B 標本比率の分布—成功回数を標本数で割り平均と標準誤差を求める｜武蔵野個別指導塾

割合と百分率を区別し、成功回数から平均と標準誤差を求める出発点は標本比率です。

高2の生徒が、調査で「当てはまる」と答える人の割合を計算しています。もとの割合は40%なのに、分散の式に40を入れてよいのか、それとも0.4を入れるのかで手が止まります。よくあるのは、人数を数える式と割合を表す式が途中で混ざる場面です。まず1回の調査で何を数えるかを決め、割合を0から1までの数として扱いましょう。

同じ条件で標本を取り直せば、成功人数もその割合も変わります。その変わり方を考えると、平均だけでなく、標本ごとの割合がどの程度散らばるかも計算できます。以下の調査の数字は、計算のために作った条件です。

出方を3つに分ける

1つ目は、母比率と標本数から標本比率の平均、分散、標準偏差を求める型です。成功人数の二項分布を先に考えると、なぜ分散を標本数で割るのかが見えます。標準偏差を求めるときには、分散の平方根を取ります。

2つ目は、標本比率がある値を取る確率を求める型です。比率に標本数を掛け、成功回数が何回に当たるかを調べてから二項分布を使います。回数が整数にならない値は、標本比率として実現しません。平均や分散が計算できても、その値を観測できるとは限りません。

3つ目は、標本数が大きいときに標本比率を正規分布で近似する型です。平均からのずれを標準偏差で割り、標準正規分布の確率に直します。近似できる条件と連続補正を使うかどうかを確認し、近似値と厳密な確率を区別します。母比率の推定や信頼区間の計算には進まず、ここでは分布の性質を扱います。

人数から比率へ変換する

母集団の中で、ある性質を持つものの割合を p とします。1回の抽出で性質を持つものが出ることを成功と呼び、成功確率を p とします。各回が独立で、毎回同じ p で成功するという条件のもとで n 回抽出し、成功回数を X とします。このとき X は二項分布 B(n, p) に従います。

標本比率 R は、成功回数を標本数で割った R = X/n です。n は正の整数です。p は母集団の固定された割合であり、R は抽出をやり直すと変わる確率変数です。1回の標本で実際に得た比率も標本比率と呼びますが、分布を考えるときは結果が出る前の R を考えています。

図1のように、回数を n で割ると、取りうる値は 0, 1/n, 2/n, …, 1 です。各値の確率は対応する成功回数の確率と同じです。例えば R = k/n となることと X = k となることは同じ出来事です。

図1の矢印は、確率を割る操作ではなく、値を割る操作を表します。二項分布の平均と分散は E(X) = np、V(X) = np(1 − p) です。定数倍の平均は同じ定数倍、分散は定数の2乗倍になるので、次のように導きます。

E(R) = E(X/n) = E(X)/n = np/n = p
V(R) = V(X/n) = V(X)/n²
     = np(1 - p)/n² = p(1 - p)/n

したがって標準偏差は √{p(1 − p)/n} です。標本比率の標準偏差を標準誤差とも呼びます。ここでの標準誤差は、母比率 p を与えたときの標本比率の理論上の散らばりです。分散の平方根を取った値なので、分散と同じ数として扱わないようにします。

p が固定されていれば、標本数を4倍にすると分散は1/4、標準誤差は1/2になります。ただし大きな標本でも、抽出が特定の種類に偏れば、ここで仮定した同じ成功確率の独立な試行とは異なります。例えば母集団から戻さず抽出すると、前の結果によって次の成功確率が変わる場合があります。その際にこの二項分布の式を厳密な式として使うことはできません。

百分率で表した値を Q = 100R とすると、E(Q) = 100p、V(Q) = 10000V(R)、標準偏差は 100√{p(1 − p)/n} です。40%は比率0.4に対応し、p に40を入れることはありません。p = 0 または1なら標本比率は一定で標準誤差は0です。この場合、標準誤差で割る標準化はできません。

基本例題：標本比率の中心と散らばり

ある印のあるカードが出る確率は各回 2/5 です。カードを戻して混ぜる操作を繰り返し、独立に25回取り出します。印が出た回数を X、その標本比率を R とします。R の平均と分散は分数で、標準誤差は根号を含む正確な形で求め、R = 12/25 となる確率を分数の積で表してください。

各回の成功確率が 2/5 で独立なので、X は B(25, 2/5) に従います。図2のように、25回中12回の成功は比率 12/25 に対応します。

図2の標本比率は1回の標本の結果です。平均は、同じ方法の抽出を繰り返したときの分布の中心であり、この標本の 12/25 と一致する必要はありません。

まず、成功回数の平均を標本数で割ります。

E(X) = 25・(2/5) = 10
E(R) = 10/25 = 2/5

次に、回数の分散を25の2乗で割ります。1回の失敗確率は 1 − 2/5 = 3/5 です。

V(X) = 25・(2/5)・(3/5) = 6
V(R) = 6/25² = 6/625

よって標準誤差は √6/25 です。分散 6/625 の平方根であり、分子が6のままにはなりません。

最後に、比率を回数に戻して確率を求めます。25回のうち成功する12回の選び方は 25C12 通りで、各並びの確率は (2/5) の12乗と (3/5) の13乗の積です。

