高校数学III 指数・三角関数の積分—内側の係数と符号を微分して照合する｜武蔵野個別指導塾

sinの原始関数の負号と内側の係数を照合し、一般の底の指数関数やtanを使う区間まで点検します。

sinの原始関数の符号に迷い、答案の途中で手が止まる場面はよくあります。cosを微分すると負のsinが出ることを思い出せば、前に負号が必要だと判断できます。ただし、角が3xのように変われば、微分でさらに3が掛かります。符号と係数を別々に確かめ、書いた答えを微分して元の式に戻しましょう。

ここで扱うのは指数関数とsin、cos、1/cos²の基本的な不定積分です。角は弧度法で測り、積の積分や面積の問題には進みません。積分の基本性質や式の変形による方法は、数学IIIの学習範囲に含まれます。

式を見たときの3つの入口

1つ目は、eや正の底aの指数関数です。eˣは微分してもeˣですが、aˣの微分にはlog aが現れます。aが1ならlog aは0で、割る公式は使えません。先に底を確認してから係数を決めます。

2つ目はsinとcosです。微分の向きに読むと、sinからcosへは正、cosからsinへは負です。積分はその矢印を逆にたどるので、sinには負のcos、cosには正のsinを対応させます。内側の一次式の係数が負のときは、外側の負号と混ぜずに処理します。

3つ目は1/cos²です。tanの導関数を使いますが、分母が0になる点では元の式が定義されません。答えの定数がどの範囲で共通かを、計算する前に区切ります。似た記号でも、sinとcosの符号の問題と、分母の定義域の問題は確認する場所が違います。

微分の矢印を逆に読む

区間Iで微分可能な関数Fが、Iの各点でF′(x)=f(x)を満たすとき、Fをfの原始関数といいます。同じ区間の原始関数どうしの差は定数です。したがって不定積分は、その区間でF(x)+Cと表します。Cは任意の定数です。途中で定数を省いて計算しても、最後の答えには付けます。

以下の微分公式は弧度法で成り立ちます。a>0、a≠1とし、kを0でない定数、bを定数とします。logは自然対数です。

(eの(kx+b)乗)′ = k eの(kx+b)乗
(aの(kx+b)乗)′ = k log a・aの(kx+b)乗
(sin(kx+b))′ = k cos(kx+b)
(cos(kx+b))′ = -k sin(kx+b)
(tan(kx+b))′ = k/cos²(kx+b)

図1のように、左から右へ微分すると内側の係数が掛かります。積分ではその係数で割り、cosの微分に付く負号も戻します。a=1では1の指数は常に1なので、その原始関数はx+Cです。

図1の下段では、-cos xを微分するとsin xになります。たとえば係数がkなら、-cos(kx+b)/kを微分したとき、外側の-1/kと導関数の-kが掛かって1です。k=0のときは割れないため、sin bやcos bという定数として直接積分します。

1/cos²(kx+b)については、cos(kx+b)≠0となる区間に限ってtanを用います。分母が0の点を越えて1つの原始関数を定めることはできません。分かれた区間ごとに任意定数を選ぶ必要があります。

積分定数についても区間が大切です。たとえばcos xが0でない隣り合う2つの区間では、各区間でtan x+Cという形を使えますが、片方の定数を決めてももう片方の定数は決まりません。両区間の間にある点で関数が定義されず、微分して定数差をつなぐことができないからです。問題に初期値があれば、その点を含む区間で定数を求めます。

微分の照合は、答えの見た目が公式に似ているかを調べる作業ではありません。外側を微分し、続いて内側を微分し、最後に定数倍まで掛け合わせて、問題の各項と比較します。和の場合は項ごとに確かめてから足すと、符号の間違いを見つけやすくなります。

基本例題：sinの符号と係数

次の不定積分を求め、積分定数を含む形で答えてください。

∫ 4 sin(3x) dx

sin(3x)を得るために、まずcos(3x)を微分します。図2のように、cosの微分の負号と内側の3を同時に戻します。

(cos(3x))′ = -3 sin(3x)
(-cos(3x)/3)′ = sin(3x)
(-4 cos(3x)/3)′ = 4 sin(3x)

