高校数学III 逆数と負の整数乗の微分—商とべきの公式をつなげて計算する｜武蔵野個別指導塾

逆数の差商から負号を導き、負の整数乗の係数と指数を更新しながら、約分前の除外点も追います。

よくあるのは演習ノートで、負の指数の符号を落とすという場面です。分母を負の指数で書き直すと、見慣れたべきの形に近づきますが、指数を1減らす操作と、指数そのものを係数にする操作は別です。さらに、元の分母が0になる点は、整理した式から見えなくなっても元の関数の定義域には戻せません。逆数の差商から始め、符号と除外点の両方を追います。

どの形で問われるか

まず、1/(x² + 2) のように分母が式になった関数の導関数を求める問いがあります。分母の導関数を分子に置き、負号を付け、元の分母を2乗します。元の分母が0にならないかを先に調べると、答えの適用範囲も明確です。

次に、x の負の整数乗を微分し、指定点の微分係数を求める問いがあります。負の指数を係数として前に出し、その後で指数から1を引きます。負の入力でも定義されますが、x = 0 は除きます。指数の偶奇によって値の符号が変わるので、係数の負号だけで全体の符号を決めないことも必要です。

また、分母に同じ因子が重なる分数では、約分して計算を短くする問いがあります。その際、約分前に除外された点を記録します。この記事の範囲は逆数と負の整数乗であり、合成関数一般の公式やその証明には進みません。

逆数の差商から負の指数へ

関数 g が点 a を含む区間で定義され、a で微分可能で、g(a) ≠ 0 とします。微分可能な関数はその点で連続ですから、a に十分近い x でも g(x) ≠ 0 です。したがって、その近くで逆数 1/g(x) を考えられます。差商では h ≠ 0 とし、a + h もその区間に取ります。

{1/g(a + h) - 1/g(a)}/h
= {g(a) - g(a + h)}/{h g(a + h)g(a)}
= -{g(a + h) - g(a)}/h ・ 1/{g(a + h)g(a)}

h → 0 のとき、最初の因子の差商は g′(a) に近づき、連続性によって g(a + h) は g(a) に近づきます。g(a) ≠ 0 なので分母の極限は0ではありません。よって、逆数の導関数は次の形です。

(1/g(x))′ = -g′(x)/{g(x)}²

この式は g が微分可能で g(x) ≠ 0 の点で使います。商の微分公式に分子 1 を入れても、分子の導関数が0なので同じ結果です。図1のように、分母を微分したものと元の分母の2乗を区別すると、負号の出どころも追えます。

図1の矢印は、分母の変化が逆数では逆向きの符号になることを表しています。分母が0の点では逆数自体が定義されず、この式を代入する対象もありません。

正の整数 n に対して g(x) = xⁿ と置きます。x ≠ 0 では g(x) ≠ 0 で、正の整数乗の微分公式から g′(x) = nxⁿ⁻¹ です。逆数の公式を使い、指数法則で整理します。

(x⁻ⁿ)′ = (1/xⁿ)′
= -nxⁿ⁻¹/(xⁿ)²
= -nxⁿ⁻¹/x²ⁿ
= -nx⁻ⁿ⁻¹

最後の指数は「元の指数 -n から1を引いた数」です。たとえば元の指数が -4 なら係数は -4、次の指数は -5 です。正の整数乗と同じ手順で書けますが、適用する範囲は x ≠ 0 と明示します。一般の g(x) の負の整数乗も、g の正の整数乗を積の公式で微分し、その逆数を取れば導けます。たとえば g が微分可能で g ≠ 0 なら、(1/g²)′ = -2g′/g³ です。

逆数の公式では、g′ が0になる点を除く必要はありません。必要なのは g 自体が0でないことです。たとえば分母がある点で変化しない場合、公式の分子は0となり、逆数の変化率も0になります。一方で、g′ が存在しても g が0なら逆数は定義されません。2つの条件は異なる役割を持ちます。

負の整数乗を分数に直すときも、指数の引き算を途中に残すと安全です。x⁻ⁿ⁻¹ は 1/xⁿ⁺¹ と同じですが、分母の指数が増える理由は、元の指数から1を引いた結果です。係数の -n と新しい指数 -n − 1 を混同しなければ、次数の大きい場合も同じ道筋で処理できます。

