高校数学III 多重の合成関数の微分—三層の対応表から掛ける導関数をそろえる｜武蔵野個別指導塾

三層の式を対応表に分け、真ん中の微分を落とす誤りと定義域の境界を手がかりに、多重の合成関数を読み解きます。

よくあるのは演習ノートで、真ん中の微分を抜かすという場面です。外側のべきと一番内側の式には目が向いても、その間で数を受け取って変える式を通り過ぎてしまいます。たとえば括弧の中にさらに括弧がある式では、どの括弧を1つの数として見ているかを決めると、必要な因子が見えてきます。ここでは多項式を中心に、三層の依存関係を追います。

どの順に見ればよいか

多重の合成関数の微分は、まず式全体を微分する問題として現れます。外側から順にそれぞれの導関数を作り、最後に元の文字に戻します。展開してから微分できる式でも、層を追う方法を知っていると式が大きくなる前に構造を保てます。

次に、ある点での微分係数を求める問題があります。この場合は変数の対応を内側から順に計算し、各層の導関数には、それぞれが受け取る値を代入します。最初から同じ x の値を全層に入れると、途中の値が異なる場合に間違えます。

さらに、式が定義される範囲と微分できる範囲を尋ねることがあります。分母や根号があると、層ごとの式に使える公式の条件が関わります。以下では主に多項式を使い、最後に条件が欠ける場合を比較します。増減や接線の問題には立ち入りません。

入力と出力をつないだ3本の矢印

関数 u = g(x)、v = h(u)、y = f(v) を順に合成すると、y = f(h(g(x))) です。x から u、u から v、v から y へ値が伝わります。それぞれの関数が必要な点の近くで定義され、g が x = a で微分可能、h が u = g(a) で微分可能、f が v = h(g(a)) で微分可能なら、合成関数は x = a で微分可能です。

合成関数の微分法を2回使えば、次の式が得られます。

dy/dx = (dy/dv)(dv/du)(du/dx)
      = f′(h(g(x)))・h′(g(x))・g′(x)

ここで各導関数の入力は同じではありません。g′には x、h′には g(x)、f′には h(g(x)) を入れます。微分可能な関数はその点で連続なので、内側の値は入力を近づけると対応点に近づきます。各段階で合成関数の微分法を使う条件がそろいます。

図1のように、値は左から右に運び、微分の因子は右側から拾って掛けます。矢印の区間は3つなので、対応する因子も3つです。記号の消去だけを根拠にせず、各段階の微分法を2回使った結果と捉えてください。

例えば g′(a) = 0 の場合でも、上の条件が満たされれば積の最後の因子は0です。差商の説明で途中の増分を分母に置いて約分すると、その増分が0になる場合を扱えません。微分法の定理はその場合も含みますから、途中で0による割り算を作る必要はありません。

逆に、どこかの層で微分可能性を確認できない場合、この積の公式から結論を出すことはできません。ただし、公式の条件が欠けたことと、合成後の関数が必ず微分不可能であることは別です。合成した式を直接調べれば微分可能な場合もあります。

因子が0になる場所を読む

三層の導関数の積が0になる理由は、各段階で異なります。内側の導関数が0なら、x が動いても最初の出力 u の変化率がその点では0です。真ん中の導関数が0なら、その対応する u で v の変化率が0です。外側の導関数が0なら、対応する v で y の変化率が0です。いずれも積は0ですが、どの段階に原因があるかは対応点を計算して見分けます。

たとえば u = x + 1、v = u²、y = v³ とすると、x = -1 で u = 0、v = 0 です。各因子は 1、0、0 となります。2つの因子が同時に0でも、途中の値で割る必要はなく、積は0と求まります。元の関数は (x + 1)⁶ なので、直接微分しても同じ点で0です。このように、展開や整理が容易な式では別の道筋を照合に使えます。

基本例題：括弧を2回置き換える

次の関数の導関数を、因数分解した形で求めます。

y = { (2x + 3)² + 4 }³

内側から u = 2x + 3、v = u² + 4 と置くと、y = v³ です。いずれも多項式なので、すべての実数で各層は微分可能です。図2のように3つの式と導関数を対応させます。

du/dx = 2
dv/du = 2u
dy/dv = 3v²
dy/dx = 3v²・2u・2
      = 12uv²
      = 12(2x + 3){(2x + 3)² + 4}²

外側を微分した 3v² に、真ん中の 2u と内側の 2 を掛けました。最後に v と u を戻します。途中の文字を残したまま整理すると、外側の括弧を誤って1乗にするなどの混乱を避けられます。

x = 0 での対応は u = 3、v = 13、y = 2197 です。導関数の積に戻すと 3・13²・6・2 = 6084 となり、最終式に x = 0 を入れても 6084 です。これは計算の照合であり、すべての x についての証明は上の微分法によります。

標準例題：途中の値を代入する

関数 y = {3(x² − 2) + 1}⁴ の x = 2 における微分係数を整数で求めます。内側から u = x² − 2、v = 3u + 1、y = v⁴ と置きます。各層は多項式なので、対応する点で微分可能です。

du/dx = 2x
dv/du = 3
dy/dv = 4v³
dy/dx = 4v³・3・2x
      = 24x{3(x² - 2) + 1}³

x = 2 のとき、元の式を内側から計算します。

u = 2² - 2 = 2
v = 3・2 + 1 = 7
y = 7⁴ = 2401
dy/dx = 4・7³・3・4
      = 16464

よって微分係数は 16464 です。元の関数に x = 2 を代入すると y = 2401 となり、対応表の値と一致します。特に外側の導関数へ入れるのは x = 2 ではなく v = 7 です。入力の値を取り違えると、因子の個数が合っていても答えは変わります。