1行目は合成関数の微分です。2行目では-3を打ち消すために-1/3を掛けます。3行目で元の式の4を合わせるので、答えは次のとおりです。

∫ 4 sin(3x) dx = -4 cos(3x)/3 + C

図2の右側からも、答えを微分すると4 sin(3x)に戻ることを確認できます。たとえば負号を落として4 cos(3x)/3とすると、導関数は-4 sin(3x)です。x=π/6では元の式が4なのに、誤った式の導関数は-4になります。1点での照合は誤りを発見できますが、全てのxで正しいことは上の微分式で確かめます。

標準例題：一般の底と負の内側係数

次の不定積分を、自然対数と積分定数を用いて求めてください。

∫ (2の(1-3x)乗 + 5 cos(2x)) dx

両方の項は実数全体で連続なので、それぞれ原始関数を求めて足せます。指数の底は2で、正かつ1ではありません。指数の内側の微分は-3です。

(2の(1-3x)乗)′ = -3 log 2・2の(1-3x)乗
∫ 2の(1-3x)乗 dx = -2の(1-3x)乗/(3 log 2) + C
(sin(2x))′ = 2 cos(2x)
∫ 5 cos(2x) dx = 5 sin(2x)/2 + C

指数の項では、導関数に現れる-3 log 2で割りました。三角関数の項では、sinの微分に現れる2で割っています。定数どうしの和は再び任意定数なので、まとめた結果は次です。

-2の(1-3x)乗/(3 log 2) + 5 sin(2x)/2 + C

最初の項を微分すると、係数-1/(3 log 2)と-3 log 2が打ち消し合います。次の項を微分すると5 cos(2x)です。和を元の被積分関数に戻せるので、負号も底に伴うlog 2も確認できました。

底が0<a<1ならlog aは負です。その負号は公式に含まれます。絶対値に変えてしまうと微分したときの符号が変わるため、log aのまま扱います。

発展例題：区間と初期条件

区間-π/4<x<π/4で、次の条件を満たす関数F(x)を求めてください。答えにはtanとeを用いてください。

F′(x) = 6/cos²(2x) - eの(-x)乗
F(0) = 3

この区間では-π/2<2x<π/2ですからcos(2x)>0です。よって右辺は区間内で連続であり、tan(2x)を原始関数に使えます。端点では分母が0になるため、端点を区間に含めません。

(tan(2x))′ = 2/cos²(2x)
(3 tan(2x))′ = 6/cos²(2x)
(eの(-x)乗)′ = -eの(-x)乗
F(x) = 3 tan(2x) + eの(-x)乗 + C

最初の項は内側の2を補正しました。次の項は指数の内側の係数が-1なので、正のeの(-x)乗を微分すると元の負の項になります。初期条件を代入します。

F(0) = 3 tan 0 + eの0乗 + C
3 = 0 + 1 + C
C = 2
F(x) = 3 tan(2x) + eの(-x)乗 + 2

この式を微分すると指定されたF′に戻り、x=0を代入すると3です。導関数と初期値の両方を満たすことが確認できました。別の区間に同じ微分式が与えられても、ここで決めた定数2をそのまま持ち越す根拠はありません。

誤答を微分でほどく

基本例題で、次のように書いたとします。

誤：∫ 4 sin(3x) dx = 4 cos(3x)/3 + C

右辺を微分すると-4 sin(3x)です。係数3は相殺されていますが、cosを微分したときの負号が残っています。図3のように、誤答を微分して得た符号と元の符号を比べると、修正する場所が見えます。

修正後は-4 cos(3x)/3+Cです。負号を足した後にもう一度微分し、4 sin(3x)まで戻してください。図3の比較は係数が合っていることも同時に示します。

