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高校数学C 直線のベクトル方程式—通る点と方向から動点の範囲を表す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 平面ベクトルを掘り下げる

方向が零の場合や媒介変数の端点を調べ、座標式と行き来しながら直線の向きを捉えます。

よくあるのは、理系の高校生が、方向を表すベクトルが零になっていることに気づかず、その式を直線と呼ぶ場面です。点からどの向きにも移動できないなら、媒介変数にどんな数を入れても点は動きません。式の形が似ていても、表す図形が直線になるとは限らないのです。通る点、方向、動かす数の範囲を順に調べ、式が表す点の集まりを読み取ります。

どの情報から直線を作るか

出方には大きく3種類あります。1つ目は、通る点と方向が与えられ、動点の位置ベクトルを式にする問題です。基準点からの移動を方向ベクトルの実数倍で表します。方向の長さは1である必要がなく、逆向きの非零ベクトルでも同じ直線を表せます。

2つ目は、2点を通る直線や線分を表す問題です。2点が異なれば、一方から他方へのベクトルを方向に選べます。直線では媒介変数をすべての実数とし、線分では端点に対応する値の間に制限します。同じ式でも数の範囲が違うと図形が変わります。

3つ目は、座標の方程式との往復です。媒介変数を消して座標の条件を得るときも、元の範囲を捨てないようにします。逆向きには座標の条件を満たす点を1つ選び、その直線に沿う非零の移動を見つけます。縦の直線では、横の変化を分母にしてはいけません。

点と非零の方向が決めるもの

原点をO、固定点をA、動点をPとし、aをAの位置ベクトル、pをPの位置ベクトル、dを方向を表すベクトルとします。a、p、dはベクトルです。dが零ベクトルでないとき、Aを通りdに平行な直線は、実数tを使って次のように表せます。

p = a + t d    （tは実数）

これは、AからPへのベクトルがt dであるという意味です。t = 0でPはAにあり、正のtではdと同じ向き、負のtでは逆向きに進みます。大きさは|t| |d|です。図1のように、基準点を挟んで両側へ伸びる点を、正負のtで表します。

図1では矢印がdの向きを示し、逆側の点は負のtに対応します。dが非零なら、Aから直線上の任意の点へのベクトルはdの実数倍です。反対に、任意の実数倍はその直線上にあります。この両方向の確認が、式と直線が同じ点の集まりである理由です。

dが零ベクトルならt dは常に零で、p = aしか得られません。この式は点Aを表し、直線の方向を定めません。また、同じ直線でも基準点は動かせます。たとえばa + 2dを基準にしても、媒介変数をずらせば元の点に戻ります。基準点が異なる式を比べるときは、方向が平行であることに加え、一方の基準点が他方の直線上にあることを確かめます。

異なる2点A、Bに対し、bをBの位置ベクトルとすると、方向はb − aと選べます。これは非零です。p = a + t(b − a)では、t = 0がA、t = 1がBです。0 ≦ t ≦ 1なら両端を含む線分AB、t ≧ 0ならAからBの向きに進む半直線、tの範囲が実数全体なら直線ABです。端点を含まない場合は不等号から等号を外します。

基本例題：2点を結ぶ式

点A(1, 2)、B(4, 4)を通る直線と、両端を含む線分ABをそれぞれベクトル方程式で表してください。また、直線を座標x、yの式で表してください。

AとBは異なるので、Bに向かう方向はd = (3, 2)で非零です。図2のように、t = 0からt = 1までが線分に対応します。位置ベクトルpを使うと、直線は次の式です。

p = (1, 2) + t(3, 2)    （tは実数）

図2の線分ABでは、同じ式に0 ≦ t ≦ 1を添えます。点P(x, y)とすると成分を比べて、媒介変数を消せます。

x = 1 + 3t
 y = 2 + 2t
t = (x - 1)/3
y = 2 + 2(x - 1)/3
2x - 3y + 4 = 0

ここで3は零でないため割れます。逆に2x − 3y + 4 = 0を満たす点にt = (x − 1)/3を対応させると、x = 1 + 3t、y = 2 + 2tが両方成り立ちます。よって直線全体を得ています。Aを代入すると2 − 6 + 4 = 0、Bを代入すると8 − 12 + 4 = 0です。線分については座標式に1 ≦ x ≦ 4も必要です。端点間のxに対してt = (x − 1)/3が0以上1以下となるからです。