基本例題：分母の変化を残す

関数 f(x) = 1/(x² + 3) の定義域と導関数を求め、f′(2) を分数で答えてください。

x² + 3 はどの実数 x でも正です。したがって定義域は実数全体で、分母の多項式はどの点でも微分可能です。図2のように、分母の導関数 2x を分子へ移します。

図2では元の分母を2乗しています。分母を微分して2乗するのではありません。逆数の公式を順に当てはめます。

f′(x) = -(x² + 3)′/(x² + 3)²
= -2x/(x² + 3)²
f′(2) = -2・2/(2² + 3)²
= -4/49

指定点 2 は実数全体に含まれ、元の分母は 2² + 3 = 7 です。元の関数値は 1/7 で、そこから求めた変化率が -4/49 です。2を代入したときに分母が49になることも、微分後の分母が元の分母の2乗であることと一致します。x = 0 では分子が0になるので導関数の値も0ですが、元の分母は3ですから除外点ではありません。分子が0になることと、分母が0で式を定義できないことは別です。

標準例題：負の入力で符号を確かめる

関数 p(x) = 5/x⁴ − 2/x² の定義域と導関数を求め、p′(-2) を分数で答えてください。

元の分母から x ≠ 0 です。この範囲では負の整数乗に書き換えられ、各項を微分できます。

p(x) = 5x⁻⁴ - 2x⁻²
p′(x) = 5・(-4)x⁻⁵ - 2・(-2)x⁻³
= -20x⁻⁵ + 4x⁻³
= -20/x⁵ + 4/x³
= (4x² - 20)/x⁵

各項で、指数を係数に掛けてから指数を1減らしました。通分した最後の形も x ≠ 0 で有効です。指定点は定義域内なので代入します。

p′(-2) = -20/(-2)⁵ + 4/(-2)³
= 20/32 - 4/8
= 1/8

元の式へ戻すと p(-2) = 5/16 − 2/4 = -3/16 です。元の2つの分母はそれぞれ16と4で、どちらも0ではありません。負の数の奇数乗は負なので、導関数の第1項は正、第2項は負になります。係数の符号だけで値を判断せず、代入後の分母まで計算することが必要です。

発展例題：約分しても消えない除外点

関数 q(x) = (x − 2)/{x²(x − 2)} の定義域と導関数を求め、q′(3) を分数で答えてください。

元の分母が0となる x = 0 と x = 2 を除きます。この条件の下では x − 2 ≠ 0 なので約分でき、q(x) = 1/x² です。約分した式は x = 2 でも値を持ちますが、元の q はそこで定義されません。したがって導関数にも x = 2 を含めません。

q(x) = x⁻²                 （x ≠ 0, 2）
q′(x) = -2x⁻³
= -2/x³                   （x ≠ 0, 2）
q′(3) = -2/3³
= -2/27

3 を元の式に戻すと分母は 3²(3 − 2) = 9、分子は1で、q(3) = 1/9 です。元の式と約分後の式が指定点の近くで一致するため、そこでの導関数も一致します。一方、x = 2 では元の式が 0/0 となり、近くでの式の形をその点の関数値にしてはいけません。もし最初から別の関数として x = 2 に値を与えたなら、その関数について改めて差商を調べる必要があります。

誤答を分解して直す

r(x) = 1/x³、x ≠ 0 の微分で、r′(x) = 3/x⁴ とする誤答を考えます。分母の指数を1増やした形は合っていますが、負号がありません。図3のように x⁻³ と書いて、係数と指数を別々に更新します。

図3の左側から右側へ、元の指数 -3 を係数にし、新しい指数を -4 とします。正しい式は次のとおりです。

r(x) = x⁻³
r′(x) = -3x⁻⁴
= -3/x⁴

x = 1 は定義域内で、導関数は -3 です。元の値 r(1) = 1 に対し、1より少し大きい正の入力では分母が大きくなり、逆数は小さくなるので負の符号と整合します。この観察は符号の点検であり、導関数の証明は上の公式によります。

