高校数学C 三角形の線分の共点—二本の交点が残る一本にも乗ると示す｜武蔵野個別指導塾

対辺の分点を結ぶ2本の交点を計算し、残る1本への代入で共点を証明する手順をたどります。

よくあるのは、三角形の頂点から対辺へ引いた2本が交わる図を見て、残る1本も同じ点を通ると考える場面です。2本の交点をPと名付けるところまでは正しくても、その点が3本目にある理由はまだありません。図は見通しを与えますが、分点の位置が少し変わると共点は崩れます。位置ベクトルの係数を使い、交点を特定してから残る条件へ戻しましょう。

どの問いでも最後の1本を見る

代表的な問いは3種類あります。第1に、3辺の分点の比が与えられ、3本が共点かどうかを判定する問いです。まず2本の交点を計算し、3本目の式に代入します。通らなければ、最初の2本が交わっていても共点ではありません。

第2に、共点となるように残る分点の比を求める問いです。交点を先に求め、頂点と交点を結ぶ直線が対辺と交わる位置を逆算します。比には向きがあるので、例えばCE:EAとEA:CEを取り違えないようにします。

第3に、比に文字が入ったとき、共点の条件とその範囲を求める問いです。式が成り立っても、分点が辺の内部にある条件や、交点が線分上にある条件を調べなければ結論は出ません。直線の式の媒介変数は実数全体を動きますが、線分に限るなら0以上1以下です。

係数を3つに分けて位置を記録する

三角形ABCは3頂点が一直線上にないとします。Oを原点とし、A、B、C、Pの位置ベクトルをそれぞれa、b、c、pとします。a、b、cはベクトルです。Dは辺BCの内部、Eは辺CAの内部、Fは辺ABの内部に取ります。図1のように各頂点と向かい側の点を結びます。

図1の3本が共点であるとは、同じ点が線分AD、BE、CFのいずれにも属することです。3本のうち2本が交わるだけでは条件が1つ足りません。特に、延長した直線上にあることと、もとの線分上にあることも区別します。

係数の和が1となる形で、点Pを次のように表すことにします。

p = xa + yb + zc
x + y + z = 1

この表し方の係数は一意です。実際、aを基準にすると p − a = y(b − a) + z(c − a) です。三角形は退化していないので、b − aとc − aは平行でなく、係数を比較できます。yとzが決まればxも1 − y − zで決まります。係数比較の前にこの非平行を確認することが大切です。

例えばBD:DC = m:n（m、nは正）なら、内分公式によりDの位置ベクトルdは d = (nb + mc)/(m + n) です。Bに近いほどbの重みが大きくなります。PがAD上にあるとき、あるtについて次の式を満たします。

p = (1 - t)a + td
  = (1 - t)a + tn/(m + n)b + tm/(m + n)c

線分AD上なら0 ≤ t ≤ 1です。特に内部なら0 < t < 1なので、Pの係数は y:z = n:m です。逆に、x、y、zが正でこの比を満たせば、t = y + zと置くことで0 < t < 1となり、Pは線分AD上にあります。同じ考え方を他の2本にも使います。

CE:EA = r:sなら、Eの位置ベクトルは (ra + sc)/(r + s) です。BE上の内部点ではz:x = s:rです。AF:FB = u:vなら、Fの位置ベクトルは (va + ub)/(u + v) で、CF上の内部点ではx:y = v:uです。分子の並びは、分点に近い側の係数が大きいという内分の意味で確認できます。

基本例題：交点を求めてから戻す

三角形ABCの辺BC、CA、ABの内部にそれぞれD、E、Fを取り、BD:DC = 1:2、CE:EA = 1:1、AF:FB = 2:1とします。線分AD、BE、CFが共点であることを示し、共点Pの位置ベクトルをa、b、cで表してください。図2はこの配置です。

図2ではDがBCを1:2に分け、EはCAの中点、FはABを2:1に分けます。まず内分公式で分点を表します。

d = (2b + c)/3
e = (a + c)/2
f = (a + 2b)/3

ADとBEの交点Pを求めます。AD上の係数は y:z = 2:1、BE上の係数は z:x = 1:1 です。よってx:z = 1:1であり、2つの関係を合わせます。

x:y:z = 1:2:1
x + y + z = 1
x = 1/4、y = 1/2、z = 1/4
p = (a + 2b + c)/4

この計算から得た係数が正であるため、Pは各辺を除く三角形の内部にあります。式で線分上かどうかも確かめます。

p = (1/4)a + (3/4)d
p = (1/2)b + (1/2)e
p = (1/4)c + (3/4)f

3つの係数3/4、1/2、3/4はすべて0と1の間です。したがってPはAD、BE、CFの各線分上にあります。3本目について実際にfを代入したことで、共点が証明できました。係数の比でいえばx:y = 1:2で、Fのaとbの係数の比とも一致します。

