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高校数学C 法線ベクトルの方程式—内積が一定の条件から直線の向きと位置を読む｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 平面ベクトルを掘り下げる

点と非零の法線から直線を表し、係数が消える場合や別表示の判定まで法線で読み解きます。

よくあるのは、理系の高校生が直線の方程式から取り出した法線を、その直線の方向として描く場面です。式の係数を矢印にしたところまでは合っていますが、その矢印を線に沿わせると、通る点を正しく選んでも別の直線になります。内積が一定という条件を、固定点からの移動と結び付けて読み直しましょう。

どの情報から直線をつくるか

法線を使う問題には、大きく分けて3つの入り口があります。1つ目は、通る点と法線が与えられ、方程式をつくる型です。点から動点へのベクトルと法線の内積を0とおけば、垂直という条件をそのまま書けます。法線の始点を原点に置く必要はなく、直線上の点に移して描いても向きは変わりません。

2つ目は、座標の式から法線と直線の方向を読む型です。xとyの係数を並べると法線の成分が得られます。一方、方向を求めるには、その成分との内積が0になる非零ベクトルを選びます。方向には正負2つの向きがあり、長さも自由です。

3つ目は、文字を含む方程式がどのような図形を表すか、また2つの式が同じ直線かを調べる型です。係数の組が零になる値では、直線についての通常の説明を使えません。さらに法線が平行でも位置が違えば別の直線です。方向と位置を別々に確かめると、判定の抜けを防げます。

内積が固定するもの

座標平面の原点をOとし、点Pの位置ベクトルをp（ベクトル）、固定点Aの位置ベクトルをa（ベクトル）とします。n（ベクトル）を零でない固定ベクトルとすると、Aを通りnに垂直な直線は次の式で表せます。

n・(p - a) = 0
n・p = n・a

図1のように、p − aはベクトル APです。PがAと異なるとき、内積0はAPがnに垂直であることを意味します。PがAそのものならAPは零ベクトルですが、式は成立し、Aは直線上に含まれます。零ベクトルに角度をつける必要はありません。

図1の直線上を移動しても、法線方向への成分は変わりません。逆に内積が0なら、PがAと異なる場合にはAPがnと垂直なので、Pはその直線上にあります。この両方向があるため、式は直線上の点を過不足なく表します。

n = (u, v)、A = (a, b)、P = (x, y)とすると、成分による内積から次の式を得ます。

(u, v)・(x - a, y - b) = 0
u(x - a) + v(y - b) = 0
ux + vy = ua + vb

uとvは同時に0ではありません。この条件があるので、例えば方向ベクトルd = (v, -u)は零ではなく、n・d = uv − vu = 0です。したがって直線に沿う方向として使えます。u = 0やv = 0の一方だけなら問題ありません。両方が0になる場合に限って、法線の向きが定まらないのです。

一般にux + vy = cで(u, v)が非零なら、この式を満たす点Aを少なくとも1つ選べます。例えばuが0でなければA = (c/u, 0)です。uが0ならvは0でないのでA = (0, c/v)を選べます。このAを使えば元の式はn・(p − a) = 0になり、確かに直線です。cだけを変えると法線の向きは同じで、直線の位置が変わります。

法線を0でない実数倍にしても、内積が0という条件は変わりません。座標式でも両辺を同じ0でない数で掛けた式は同じ点の集合です。ただし左辺の係数だけを倍にして右辺をそのままにすると、一般には位置が変わります。式全体を扱うことが必要です。

基本例題：点と法線から式を立てる

点A = (1, 2)を通り、n = (2, 1)を法線とする直線を座標の方程式で表してください。また、直線の方向ベクトルを1つ求め、点B = (2, 0)が直線上にあるか調べてください。成分は整数で答えます。

法線nは零ではありません。P = (x, y)として、図2のようにAからPへの移動に法線を掛けます。

(2, 1)・(x - 1, y - 2) = 0
2(x - 1) + (y - 2) = 0
2x + y = 4

nと垂直な非零ベクトルとしてd = (1, -2)を選べます。実際に2・1 + 1・(-2) = 0です。方向ベクトルはdに限らず、例えば(-1, 2)でも構いません。法線n自体はn・n = 5なので直線方向にはなりません。

Bを式に戻すと2・2 + 0 = 4で、Bは直線上です。別の見方では、ベクトル AB = (1, -2)がdそのものです。図2ではAとBを結ぶ線に沿ってdを描き、nをそれに垂直に描いています。Aも2・1 + 2 = 4を満たすので、通る点の指定も確認できます。

この例でよく起こる失敗は、2x + y = 0として右辺を落とすことです。この式には原点が入りますが、Aは2・1 + 2 = 4なので入りません。法線が正しくても通る点が違えば別の直線です。式を立てた直後に指定点を代入する習慣が、位置の誤りを見つけます。

標準例題：式の違いと位置を判定する

直線 l: 3x − 2y = 7、直線 m: -6x + 4y = -14、直線 k: 6x − 4y = 5について、同じ直線か、異なる平行な直線かを判定してください。またlの法線と方向ベクトルをそれぞれ整数成分で1つ示してください。

まずlの法線は(3, -2)で、零ではありません。これと内積が0になる方向として(2, 3)を取れます。

(3, -2)・(2, 3) = 6 - 6 = 0

mの式はlの両辺を-2倍したものです。-2は0ではないので、いずれかの式を満たす点はもう一方も満たします。従ってlとmは同じ直線です。法線の矢印は逆向きになっても、垂直な直線は変わりません。

kでは左辺がlの左辺の2倍です。しかし右辺は14ではなく5です。そこでkの両辺を2で割って位置を比べます。

k: 3x - 2y = 5/2
l: 3x - 2y = 7

同じ左辺が同時に異なる2値を取ることはないので、共通点はありません。法線は平行で、方向(2, 3)が両方の直線に沿うため、lとkは異なる平行な直線です。例えば(3, 1)はlに代入すると9 − 2 = 7ですが、kには18 − 4 = 14となり、5を与えません。具体的な点でも位置の違いを確かめられます。