方向を(-3, -2)としても直線は同じですが、線分を表すなら媒介変数の範囲が-1 ≦ t ≦ 0になります。方向を逆にしたのに元の範囲をそのまま使うと、AからBと反対側の線分を描いてしまいます。式と範囲を組にして読むことが重要です。

標準例題：座標式から半直線へ

直線3x + 2y − 12 = 0上の点A(2, 3)から、x座標が増える向きの半直線を表してください。位置ベクトルの式と、座標の等式・不等式で答えます。

まずAの座標を代入すると3・2 + 2・3 − 12 = 0です。したがってAは直線上にあります。xを2増やすと3xは6増えるので、等式を保つにはyを3減らせばよく、方向d = (2, -3)を選べます。このdは非零で、x成分が正です。

p = (2, 3) + t(2, -3)    （t ≧ 0）
x = 2 + 2t
y = 3 - 3t

消去すると、2y = 6 − 6t、3x = 6 + 6tです。したがって3x + 2y − 12 = 0です。またt ≧ 0からx ≧ 2です。候補は次の条件になります。

3x + 2y - 12 = 0
x ≧ 2

逆にこの2条件を満たす点ではt = (x − 2)/2と置けます。x ≧ 2よりt ≧ 0であり、座標の等式に代入すればy = 3 − 3tです。よって候補の各点に対応するtがあり、余分な点は含まれません。t = 0ではAに戻り、t = 1では(4, 0)となって元の直線式を満たします。

もし方向を(-2, 3)と選ぶなら、同じ半直線の範囲はt ≦ 0です。方向を変えたとき、どちらに動くかは媒介変数の符号と一緒に判断します。さらに、たとえばx = 2という縦の直線なら方向を(0, 1)と選べます。x成分が零なので、xの式からtを割り出す方法は使えません。代わりにyの式からtを求めます。

発展例題：方向が消える値を分ける

実数kに対して、点Pの位置ベクトルpが次を満たすとします。表す図形をkの値によって分類し、直線になる場合は座標方程式も求めてください。

p = (2, -1) + t(k - 1, 2k - 2)    （tは実数）

方向の2成分はともにk − 1を因数に持ちます。まずk = 1なら方向は(0, 0)で、どんなtでもp = (2, -1)です。表す図形は点(2, -1)です。ここで方向の成分で割ってはいけません。

次にk ≠ 1とします。このとき方向は非零です。s = t(k − 1)と置けば、k − 1は零でないので、tが実数全体を動くとsも実数全体を動きます。式は次のように変わります。

p = (2, -1) + s(1, 2)
x = 2 + s
y = -1 + 2s
s = x - 2
y = 2x - 5

逆にy = 2x − 5上の任意の点について、s = x − 2、t = s/(k − 1)と選べます。k ≠ 1なのでこのtは存在し、元の式に戻ります。したがって直線全体が得られます。たとえばt = 0は(2, -1)で、座標式にも-1 = 2・2 − 5として入ります。点(3, 1)もs = 1に対応し、t = 1/(k − 1)で実現します。

この分類では、k − 1の正負にかかわらず直線は同じです。負の場合に方向が反転しても、tが正負の両方を取れるからです。一方、t ≧ 0なら方向の反転によって半直線の向きが変わります。実際にk > 1ではs ≧ 0、k < 1ではs ≦ 0です。実数全体を動く場合の結論を、そのまま半直線に持ち込まないでください。