R = 12/25 と X = 12 は同じ出来事
P(R = 12/25) = P(X = 12)
              = 25C12・(2/5) の12乗・(3/5) の13乗

成功12回と失敗13回は合わせて25回です。得られた比率に25を掛けると12回に戻り、対応が合います。なお、この確率を 12/25 とすることはできません。12/25 は結果としての割合で、12回になる確率は試行の並びも考えて求めます。

標準例題：観測可能な値と正確な確率

小さな部品が検査に合格する確率は各回 1/3 とします。独立に6個を検査し、合格個数 X と合格した標本比率 R を考えます。R = 1/2 となる確率、および R = 2/5 となる確率をそれぞれ分数で求めてください。各部品の合否は互いに影響せず、同じ確率で合格するものとします。

X は B(6, 1/3) に従い、R = X/6 です。R = 1/2 は X = 3 に対応するため、合格が3個、残りの不合格も3個です。

P(R = 1/2) = P(X = 3)
            = 6C3・(1/3)³・(2/3)³
            = 20・1/27・8/27
            = 160/729

6C3 = 20 は、6個のうち合格する3個の選び方です。1つの並びだけではなく20通りを足すので、積に20を掛けています。6・(1/2) = 3 は整数で、条件に合う個数です。

一方、R = 2/5 なら X = 6・(2/5) = 12/5 となります。合格個数は整数なので、この値は実現しません。したがって P(R = 2/5) = 0 です。確率0という結論は、式に無理に非整数の個数を入れるのではなく、実際の標本に戻して確かめます。

例えば R ≦ 1/2 なら X ≦ 3 です。R < 1/2 なら X < 3、すなわち整数の X について X ≦ 2 です。等号が付くかどうかで境界の3個を含むかが変わります。比率が離散的な値しか取れないことを忘れると、境界の確率を足し間違えます。

発展例題：正規近似の入口と標本数の比較

各試行が独立で、毎回の成功確率が 1/2 の操作を400回行います。成功回数を X、標本比率を R とします。R の平均と標準誤差を分数で求め、0.45 ≦ R ≦ 0.55 の確率を、連続補正を使わず標準正規分布 Z の確率で近似して表してください。数値表による面積の計算は求めません。

X は B(400, 1/2) に従います。成功と失敗の期待回数はどちらも200で、標本数は大きく、正規近似を使う条件として十分に大きい状況です。まず平均と標準誤差を求めます。

E(R) = 1/2
V(R) = (1/2)・(1/2)/400 = 1/1600
標準誤差 = √(1/1600) = 1/40

正規近似では R を平均 1/2、標準偏差 1/40 の正規分布で近似します。両端から平均を引き、正の標準偏差で割ります。

(0.45 - 0.5)/(1/40) = -2
(0.55 - 0.5)/(1/40) = 2
P(0.45 ≦ R ≦ 0.55) ≒ P(-2 ≦ Z ≦ 2)

Z は平均0、標準偏差1の標準正規分布に従います。ここでの「≒」は二項分布を正規分布に置き換えた近似を表します。表の値を使う場合は、手元の表がどの区間の面積を載せているかを確かめ、該当する端点の値を読みます。

この例で元の条件は 180 ≦ X ≦ 220 です。整数の回数に対応する幅を考えて連続補正を使うなら、回数の端点を 179.5 と 220.5 に置き換えます。X の平均は200、標準偏差は10なので、近似の式は P(-2.05 ≦ Z ≦ 2.05) です。指定のない補正を勝手に混ぜず、どちらの方法か示すことが大切です。どちらの式も厳密な二項確率そのものではありません。

同じ p = 1/2 で1600回に増やせば、分散は (1/4)/1600 = 1/6400、標準誤差は 1/80 です。400回の場合の4倍の標本数で、標準誤差が半分になりました。ただし独立性や同じ成功確率という条件が崩れた場合には、この比較をそのまま使えません。

誤答を直す：分散と標準誤差は別の量

25回の基本例題について、「標本比率は X を25で割るので、分散も6を25で割って 6/25」と答えたとします。平均の定数倍の規則を、そのまま分散にも当てたことが原因です。分散は平均との差の2乗の平均なので、値を1/25倍すると差の2乗は1/25²倍になります。

図3のように、平均には1/25、分散には1/25²を掛けます。分散を計算した後に平方根を取れば、標準誤差は1/25倍です。

図3の分散の矢印を確認すると、正しい分散は 6/625、標準誤差は √6/25 と戻せます。もし 6/25 を分散とすると、分散が標本数の増加に対して小さくならない形になり、この条件での変化と合いません。

もう1つの誤りは、40%を p = 40 と置くことです。すると p(1 − p) が負になり、分散として成立しません。40%を 40/100 = 0.4 としてから計算し、結果を百分率の単位に直す必要がある場合は最後に100倍します。百分率の分散は倍率を2乗するので10000倍です。結果が負になる、標本比率が1を超える、成功個数が整数にならない、といった点は計算を止めて条件に戻る合図です。