逆に検算すると、dのbとcの係数は2:1でBD:DC = 1:2に戻ります。eのaとcの係数は同じなのでCE:EA = 1:1です。fのaとbの係数は1:2でAF:FB = 2:1に戻ります。図の位置だけで判断せず、与えられた3つの比を復元できました。

標準例題：共点になる分点を決める

三角形ABCでDはBCをBD:DC = 2:3に内分し、EはCAをCE:EA = 4:1に内分します。ADとBEの交点をPとします。直線CPとABの交点をFとするとき、AF:FBを整数の比で求め、PがCFの内部にもあることを示してください。

2本の線分の交点を先に固定する方法を選びます。Dの式は d = (3b + 2c)/5、Eの式は e = (4a + c)/5 です。Pの係数をx、y、zとすると、AD上とBE上の条件から次を得ます。

y:z = 3:2
z:x = 1:4
x:y:z = 8:3:2
x + y + z = 1
p = (8a + 3b + 2c)/13

Pは次の形に書けるので、ADとBEの内部に確かにあります。

p = (8/13)a + (5/13)d
p = (3/13)b + (10/13)e

次に、CF上の点ではaとbの係数の比がFのそれと同じです。したがってFの位置ベクトルは f = (8a + 3b)/11 となります。内分公式の係数は距離比と逆順なので、答えはAF:FB = 3:8です。

p = (2/13)c + (11/13)f

11/13は0と1の間ですから、Pは線分CFの内部にあります。さらにFの係数8:3はFB:AFに対応し、求めた3:8を元の辺へ戻せます。DとEについてもそれぞれ係数3:2、4:1から与えられた比が再現されます。逆順にする場所を明示すれば、3:8と8:3の誤りを区別できます。

発展例題：文字の条件と存在を一緒に調べる

三角形ABCの辺BC、CA、ABの内部にD、E、Fを取り、BD:DC = 3:2、CE:EA = 2:5、AF:FB = k:4とします。kは正です。線分AD、BE、CFが共点となるkを求め、その共点の位置ベクトルをa、b、cで表してください。

DとEは固定されています。まずADとBEの交点を決め、その後Fがそこを通るための条件を課します。内分公式と係数の比は次のとおりです。

d = (2b + 3c)/5
e = (2a + 5c)/7
y:z = 2:3
z:x = 5:2

最初の式と次の式でzをそろえます。

y:z = 10:15
z:x = 15:6
x:y:z = 6:10:15
p = (6a + 10b + 15c)/31

AD、BEの内部にあることを、分点の式へ直接戻して確かめます。

p = (6/31)a + (25/31)d
p = (10/31)b + (21/31)e

両方の媒介変数は0より大きく1より小さいので、これは求める2本の線分の交点です。PがCFにもあるなら、fのaとbの係数の比は6:10 = 3:5でなければなりません。一方、AF:FB = k:4から次の式が成り立ちます。

f = (4a + kb)/(k + 4)
4:k = 3:5
3k = 20
k = 20/3

必要性だけで終わらないよう、この値を戻します。k = 20/3なら f = (3a + 5b)/8 です。

p = (15/31)c + (16/31)f

16/31は0と1の間なので、PはCFの内部にもあります。よってk = 20/3は十分でもあります。Fの係数3:5を距離比に戻すとAF:FB = 5:3 = (20/3):4で、問題の条件と一致します。k = 0や負の値は、そもそもFを辺の内部に置くという条件に合いません。k + 4で割る際も、kが正なので分母は0ではありません。

二本が交わるという誤答を直す

「ADとBEがPで交わる。したがってAD、BE、CFは共点である」という説明は不足しています。図3のようにFを別の場所へ動かしても、DとEを変えなければPは動きません。CFがPを通るのは、Fが直線CPと辺ABの交点にある場合です。

図3では赤い2本の交点Pと、緑のCFがずれています。見た目のずれが小さい図でも、同じ論理の穴があります。修正には、まずPの位置ベクトルを計算し、次に p = (1 − t)c + tf を満たすtがあるかを調べます。係数比較でtが存在しなければ直線上にもありません。存在してもtが0未満または1を超えるなら、延長上であり線分上ではありません。

もう1つの誤りは、内分の距離比を係数の比と同じ順にすることです。AF:FB = 2:1なら f = (a + 2b)/3 です。FはBに近いので、bの係数が大きいと図でも確かめられます。式と図の両方に戻る習慣が、逆順の取り違えを防ぎます。