別の誤りとして、(1/g)′ を 1/g′ とすることがあります。例えば基本例題の x = 0 では g′(0) = 0 ですが、逆数自体は微分可能で導関数は0です。1/g′ はそこで定義できず、逆数の微分とは一致しません。また、g = 0 の点で公式の分母が0になったとき、計算を続けて値を作ることもできません。元の定義域に戻り、対象の点が含まれるかを先に判定します。

計算結果の見直しでは、分数の形と負の指数の形を相互に戻します。例えば指数が -4 の項は分母に4乗を持ち、微分後は分母に5乗を持ちます。元の係数も掛けるため、符号を変える操作と係数の計算を一度に暗算せず、途中の積を書き残します。

練習問題

各問で定義域と導関数を求め、指定された値は分数または整数で答えてください。

1. f(x) = 1/(x² + 5) について f′(1) を求めてください。
2. g(x) = 7/x³ について g′(-1) を求めてください。
3. h(x) = 3/x² + 1/x⁵ について h′(1) を求めてください。
4. k(x) = 1/(x² − 9) について k′(2) を求めてください。
5. m(x) = (x + 4)/{x³(x + 4)} について m′(-1) を求めてください。

練習の解答と途中式

1

分母 x² + 5 は常に正なので、定義域は実数全体です。分母を微分して逆数の公式に入れます。

f′(x) = -(x² + 5)′/(x² + 5)²
= -2x/(x² + 5)²
f′(1) = -2/(1 + 5)²
= -1/18

元の分母に1を戻すと6で、f(1) = 1/6 です。分母が0でないため、指定点での計算は有効です。

2

定義域は x ≠ 0 です。負の指数を係数にするので、7も負の数を掛けられます。

g(x) = 7x⁻³
g′(x) = 7・(-3)x⁻⁴
= -21/x⁴
g′(-1) = -21/(-1)⁴
= -21

元の式では g(-1) = 7/(-1)³ = -7 です。指定点の分母は -1 で、0ではありません。導関数の分母は偶数乗なので正です。

3

両方の元の分母から x ≠ 0 です。各項を別に微分してから代入します。

h(x) = 3x⁻² + x⁻⁵
h′(x) = -6x⁻³ - 5x⁻⁶
= -6/x³ - 5/x⁶
h′(1) = -6 - 5
= -11

元の式に戻すと h(1) = 3 + 1 = 4 です。どちらの分母も1で、指定点は定義域内です。

4

x² − 9 = (x − 3)(x + 3) ですから、定義域は x ≠ 3, -3 です。分母が負になる区間も、0でなければ公式を使えます。

k′(x) = -(x² - 9)′/(x² - 9)²
= -2x/(x² - 9)²
k′(2) = -4/(4 - 9)²
= -4/25

元の式に2を戻すと分母は -5、k(2) = -1/5 です。分母の符号が負でも2乗は正になり、導関数の符号は分子から決まります。x = 3 と -3 は導関数へ代入できません。

5

元の分母から x ≠ 0, -4 です。この範囲で x + 4 を約分します。

m(x) = 1/x³ = x⁻³       （x ≠ 0, -4）
m′(x) = -3x⁻⁴
= -3/x⁴                 （x ≠ 0, -4）
m′(-1) = -3/(-1)⁴
= -3

指定点を元の式に戻すと分子は3、分母は (-1)³・3 = -3 なので m(-1) = -1 です。約分後の式とも一致します。-4 は約分後の式に代入可能でも、元の関数には含めません。

要点を手元に残す

逆数の導関数は -g′/g² で、g の微分可能性と g ≠ 0 が必要です。
x の負の整数乗は、元の指数を係数にし、指数から1を引きます。
約分前の分母が0になる点は、約分後も元の定義域から除きます。
指定点を元の式に戻し、分母と符号を確かめます。

つまずきの見分け方

負号が消える場合は、x⁻⁴ の指数を丸で囲み、それを係数に移す行と、指数を -5 にする行を分けて書きます。分母の導関数が抜ける場合は、最初に g と g′ を並べてから逆数の公式に戻ります。個別指導で式を確かめるなら、計算結果だけでなく、元の分母が0となる入力と約分に使った因子も言葉にしてもらうと、符号の誤りと定義域の誤りを別々に見分けられます。負の指数の係数と、元の式の除外点を残せば、逆数の微分は筋道を持って追えます。