練習問題

いずれも各回が独立で成功確率が一定の自作の設定です。X を成功回数、R = X/n を標本比率とします。答えの形と、必要なときの近似方法を各問題に従ってください。

1. ある色の玉が出る確率が 3/4 の操作を16回行います。R の平均と分散を分数で、標準誤差を根号を用いて求めてください。
2. 印刷の点検で1枚が合格する確率を 2/3 とし、独立に4枚を点検します。R = 3/4 となる確率を分数で求めてください。
3. 種が発芽する確率を 1/5 とし、独立に8粒を調べます。R = 3/10 となる確率を求め、その理由を個数に戻して述べてください。
4. 部材が条件を満たす確率を 1/4 とし、独立に400個を調べます。R の平均と標準誤差を分数または根号で求め、R ≦ 0.3 の確率を連続補正なしで標準正規分布 Z の確率として近似してください。数値表の面積は不要です。
5. ある条件を満たす確率が 2/5 の操作を独立に n 回行います。標本比率の分散を 3/500 以下にする正の整数 n の最小値を求め、その値と直前の整数を条件へ代入して確かめてください。

練習の答えと解き方

1. 分散から平方根を取る

条件より X は B(16, 3/4) に従います。失敗確率は 1/4 ですから、次のように計算します。

E(R) = 3/4
V(R) = (3/4)・(1/4)/16
     = 3/256
標準誤差 = √(3/256) = √3/16

平均は 3/4、分散は 3/256、標準誤差は √3/16 です。戻して確かめると、X の平均は 16・(3/4) = 12 回、分散は 16・(3/4)・(1/4) = 3 です。これらをそれぞれ16、16²で割ると上の結果に一致します。

2. 比率を合格枚数に直す

4・(3/4) = 3 より、求める出来事は4枚中3枚の合格です。残る1枚は不合格で、その確率は 1/3 です。

P(R = 3/4) = P(X = 3)
            = 4C3・(2/3)³・(1/3)
            = 4・8/27・1/3
            = 32/81

3枚の合格と1枚の不合格は合わせて4枚です。合格する3枚の選び方4通りを含み、もとの割合 3/4 に戻ります。

3. 実現できる個数を調べる

R = 3/10 なら X = 8・(3/10) = 12/5 です。発芽した粒数は整数であるため、この個数はありえません。答えは0です。取りうる R は 0, 1/8, 2/8, …, 8/8 で、3/10 はそのどれにも当たりません。

4. 正規分布の境界を標準化する

X は B(400, 1/4) に従います。成功と失敗の期待個数はそれぞれ100と300で、標本数が大きいため正規近似を用います。標準誤差を先に求めます。

E(R) = 1/4
V(R) = (1/4)・(3/4)/400 = 3/6400
標準誤差 = √3/80

R = 0.3 の境界から平均 0.25 を引き、標準誤差で割ります。

(0.3 - 0.25)/(√3/80) = 4/√3
P(R ≦ 0.3) ≒ P(Z ≦ 4/√3)

指定どおり連続補正は使っていません。元の個数では R ≦ 0.3 は X ≦ 120 です。境界 120/400 = 0.3 に戻るので対応しています。表に載らない端点について数値を補間して作らず、ここでは確率の式までを答えとします。

5. 条件を満たす最小の整数

標本比率の分散を条件の上限と比べます。n は正なので、不等式の両辺に n を掛けても向きは変わりません。

V(R) = (2/5)・(3/5)/n = 6/(25n)
6/(25n) ≦ 3/500
6・500 ≦ 3・25n
3000 ≦ 75n
40 ≦ n

最小の正の整数は n = 40 です。元の条件に戻すと、n = 40 で分散は 6/1000 = 3/500 となり、上限と等しくなります。直前の n = 39 では 6/975 = 2/325 で、2・500 = 1000 は 3・325 = 975 より大きいため、2/325 > 3/500 です。n を増やすほど 6/(25n) は小さくなるので、これで最小性も確認できます。

覚えておくこと

• 独立で同じ成功確率 p の n 回なら、X は二項分布、R = X/n です。
• 平均は p、分散は p(1 − p)/n、標準誤差はその平方根です。
• 確率を求める前に、比率を整数の成功回数に戻します。
• 正規近似では条件と連続補正の有無を示します。
• 百分率への変換では、分散の倍率を2乗します。

つまずきを見分けるには

平均と分散のどちらにも n を1回だけ割っている答案なら、R = X/n の両辺の平均との差を2乗して、倍率が 1/n² になるところを確かめます。分散から標準誤差に進むときに平方根を忘れる場合は、求めた標準誤差を2乗して分散に戻るかを見ます。

個別指導で確認するなら、「比率に n を掛けると何回か」「その回数は整数か」「毎回の成功確率は同じか」の順に本人に説明してもらうと、立式と条件のどちらで迷っているかが見えます。正規近似では、標準化した両端を元の比率に戻す練習も有効です。1回の結果と繰り返したときの分布を区別すれば、標本比率の数字に意味が伴います。