高校数学III 合成関数の微分法—内側と外側の変数を対応させて求める｜武蔵野個別指導塾

内側の増分が0になる場合も条件から考え、外側と内側の変化率を合成します。

よくあるのは、演習ノートで u を元の式に戻したところで、計算を終えてしまう場面です。例えば、外側が u の4乗なら微分して 4u³ と書けます。しかし、u が x とともに変わるとき、x の変化に対する答えにはもう1つの変化率が必要です。何を何で微分したのかを見失わなければ、式の見た目が複雑でも順番に追えます。

ここでは、2つの関数をつなぐ微分法を、使える条件とともに扱います。三層以上の連続した合成や、微分後の増減の判定には進まず、1つの内側と1つの外側の対応を確かめます。

どんな問いで使うか

1つ目は、式全体の導関数を求める問いです。括弧の中を u と置いたら、まず外側を u で微分し、次に u を x で微分します。最後に両者を掛けてから u を x の式に戻します。置換は計算の道具であって、戻す操作そのものが微分ではありません。

2つ目は、指定された点での微分係数を求める問いです。x の値を外側の導関数に直接入れるのではなく、その点での u の値を先に求めます。外側の入力が u、内側の入力が x であることが、代入位置を決めます。

3つ目は、公式が使えるかを判定する問いです。根号の中が正である内部の点と、根号の中が0になる端の点では、外側の微分可能性が異なります。また、外側が微分可能でない点でも、合成した関数が微分可能になることがあります。公式の条件が満たされない場合は、ただちに「微分できない」と結論せず、差商に戻ります。

変化をつなぐ条件と導出

内側の関数を u = g(x)、外側の関数を y = f(u) とします。合成関数は y = f(g(x)) です。点 x = a の近くで g が定義され、g が a で微分可能であるとします。さらに b = g(a) とし、f が b の近くで定義されて b で微分可能であるとします。このとき合成関数は a で微分可能で、次の連鎖律が成り立ちます。

(dy/dx) の x = a における値 = f′(g(a))g′(a)

ここで f′(g(a)) は、外側の導関数 f′ に内側の値 g(a) を入れた数です。g′(a) は、内側が x に対してどれだけ変わるかを表します。記号 dy/du と du/dx を使えば、対応を残したまま dy/dx = (dy/du)(du/dx) と書けます。ただし、この書き方を単なる分数の約分と考えるのではなく、次の差商の議論に支えられた公式として使います。

図1のように、値は x から u、u から y へ進みます。それぞれの矢印の下には、その段階の微分を置きます。x の値を外側に入れず、いったん g を通してから f′ に渡すことが対応の要点です。

図1では g′(a) と f′(b) が別々の入力点を持ちます。例えば g(a) が a と異なれば、この区別をせずに外側へ a を代入した結果は別の数になることがあります。

公式の理由を差商から追います。h ≠ 0 として、内側の増分を k = g(a + h) − g(a) と置きます。g が a で微分可能なので a で連続です。したがって h → 0 のとき k → 0 です。外側の微分可能性から、t ≠ 0 では差商、t = 0 では微分係数を使う関数を次のように定めます。

A(t) = (f(b + t) - f(b))/t    （t ≠ 0）
A(0) = f′(b)

微分係数の定義により、t → 0 のとき A(t) → f′(b) です。t = 0 でも値を決めたので、k が0になる場合を含めて、十分小さい h について次の等式が成り立ちます。

f(b + k) - f(b) = A(k)k
(f(g(a + h)) - f(g(a)))/h = A(k)・(g(a + h) - g(a))/h

k ≠ 0 なら左の等式は差商を掛け戻したものです。k = 0 なら両辺とも0なので等式はやはり成り立ちます。h → 0 で A(k) → f′(b)、もう一方の因子は g′(a) に近づくため、差商の極限は f′(b)g′(a) です。これが導出です。

特に注意したいのは、h ≠ 0 であっても k ≠ 0 とは限らないことです。g が点 a の周りで同じ値を取ることもありますし、a の近くに g(x) = g(a) を満たす点が繰り返し現れることもあります。k で割った式を常に使う説明では、この場合が抜けます。上の A を使う方法なら、内側が変わらない場合も含めて扱えます。