係数を見比べるときは、比例する倍率を定数項にも適用します。法線の比例は方向の一致を示しますが、そこから位置の一致までは結論できません。逆に式全体が非零の同じ倍率で対応すれば、両方の点の集合が一致します。

発展例題：法線が消える値を先に分ける

実数tについて、条件(t − 1)x + (t − 1)y = t² − 1が表す図形を調べてください。直線となる場合は法線と方向をそれぞれ1つ、成分をtを使わない整数で示してください。

係数の組は(t − 1, t − 1)です。t = 1では零ベクトルになるので、直線の法線として扱う前に別に調べます。右辺も0ですから、この場合は次のようになります。

0x + 0y = 0
0 = 0

これはどの点の座標でも成立するため、平面全体を表します。直線を1本に決める条件ではありません。ここで(t − 1)で割ることはできません。

次にt ≠ 1なら、t − 1は0でないので両辺を割れます。

(t - 1)(x + y) = (t - 1)(t + 1)
x + y = t + 1

法線として(1, 1)、方向として(1, -1)を取れます。両者の内積は1 − 1 = 0で、どちらも零ではありません。点(t + 1, 0)はこの式を満たすので、直線の位置も定まります。元の式に戻すと左辺は(t − 1)(t + 1) = t² − 1となり、確かに条件を満たします。

逆の確認も必要です。t ≠ 1のとき、元の条件から割って得た式を満たす点は、両辺をt − 1倍すれば元の条件も満たします。したがって途中で余計な点を加えたり、点を落としたりしていません。t = 1の平面全体についても、任意のxとyを代入して0 = 0となることを確認済みです。

係数が同時に0になる場面では、いつも平面全体になるわけではありません。例えば0x + 0y = 3なら0 = 3となり、条件を満たす点はありません。右辺が0かどうかまで見ることが、例外を分類する最後の一手です。逆に片方の係数が残れば、水平または垂直な直線として扱えます。

矢印を取り違えた答案を直す

直線x + 2y = 4に対して、法線(1, 2)を見つけた後、「直線は(1, 2)の方向へ進む」とする答案を考えます。係数を法線として読む部分は正しいのですが、そこから方向へ移す段階が誤りです。

図3ではA = (0, 2)から法線方向に1回進むとC = (1, 4)です。Cを代入すると1 + 2・4 = 9となり、4ではありません。この移動は直線上にとどまらないので、方向とは呼べません。法線同士の内積も1² + 2² = 5であり、0ではありません。

修正にはd = (2, -1)を使います。(1, 2)・(2, -1) = 0で、dは零ではありません。Aからdだけ移ったB = (2, 1)では2 + 2・1 = 4です。図3のように、正しい方向への移動は元の条件を保ちます。法線と方向が混ざったら、内積を計算することと、動いた先を式に戻すことの両方で確かめられます。

手を動かして確かめる5問

次の各問では、座標とベクトルの成分は整数または既約分数で答えてください。方向や法線は指定された条件を満たすものを1つ示します。

点(2, -1)を通り、法線(3, 2)を持つ直線の方程式と方向を求めてください。
直線4x − 3y = 12の法線、方向、およびこの直線上の点をそれぞれ1つ求めてください。
直線2x + 5y = 10と、直線-4x − 10y = -20、直線4x + 10y = 6の関係を判定してください。
実数sについて、sx + (s − 2)y = 3が直線を表すか調べ、直線の場合の法線を示してください。
点C = (-1, 3)とD = (3, 5)を通る直線の法線と方程式を求めてください。

解答と戻し方

法線は零でないので、動点を(x, y)として内積を0にします。

3(x - 2) + 2(y + 1) = 0
3x + 2y = 4

方向は(2, -3)です。内積3・2 + 2・(-3) = 0であり、指定点も6 − 2 = 4を満たします。さらにそこから方向に進んだ(4, -4)も12 − 8 = 4を満たします。

係数から法線は(4, -3)、方向は(3, 4)です。y = 0とすると4x = 12なので、点(3, 0)が得られます。

(4, -3)・(3, 4) = 12 - 12 = 0
4・3 - 3・0 = 12

方向に1回進んだ(6, 4)も24 − 12 = 12を満たし、方向と位置の両方が合っています。

2番目の式は最初の式の両辺を-2倍したものなので同じ直線です。3番目を2で割ると2x + 5y = 3となります。左辺が10と3を同時に取れないため、最初の直線と交わりません。法線は比例するので異なる平行な直線です。例えば(5, 0)は最初の式と2番目の式を満たし、3番目には20を与えるので位置の違いも確かめられます。
法線候補は(s, s − 2)です。これが零ならs = 0かつs − 2 = 0が必要ですが、同時には成立しません。よってどの実数sでも直線で、法線は(s, s − 2)です。s ≠ 0なら(3/s, 0)を代入して左辺は3です。s = 0なら式は-2y = 3で、例えば(0, -3/2)を代入すると3となります。各場合に点が存在することも確認できました。
ベクトル CD = (4, 2)は零でないので、これに垂直な(1, -2)を法線に選べます。内積は4 − 4 = 0です。Cを通る条件は次のようになります。