高校数学III 一次式の置換積分—変数と微分の対応を途中式に残して戻す｜武蔵野個別指導塾

負の係数を持つ一次式を置き換え、dxとdtの対応を残してから、初期条件で積分定数を決めます。

よくあるのは、式の中の一次式をtと置き換えたのに、積分記号の右にdxを残す場面です。見た目は短くなっても、何について積分しているのかが曖昧になり、係数を落としやすくなります。置換は文字を取り替えるだけでなく、変数の変化の割合も一緒に書き直す操作です。元の変数に戻し、微分で出発点へ帰るまでを一続きに考えます。

どんな式で使うか

第一の型は、(ax+b)のべきのように、まとまった一次式が繰り返し現れる式です。展開しても積分できる場合がありますが、指数が大きいと項が増えます。一次式をひとまとまりにすると、べきの公式をそのまま使えます。例えば内側の係数が3なら、原始関数を微分したときに3が現れるので、その分を前もって調整します。

第二の型は、指数関数や三角関数の中に一次式が入る式です。外側の関数の積分を知っていても、内側の傾きを忘れると答えは定数倍だけずれます。内側の係数が負なら、その符号も調整に含めます。三角関数の角は弧度法で扱います。

第三の型は、原始関数に値が指定される問題です。置換後に積分定数を付け、元の文字へ戻してから指定された値を代入します。置換積分そのものと条件による定数の決定を分けると、どこで誤ったか見つけやすくなります。ここでは不定積分を扱い、定積分の端点の変換には立ち入りません。

一次式と微分を一組にする

区間上で連続な関数fの原始関数をFとすると、F′(t)=f(t)です。aを0でない定数とし、t=ax+bと置きます。tはxの微分可能な関数で、dt/dx=aです。合成関数の微分により、F(ax+b)をxで微分するとa f(ax+b)になります。したがって、次の関係が成り立ちます。

∫ f(ax+b) dx = (1/a)F(ax+b) + C

ここでCは積分定数です。これは微分して元の被積分関数に戻ることから確かめられます。置換の記録ではdt=a dx、つまりdx=dt/aと書きます。dxとdtは単なる飾りではなく、それぞれどの変数について積分するかを示しています。係数1/aは変数の変化の割合を合わせるために必要です。

図1のように、一次式と微分の2つを並べると、tだけ先に書き換えてdxを残すミスを見つけられます。fが連続な区間内で考えること、aが0でないことを先に確かめます。a=0ならtは一定で変数として使えず、もとの式は定数の積分として処理します。例えばf(b)が定義されるなら、その原始関数はf(b)x+Cです。

不定積分の答えは原則として元の変数xで表します。途中のtは計算用の名前なので、答えに残したままでは問題の形に戻っていません。また、置換の前後で別々に積分定数を足す必要はありません。最後に1つの任意定数として表せます。

基本例題：べきの中身をまとめる

次の不定積分を、積分定数を含む式で求めてください。

∫ (3x+2)⁴ dx

被積分関数は全実数で連続です。t=3x+2と置くと、dt/dx=3ですから、dt=3 dx、dx=dt/3です。図2のように、括弧の中身とdxを同時に置き換えます。

∫ (3x+2)⁴ dx
= ∫ t⁴ (dt/3)
= (1/3)∫ t⁴ dt
= (1/3)・(t⁵/5) + C
= (3x+2)⁵/15 + C

1行目から2行目では、括弧をtにし、dxもdt/3にしています。3行目は定数を積分の外に出したものです。4行目でt⁴の原始関数t⁵/5を使い、最後にtをxの式へ戻しました。指数を1増やして5で割る操作と、内側の係数3で割る操作は別々です。

検算では、答えをxで微分します。(3x+2)⁵/15の導関数は、5(3x+2)⁴・3/15であり、(3x+2)⁴に戻ります。積分定数の導関数は0です。内側の3を微分時に掛けた結果、置換時に付いた1/3が打ち消されます。こうして係数も含めて元の問題に戻ることが確認できます。