誤答を直す：零の方向と動かない点

次の式を、(3, 1)を通る直線だとした解答を考えます。

p = (3, 1) + t(0, 0)    （tは実数）

通る点として(3, 1)を読めるところまでは正しいです。しかし方向が零なので、t = -2、0、2のどれでもPは(3, 1)です。図3のように、点は動かず、直線を描くための方向が与えられていません。

図3の1点から、矢印の向きは決められません。修正するには表したい直線の方向について別の情報が必要です。たとえば方向が(1, 2)だと与えられれば、p = (3, 1) + t(1, 2)と書けます。元の条件だけから、その方向を勝手に選ぶことはできません。

もう1つの誤りは、線分の式からtを消し、得られた直線全体を答えることです。消去した等式は必要条件ですが、範囲を加えて初めて元の点に戻せます。端点を代入し、その外側の点が除かれるかも調べます。途中式が正しくても、条件が落ちれば表す図形は変わります。

練習：式と範囲を読み替える

次の5問では位置ベクトルをpとし、座標や係数は整数または分数で答えてください。問題を先に解き、各解答で元の条件に戻して確かめます。

点C(-2, 1)を通り、方向(4, -1)に平行な直線をベクトル方程式と座標方程式で表してください。
異なる2点D(0, -2)、E(2, 4)を端点とする線分を、Dからの移動を使ったベクトル方程式と媒介変数の範囲で表してください。
直線x = 5上で、点F(5, -1)からyが減る向きの半直線を、ベクトル方程式と座標の条件で表してください。
p = (1, 3) + t(2, -1)で-1 < t ≦ 2のとき、表す点の集合を座標の等式と不等式で表してください。
実数hについてp = (-1, 2) + t(h + 2, 0)、tは実数とします。表す図形をhによって分類し、直線の場合は座標方程式を求めてください。

練習の解答と確認

方向(4, -1)は非零なので、直線はp = (-2, 1) + t(4, -1)、tは実数です。成分はx = -2 + 4t、y = 1 − tです。

t = (x + 2)/4
y = 1 - (x + 2)/4
x + 4y - 2 = 0

逆にこの座標式を満たす点はt = (x + 2)/4で元の2成分を満たします。Cを代入すると-2 + 4 − 2 = 0です。またt = 1の点(2, 0)も2 + 0 − 2 = 0となります。

EからDを引くと方向は(2, 6)です。よってp = (0, -2) + t(2, 6)、0 ≦ t ≦ 1です。t = 0ではD、t = 1ではEに戻ります。0と1の間ではDからEへの移動を途中まで行うので、線分上の点が過不足なく得られます。たとえばt = 1/2では(1, 1)で、両端からの移動はともに(1, 3)に対応します。
方向を(0, -1)とすれば非零で、yが減ります。p = (5, -1) + t(0, -1)、t ≧ 0です。成分はx = 5、y = -1 − tなので、座標の条件はx = 5、y ≦ -1です。逆にこれらを満たす点にはt = -1 − y ≧ 0を選べます。t = 0でF、t = 2で(5, -3)となり、どちらも条件を満たします。
成分はx = 1 + 2t、y = 3 − tです。2で割れるのでt = (x − 1)/2です。

2y = 6 - 2t
2y = 6 - (x - 1)
x + 2y = 7
-1 < (x - 1)/2 ≦ 2
-1 < x ≦ 5

逆にx + 2y = 7、-1 < x ≦ 5ならt = (x − 1)/2が-1 < t ≦ 2を満たし、y = 3 − tです。左端(-1, 4)は含まず、右端(5, 1)は含みます。両方とも直線式に入るため、不等号が端点の違いを担っています。

h = -2では方向が零となり、点(-1, 2)です。h ≠ -2では方向が非零で、x = -1 + t(h + 2)、y = 2です。xは実数全体を動くので、図形は直線y = 2です。逆に任意の点(x, 2)に対してt = (x + 1)/(h + 2)と選べます。h ≠ -2により分母は零でなく、元の式に戻ります。基準点(-1, 2)も直線上です。