別の失敗として、内側が定数の場合にも係数で割ろうとすると、0で割る式が現れます。たとえばsin 0は0なので、その原始関数はCです。公式の分母が0になるときは、計算を続けず元の関数を先に簡単にします。

また、cosの零点を含む範囲でtanを使い続けると、元の式が存在しない点を見落とします。積分定数を付けても穴は埋まりません。区間を切り、各区間で微分可能な原始関数を確認します。

練習：まず5問を解く

各問は自作です。不定積分の答えには任意定数Cを付け、指数や自然対数を含む場合は正確な式で表してください。三角関数の角は弧度法です。

1. ∫ 7 cos(4x) dx を求めてください。
2. ∫ 3 sin(2x-1) dx を求めてください。
3. ∫ 5の(2x)乗 dx を求めてください。
4. 区間-π/6<x<π/6で ∫ 9/cos²(3x) dx を求めてください。
5. 実数全体でG′(x)=2 eの(2x)乗 − 4 sin x、G(0)=5を満たすG(x)を求めてください。

解答と戻し方

1

(sin(4x))′ = 4 cos(4x)
(7 sin(4x)/4)′ = 7 cos(4x)
∫ 7 cos(4x) dx = 7 sin(4x)/4 + C

sinの微分で出る4を分母の4で相殺しました。答えを微分した2行目が問題の式そのものです。cosの積分に負号を付けると、ここでは符号が逆になります。

2

(cos(2x-1))′ = -2 sin(2x-1)
(-3 cos(2x-1)/2)′ = 3 sin(2x-1)
∫ 3 sin(2x-1) dx = -3 cos(2x-1)/2 + C

角の定数-1の微分は0で、内側の係数は2です。負号と1/2の両方を補い、微分して元の係数3まで戻しました。

3

(5の(2x)乗)′ = 2 log 5・5の(2x)乗
(5の(2x)乗/(2 log 5))′ = 5の(2x)乗
∫ 5の(2x)乗 dx = 5の(2x)乗/(2 log 5) + C

底5は正で1ではないためlog 5で割れます。eを底とする場合と違い、微分でlog 5が現れることを使いました。答えの微分により、問題の指数と係数の双方が復元されます。

4

区間内で-π/2<3x<π/2ですからcos(3x)>0です。被積分関数はこの区間で連続です。

(tan(3x))′ = 3/cos²(3x)
(3 tan(3x))′ = 9/cos²(3x)
∫ 9/cos²(3x) dx = 3 tan(3x) + C

微分に現れる3を利用し、さらに3倍して9に合わせます。端点では分母が0なので、答えの適用範囲は問題の開区間です。

5

(eの(2x)乗)′ = 2 eの(2x)乗
(4 cos x)′ = -4 sin x
G(x) = eの(2x)乗 + 4 cos x + C
G(0) = 1 + 4 + C
5 = 5 + C
C = 0
G(x) = eの(2x)乗 + 4 cos x

最初の2行から導関数は指定どおりです。最後の式に0を代入すると5となり、初期条件にも戻ります。積分定数を最初から0と決めず、条件から決めることが必要です。

手元に残す要点

• sinには負のcos、cosには正のsinを対応させます。
• 内側の係数と、一般の底のlogを微分で照合します。
• 係数が0なら定数関数として扱い、0で割りません。
• 1/cos²では分母が0にならない区間を先に決めます。
• 最後に微分と必要な初期条件で元に戻します。

つまずく位置を見つける

個別指導では、答えの式だけでなく、その式を本人が微分した1行を見ます。sinの項だけ符号が逆ならcosの導関数に戻り、全体が一定倍ずれるなら内側の係数を点検します。一般の底で倍率がずれる場合はlog aの有無を確認します。

計算が合っていても、1/cos²の定義されない点を区間に含めていないかを別に尋ねます。初期条件があるときは、導関数への復元と値の代入をそれぞれ書いてもらいます。指数・三角関数の積分は、微分の一行が答えの根拠になります。