展開して積分する方法もありますが、この問題で確認したいのは一次式全体を保ったまま計算する方法です。答えを微分すれば、展開せずとも正しさを確かめられます。答えの指数を4のままにしたり、分母を5だけにしたりした場合は、この微分でそれぞれ次数や係数が合わなくなります。

標準例題：負の係数を持つ角

次の不定積分を、積分定数を含む式で求めてください。

∫ cos(4-2x) dx

cosは連続で、角4-2xも全実数で定義されます。t=4-2xと置くと、dt/dx=-2なので、dt=-2 dx、dx=-dt/2です。一次式が減少するため、変換の係数は負になります。

∫ cos(4-2x) dx
= ∫ cos t (-dt/2)
= -(1/2)∫ cos t dt
= -(1/2)sin t + C
= -(1/2)sin(4-2x) + C

cos tの原始関数はsin tです。ここで現れた負号はcosの積分によるものではなく、dt=-2 dxに由来します。最後の式を微分すると、-(1/2)cos(4-2x)・(-2)=cos(4-2x)です。負号が2つ掛かって元の式へ戻ります。

もし正のsin(4-2x)/2と書けば、微分した結果は-cos(4-2x)です。被積分関数と符号が逆なので、積分定数を変えても直りません。積分定数は微分すると消えるため、変数に依存する誤差は吸収できないからです。負の係数を見たら、置換の行で負号を明記し、最後の微分でも内側の導関数を掛けます。

発展例題：条件から定数を決める

全実数で定義される関数Fについて、F′(x)=e⁽²ˣ⁻³⁾、F(1)=4とします。F(x)をeを含む正確な式で求めてください。

指数関数と一次式は全実数で連続です。まず導関数から原始関数の族を求め、次に条件を使います。t=2x-3とするとdt=2 dx、dx=dt/2です。

F(x) = ∫ e⁽²ˣ⁻³⁾ dx
     = (1/2)∫ eᵗ dt
     = eᵗ/2 + C
     = e⁽²ˣ⁻³⁾/2 + C

eᵗをtで微分してもeᵗなので、3行目になります。ここでx=1を代入すると、指数は2-3=-1です。F(1)=4を使ってCを決めます。

4 = e⁻¹/2 + C
C = 4 - e⁻¹/2
F(x) = e⁽²ˣ⁻³⁾/2 + 4 - e⁻¹/2

最終式を微分すると、指数の導関数2と前の1/2が消えてe⁽²ˣ⁻³⁾になります。またx=1では指数関数の2項が相殺され、F(1)=4に戻ります。導関数の条件と値の条件は別の情報です。微分が合うだけでは定数が正しいとは限らず、値が合うだけでも導関数が正しいとは限りません。

条件をtの式に入れる方法もありますが、その場合はx=1に対応するt=-1を使います。xの値をtの値としてそのまま代入すると、異なる点の条件になってしまいます。ここでは先にxに戻すことで、問題文に書かれた条件をそのまま照合しました。定数が決まった後の式には、任意定数Cを残しません。

途中式に残ったdxを直す

例えば∫ (5x-1)³ dxに対して、t=5x-1と置いた後に「∫ t³ dx」と書くのは不十分です。被積分関数はtの式なのに、積分変数はxのままです。この行でtをxの関数として読むなら元の式と同じですが、続けてtのべきとして積分する根拠がありません。dt=5 dxを使い、次のように変数と微分をそろえます。

∫ (5x-1)³ dx
= (1/5)∫ t³ dt
= t⁴/20 + C
= (5x-1)⁴/20 + C

図3のように、tに直した式にdxが残っていないかを確認します。最後の答えの導関数は4(5x-1)³・5/20=(5x-1)³です。係数1/5を落としてt⁴/4とすれば、微分結果は元の5倍です。逆にdt=5 dxからdx=5 dtと取り違えると、さらに別の係数になります。等式の両辺を5で割ってdx=dt/5と書く一手が、その失敗を防ぎます。

もう一つの失敗は、t⁴/20+Cで終えることです。計算途中としては正しくても、xの式を求める元の問題への答えとしては置換を戻す作業が残っています。戻した後に微分する習慣を付けると、係数、符号、変数の3点をまとめて確認できます。