増分が実際に0になる内側

内側の増分を0で割れない状況を、具体的に確かめます。a = 0 とし、g(x) を x ≦ 0 では0、x > 0 では x² とします。g(0) = 0 であり、h ≠ 0 における差商は次のように分かれます。

(g(h) - g(0))/h = 0    （h < 0）
(g(h) - g(0))/h = h    （h > 0）

左右とも h → 0 で0に近づくので、g は0で微分可能で g′(0) = 0 です。ところが h < 0 のとき、h 自体は0でないのに、内側の増分 k = g(h) − g(0) は0です。外側を f(u) = u² + u とすれば、f は0で微分可能で f′(0) = 1 です。公式は合成関数の0での微分係数を 1・0 = 0 と与えます。

元の合成関数で確かめると、x ≦ 0 では f(g(x)) = 0、x > 0 では f(g(x)) = x⁴ + x² です。0を基準にした差商は、負の h では0、正の h では h³ + h となり、左右とも0に近づきます。k = 0 の側を捨てずに計算できていることが、先ほどの導出と一致します。

記号を戻す順番

外側の微分 f′(u) と、合成関数の微分 f′(g(x))g′(x) は、入力の役割が違います。f′(u) を書いた時点では、まだ u の変化に対する y の変化率です。u を g(x) に置き換えると、外側の変化率をどの入力で評価するかが決まりますが、x の変化に換算するには g′(x) が要ります。

点の問題でも、まず b = g(a) を求め、f′(b) と g′(a) を別々に計算してから掛けます。g′(a) = 0 のときも積をそのまま計算できます。0で割る操作は必要ありません。反対に、外側の微分がその入力で存在しないときは f′(b) を書けないため、この公式による判定をいったん止めます。

基本例題：括弧の変化を掛ける

次の関数の導関数を、x の式で求めてください。

y = (2x² - 3)⁴

内側を u = 2x² − 3、外側を y = u⁴ とします。どちらも多項式なので、それぞれの入力の全実数で微分可能です。図2のように x から u、u から y へ進む順を記し、その各段階を微分します。

u = 2x² - 3
du/dx = 4x
y = u⁴
dy/du = 4u³
dy/dx = 4u³・4x
       = 16xu³
       = 16x(2x² - 3)³

図2の右向きの流れは、答えを元の変数へ戻すときにも使います。外側の微分 4u³ に内側の微分 4x を掛けた後、u の位置に 2x² − 3 を戻しています。4u³ の u を戻した 4(2x² − 3)³ で止まると、x に対する u の変化が欠けます。

値でも対応を点検します。x = 1 では u = -1、元の関数値は y = 1 です。外側の微分は 4(-1)³ = -4、内側の微分は 4 なので、求めた導関数の値は -16 です。元の式を x = 1 の周りで少し変化させた差商も、この値に近づきます。例えば x = 0 では内側の微分が0なので答えも0です。外側の導関数の値だけを見て判断すると、この違いを見落とします。

標準例題：根号の端を分ける

次の関数の定義域を示し、その内部における導関数を x の式で求めてください。また定義域の両端で、定義域内からの片側差商が有限な極限を持つか調べてください。根号を含む範囲は正確な形で答えます。

y = √(7 - 2x²)

実数の平方根が定義される条件から、まず次のように求めます。

7 - 2x² ≧ 0
x² ≦ 7/2
-√(7/2) ≦ x ≦ √(7/2)

内部では u = 7 − 2x² > 0 です。u の正の範囲で y = √u は微分可能で、その導関数は 1/(2√u) です。内側は多項式なので全実数で微分可能です。したがって連鎖律により次を得ます。

u = 7 - 2x²
du/dx = -4x
y = √u
dy/du = 1/(2√u)
dy/dx = (1/(2√u))・(-4x)
       = -2x/√(7 - 2x²)

この式は -√(7/2) < x < √(7/2) で成立します。分母の根号が0ではないことも、この範囲で確かめられます。例えば x = 1 なら u = 5、元の値は √5、導関数の値は -2/√5 です。外側への入力を 1 と間違えれば、違う値になります。