手を動かす5問

以下では三角形ABCは退化せず、a、b、cは各頂点の位置ベクトルとします。分点は指定した辺の内部にあります。比は整数の比で答えてください。

1. BD:DC = 1:3、CE:EA = 2:1とします。ADとBEの交点Pをa、b、cで表してください。
2. BD:DC = 4:1、CE:EA = 1:2とします。ADとBEの交点を通るCFについて、AF:FBを求めてください。
3. BD:DC = 2:5、CE:EA = 3:4、AF:FB = 8:15とします。AD、BE、CFは共点ですか。交点の係数を求めて判定してください。
4. BD:DC = 1:4、CE:EA = 1:3、AF:FB = 2:3とします。3本が共点か判定し、共点でないときCFがADとBEの交点を通るためのAF:FBを求めてください。
5. BD:DC = h:2、CE:EA = 1:2、AF:FB = 3:5とします。hは正です。3本が共点となるhを求め、交点が各線分の内部にあることを確かめてください。

解答と元の条件への照合

1

d = (3b + c)/4、e = (2a + c)/3です。Pの係数について次を得ます。

y:z = 3:1
z:x = 1:2
x:y:z = 2:3:1
p = (2a + 3b + c)/6

p = (2/6)a + (4/6)d = (3/6)b + (3/6)eです。媒介変数はいずれも0と1の間です。dの係数3:1はBD:DC = 1:3に、eの係数2:1はCE:EA = 2:1に戻るので、条件にも合います。

2

d = (b + 4c)/5、e = (a + 2c)/3です。2本の交点では次の関係が成り立ちます。

y:z = 1:4
z:x = 2:1
x:y:z = 2:1:4
p = (2a + b + 4c)/7
f = (2a + b)/3
AF:FB = 1:2

p = (2/7)a + (5/7)d = (1/7)b + (6/7)e = (4/7)c + (3/7)fです。3つの媒介変数は線分内の値で、fの係数2:1から辺の比1:2も復元できます。

3

d = (5b + 2c)/7、e = (3a + 4c)/7です。2本の交点を求めます。

y:z = 5:2
z:x = 4:3
x:y:z = 3:10:4
p = (3a + 10b + 4c)/17

指定されたFは f = (15a + 8b)/23 なので、aとbの係数の比は15:8です。Pの係数の比3:10と異なり、CFはPを通りません。したがって共点ではありません。p = (3/17)a + (14/17)d = (10/17)b + (7/17)eと戻すと、Pが最初の2本の内部にあることは確かです。Fについても係数15:8からAF:FB = 8:15が再現されます。

4

d = (4b + c)/5、e = (a + 3c)/4です。交点の係数は次のように決まります。

y:z = 4:1
z:x = 3:1
x:y:z = 1:12:3
p = (a + 12b + 3c)/16

実際に p = (1/16)a + (15/16)d = (12/16)b + (4/16)eです。与えられたFは f = (3a + 2b)/5 であり、係数比3:2はPの1:12と異なります。共点ではありません。Pを通すには f = (a + 12b)/13 なので、AF:FB = 12:1です。このとき p = (3/16)c + (13/16)fとなり、3本目の線分にも戻せます。

5

まずEとFから共点の係数を絞ります。

z:x = 2:1
x:y = 5:3
x:y:z = 5:3:10
p = (5a + 3b + 10c)/18

AD上の条件は y:z = 2:h です。したがって次を得ます。

2:h = 3:10
3h = 20
h = 20/3

この値では d = (3b + 10c)/13、e = (a + 2c)/3、f = (5a + 3b)/8です。元の線分へ戻します。

p = (5/18)a + (13/18)d
p = (3/18)b + (15/18)e
p = (10/18)c + (8/18)f

3つの媒介変数は0と1の間にあります。dの係数3:10からBD:DC = 10:3 = (20/3):2、eとfから与えられた2つの比も再現できます。正のhという条件にも合います。

手元に残す要点

• 2本の交点を求めた後、3本目の式に代入します。
• 対辺の内分比と、両端の位置ベクトルの係数比は逆順です。
• 非退化三角形で係数を比較し、線分の媒介変数は0以上1以下と確かめます。
• 文字の値を求めたら、分母と分点の範囲を調べて元の式へ戻します。

つまずきの位置を見分ける

最初に「Pはどの2本の交点か」を言葉にしてから、Pの係数を3つ書いてみてください。係数が出せない場合は内分公式の逆順を辺の図で確認します。係数が出ても結論へ進めない場合は、残る線分の式に代入し、媒介変数が0と1の間にあるかを調べます。個別に説明を確かめる場面でも、式の各係数がどの頂点に対応するかを声に出せば、計算と図のずれを見つけられます。共点の証明は、3本目に戻した等式で完成します。