練習：5つの置換を自分で書く

各問で置換とdxの変換を明記してください。1〜4は積分定数を含む式、5は条件を満たす関数を正確な式で答えます。

1. ∫ (2x+7)³ dx を求めてください。
2. ∫ sin(3x-5) dx を求めてください。
3. ∫ e⁽¹⁻⁴ˣ⁾ dx を求めてください。
4. ∫ (6-3x)² dx を求めてください。
5. G′(x)=(4x+1)²、G(0)=2のとき、G(x)を求めてください。

練習の解答と照合

1

t=2x+7ならdt=2 dxなので、dx=dt/2です。連続な多項式を全実数で積分します。

∫ (2x+7)³ dx
= (1/2)∫ t³ dt
= t⁴/8 + C
= (2x+7)⁴/8 + C

微分すると4(2x+7)³・2/8=(2x+7)³です。指数を増やす係数4と、内側の係数2が分母8に対応します。元の被積分関数に戻るので、積分定数を含めた答えです。

2

t=3x-5ならdt=3 dx、dx=dt/3です。sinは連続で、角は弧度法です。

∫ sin(3x-5) dx
= (1/3)∫ sin t dt
= -cos t/3 + C
= -cos(3x-5)/3 + C

-cos tの導関数がsin tなので負号が必要です。最後の式をxで微分すると、sin(3x-5)・3/3となり、問題の式に戻ります。内側の係数が正でも、sinの積分には負号が付くことに注意します。

3

t=1-4xならdt=-4 dx、dx=-dt/4です。指数関数は全実数で連続です。

∫ e⁽¹⁻⁴ˣ⁾ dx
= -(1/4)∫ eᵗ dt
= -eᵗ/4 + C
= -e⁽¹⁻⁴ˣ⁾/4 + C

微分すると、(-1/4)e⁽¹⁻⁴ˣ⁾・(-4)=e⁽¹⁻⁴ˣ⁾です。指数の係数が負なので、原始関数の前にも負号が付きます。元の正の被積分関数へ戻るかを見ると、符号の取り違えを発見できます。

4

t=6-3xと置くとdt=-3 dx、dx=-dt/3です。二乗の中身が減少しても、dxの変換には負号が要ります。

∫ (6-3x)² dx
= -(1/3)∫ t² dt
= -t³/9 + C
= -(6-3x)³/9 + C

微分すると、-(1/9)・3(6-3x)²・(-3)=(6-3x)²です。答えの前が負でも導関数は非負です。符号を見た目だけで判断せず、内側の微分まで計算します。

5

t=4x+1ならdt=4 dx、dx=dt/4です。まず微分条件を満たす一般形を出します。

G(x) = (1/4)∫ t² dt
     = t³/12 + C
     = (4x+1)³/12 + C

次にG(0)=2を代入すると、2=1/12+Cです。よってC=23/12であり、求める関数は次の式です。

G(x) = (4x+1)³/12 + 23/12

微分すれば3(4x+1)²・4/12=(4x+1)²です。x=0を代入すれば1/12+23/12=2となり、値の条件にも戻ります。積分定数を決める前と後の2段階を区別して確認してください。

手元に残す要点

• t=ax+bではa≠0を確かめ、dt=a dxからdx=dt/aとします。
• 積分の中は、関数と微分を同じ変数にそろえます。
• 不定積分の答えはxへ戻し、積分定数を付けます。
• 微分して係数と符号を照合し、条件があれば代入して確かめます。

つまずいた行を見分ける

個別指導で答案を見るときは、まずtを定義した行の次にdtとdxの関係があるかを確かめます。関係式は正しいのに係数が違うなら、dxについて解く行を一緒にたどります。tとdxが混在していたら、どちらの変数で積分する行なのかを本人の言葉で説明してもらいます。

最後の微分で元の式に戻らなければ、内側の導関数を掛けたか、三角関数の符号を取り違えていないかを確認します。微分は合うのに初期条件が合わない場合は、積分定数を決める代入を見直します。一次式の置換では、文字を戻した後の微分が計算の道筋を照らします。