端点では u = 0 なので、上の外側の微分公式は使えません。右端を c = √(7/2) とし、定義域の内側から x = c − t、t > 0 と置いて差商を調べます。c² = 7/2 に注意すると、次のようになります。

(√(7 - 2(c - t)²) - 0)/(-t)
= -√(4ct - 2t²)/t
= -√(4c - 2t)/√t

t を正のまま0に近づけると、この値は負の向きに限りなく大きくなり、有限な極限を持ちません。左端では x = -c + t とすると、対応する片側差商は √(4c − 2t)/√t となり、正の向きに限りなく大きくなります。両端とも関数値は0と定義されていますが、有限な片側微分係数はありません。定義できることと、そこで微分できることは別の確認です。

発展例題：内側が動かない点

次の関数の導関数を x の式で求め、x = 2 での微分係数を整数で求めてください。また、x = 2 を基点とする元の関数の差商を計算し、公式で求めた微分係数と一致することを確かめてください。

y = ((x - 2)² + 1)³ - 4((x - 2)² + 1)

u = (x − 2)² + 1 と置くと、外側は f(u) = u³ − 4u です。両方とも多項式で、必要な点の周りで微分可能です。外側に現れる2つの u は同じ内側の値を表します。

u = (x - 2)² + 1
du/dx = 2(x - 2)
y = u³ - 4u
dy/du = 3u² - 4
dy/dx = (3u² - 4)・2(x - 2)
       = 2(x - 2)(3((x - 2)² + 1)² - 4)

x = 2 では u = 1、元の関数値は 1³ − 4 = -3 です。外側の微分は 3・1² − 4 = -1 ですが、内側の微分は0なので、積は0です。外側の微分が0でなくても、内側がその点で一次の速さでは変わらなければ、合成後の微分係数は0になりえます。

今度は公式を使わず、x = 2 + h で元の式に戻します。このとき u = 1 + h² です。h ≠ 0 として展開すると、次の差商になります。

(y(2 + h) - y(2))/h
= ((1 + h²)³ - 4(1 + h²) + 3)/h
= (-h² + 3h⁴ + h⁶)/h
= -h + 3h³ + h⁵

h → 0 で極限は0となり、公式で得た値と一致します。この例では h ≠ 0 なら内側の増分 h² は0ではありません。しかし、x = 2 と x = 2 + h の差ではなく、x = 2 − h と x = 2 + h を比較すれば内側の値は同じです。さらに一般の内側には、基準点 a と異なる点で g(x) = g(a) となる場合もあります。導出で内側の増分が0を取りうると考える必要は、この例の形に限りません。

誤答の位置を見つけて直す

基本例題で「y = u⁴ だから dy/dx = 4u³ = 4(2x² − 3)³」と書いたとします。最初の 4u³ は dy/du としては正しいものの、dy/dx と書いたところで変数がすり替わっています。図3のように、外側の微分と内側の微分を別々に書き、掛けてから戻します。

図3の上の式には 4x がありません。x = 1 に戻すと誤った式は -4、正しい式は -16 です。数値で違いが現れない点もあるので、1点でたまたま一致しても式全体の正しさは保証されません。どの変数で微分したかを記号に書き、必要な因子を確認します。

別の間違いとして、標準例題の導関数に端点を代入することがあります。端点では分母が0で、式自体が値を持ちません。分母が0である事実から、片側差商の有限な極限の有無まで直ちに決めず、定義に戻して調べます。逆に、連鎖律の仮定が外側で欠ける場合も、合成後の微分可能性は別途調べる必要があります。

手を動かす5問

次の問題は、途中の変数の対応と、公式を適用する範囲も書いてください。導関数は x の式、点の値は整数または分数で答えます。

1. y = (3x + 2)⁵ の導関数と、x = -1 での微分係数を求めてください。
2. y = (x² + 4x + 5)³ の導関数と、x = -2 での微分係数を求めてください。
3. y = √(10 − 3x) の定義域と、その内部での導関数を求めてください。x = 2 での微分係数は根号を含む正確な形で示してください。
4. y = 1/(5x² + 2) の導関数と、x = 1 での微分係数を求めてください。
5. f(u) = |u|、g(x) = x² とします。f が u = 0 で微分可能かを調べ、合成関数 f(g(x)) の x = 0 での微分係数を求めてください。連鎖律の仮定と結論の関係も述べてください。

5問の解答と確かめ

1. 一次式を内側に置く

内側と外側はそれぞれ全実数で微分可能です。u = 3x + 2 とすると、次の順に求まります。

du/dx = 3
y = u⁵
dy/du = 5u⁴
dy/dx = 5u⁴・3
       = 15(3x + 2)⁴

x = -1 を元の内側に戻すと u = -1、元の関数値は -1 です。導関数にはこの内側の値を入れ、15(-1)⁴ = 15 と得られます。5u⁴ のまま答えると、内側の係数3が欠けます。

2. 内側の導関数が0の点

u = x² + 4x + 5、y = u³ と置きます。どちらも多項式であり、全実数で微分可能です。

du/dx = 2x + 4
dy/du = 3u²
dy/dx = 3u²(2x + 4)
       = 3(x² + 4x + 5)²(2x + 4)

x = -2 では、元の内側の値は 4 − 8 + 5 = 1、元の関数値は1です。内側の微分は -4 + 4 = 0 なので微分係数は0です。外側の微分が3であることと、合成した微分係数が0であることは矛盾しません。

3. 正の範囲で根号を微分する

根号の中が0以上である必要があるので、定義域は x ≦ 10/3 です。その内部 x < 10/3 では u = 10 − 3x > 0 で、内側と外側は微分可能です。

du/dx = -3
dy/du = 1/(2√u)
dy/dx = (1/(2√u))・(-3)
       = -3/(2√(10 - 3x))

x = 2 は内部にあり、内側の値は 10 − 6 = 4、元の関数値は2です。導関数に戻すと微分係数は -3/4 です。端の x = 10/3 では分母が0なので、この導関数の式を代入して値を作ることはできません。

4. 分母の条件を保つ

u = 5x² + 2 とすると、どの実数 x でも u ≧ 2 です。したがって y = 1/u の分母は0にならず、内側と外側は必要な範囲で微分可能です。

du/dx = 10x
dy/du = -1/u²
dy/dx = (-1/u²)・10x
       = -10x/(5x² + 2)²

x = 1 を元の式へ戻すと分母は7、関数値は 1/7 です。導関数に代入した微分係数は -10/49 です。分母の2乗と外側の負号を残してから、内側の 10x を掛けます。

5. 条件が欠ける場合を調べる

f(u) = |u| の u = 0 における差商は、u > 0 では |u|/u = 1、u < 0 では |u|/u = -1 です。左右の極限が一致しないため f は0で微分可能ではありません。g(0) = 0 なので、この点では連鎖律の外側に関する仮定を満たしません。

一方、実数 x に対して x² ≧ 0 です。元の関係へ戻すと、合成関数は次のように簡単になります。

f(g(x)) = |x²|
        = x²
(f(g(h)) - f(g(0)))/h = h²/h
                          = h    （h ≠ 0）

h → 0 で差商は0に近づくので、合成関数の x = 0 での微分係数は0です。連鎖律の仮定は、結論を得るための十分な条件です。その仮定が満たされないことだけから、合成関数が微分不可能とは言えません。

覚えておくこと

内側と外側の入力を分け、適用点で両方の微分可能性を確認します。
外側の微分に内側の微分を掛け、最後に内側の式を戻します。
内側の増分が0でも導出が成り立つように差商を扱います。
条件が欠けた点では、元の合成関数の差商を調べます。

どこで止まったかを見分ける

答えの係数が合わないときは、u を戻す前の行に dy/du と du/dx が両方あるか確認します。点の値が合わないときは、x の値から u の値を計算し、その値を外側の導関数へ入れ直します。根号や分母のある式では、公式を書いた範囲と、元の関数が定義される範囲を横に並べると境目が見えます。

個別指導でノートを見直すなら、完成した答えだけでなく u = g(x)、dy/du、du/dx の3行と、問題にある点がどの範囲に属するかを確認すると、抜けた操作を特定できます。内側と外側の対応を残すと、微分の積の意味が式に現れます。