発展例題：内側の変化率が0の点

関数 y = {(x² − 1)² + 2}² の導関数を因数分解した形で求め、x = 0 での微分係数を整数で求めます。u = x² − 1、v = u² + 2、y = v² とします。どの層も多項式なので、0を含むすべての実数で微分可能です。

du/dx = 2x
dv/du = 2u
dy/dv = 2v
dy/dx = 2v・2u・2x
      = 8x(x² - 1){(x² - 1)² + 2}

x = 0 では u = -1、v = 3、y = 9 です。積の各因子は順に 6、-2、0 なので、微分係数は 0 です。元の関数にも 0 を代入すると 9 が得られ、対応点は一致します。

ここで内側の微分係数が0でも、内側の増分まで0になるとは限りません。この例の x = 0 を基点とする増分は h² なので、h ≠ 0 ならその増分で割れます。しかし、それを理由に合成関数の微分法を捨てる必要はありません。各層が微分可能という条件から積の公式が使え、0を掛けた値が得られます。実際、元の式は x² だけを通じて x に依存するので、0の両側で同じ値をとります。これは0での差商の振る舞いとも整合します。

抜けた1因子を探す

基本例題で、次のように外側と内側だけを微分したとします。

誤り: dy/dx = 3v²・2

図3のように、u から v へ変わる段階の導関数 2u が抜けています。v は u に対して一定の速さで変化するわけではなく、その変化率は u の値に応じて変わります。3本の矢印と因子を1本ずつ対応させると、抜けた場所を特定できます。

修正後は 3v²・2u・2 です。例えば x = 0 なら u = 3、v = 13 ですから、誤った式は 1014、正しい積は 6084 です。値の差が生じる理由は、u が変わるとき v がその6倍の割合で変わる段階を飛ばしたことにあります。

別の誤りとして、各層を微分した後に元の変数へ戻し忘れることもあります。u と v を途中の記号として導入したなら、求める導関数の式にはその定義を戻します。一方、点での値を求める場合には、内側から値を運んで各因子に代入すれば十分です。

条件がそろわないとき

例えば y = √((x²)²) を考えます。平方根は0以上で定義され、全体は y = x² ですから、x = 0 でも微分係数は0です。しかし外側の関数 f(v) = √v は v = 0 で通常の意味の微分係数を持ちません。そのため、0で外側の導関数を含む三層の積をそのまま適用することはできません。合成後の式を先に整理して判定します。

他方、y = √((x² + 1)²) では、x² + 1 は常に正なので全体は x² + 1 です。どの実数でも対応する外側の入力は正で、通常の合成関数の微分法も使えます。式の見た目が似ていても、対応点が境界にあるかどうかが違います。根号の中が0以上という定義域の条件と、外側の微分公式が使える条件を別々に確認してください。

練習：層と値を自分で対応させる

次の5問は、指示された形で答えてください。どの式も多項式の合成です。

1. y = {(3x − 1)² + 2}⁴ の導関数を因数分解した形で求めます。
2. y = {2(x² + 3) − 1}³ の x = 1 における微分係数を整数で求めます。
3. y = {(x² + 2x)³ + 1}² の導関数を因数分解した形で求めます。
4. y = {5(2x − 3)² − 2}³ の x = 2 における微分係数を整数で求めます。
5. y = {(x² − 4)² − 3}³ の x = 0 における微分係数を整数で求めます。

解答と途中の対応

1. u = 3x − 1、v = u² + 2 とすると y = v⁴ です。各層は全実数で微分可能です。

du/dx = 3
dv/du = 2u
dy/dv = 4v³
dy/dx = 4v³・2u・3
      = 24(3x - 1){(3x - 1)² + 2}³

x = 1 では元の式の対応が u = 2、v = 6、y = 1296 となります。積と答えの式はいずれも 10368 を与えます。

2. u = x² + 3、v = 2u − 1 とすると y = v³ です。多項式の微分法を各層に使います。

du/dx = 2x
dv/du = 2
dy/dv = 3v²
dy/dx = 3v²・2・2x
      = 12x{2(x² + 3) - 1}²

x = 1 では u = 4、v = 7、y = 343 です。したがって微分係数は 12・1・7² = 588 です。元の関数の値も 343 となります。

3. u = x² + 2x、v = u³ + 1 とすると y = v² です。多項式なので条件は全実数で満たされます。

du/dx = 2x + 2
dv/du = 3u²
dy/dv = 2v
dy/dx = 2v・3u²・(2x + 2)
      = 12(x + 1)(x² + 2x)²{(x² + 2x)³ + 1}

x = 1 では u = 3、v = 28、y = 784 です。導関数の積も最終式も 6048 となります。元の式の値が 784 であることも対応の確認になります。

4. u = 2x − 3、v = 5u² − 2 とすると y = v³ です。いずれの層も多項式です。

du/dx = 2
dv/du = 10u
dy/dv = 3v²
dy/dx = 3v²・10u・2
      = 60(2x - 3){5(2x - 3)² - 2}²

x = 2 では u = 1、v = 3、y = 27 です。よって微分係数は 60・1・3² = 540 です。元の式に戻しても関数値は 27 です。

5. u = x² − 4、v = u² − 3 とすると y = v³ です。各層は対応点で微分可能です。

du/dx = 2x
dv/du = 2u
dy/dv = 3v²
dy/dx = 3v²・2u・2x
      = 12x(x² - 4){(x² - 4)² - 3}²

x = 0 では u = -4、v = 13、y = 2197 です。内側の因子 2x が0なので、微分係数は 0 です。元の関数に0を代入した値も 2197 となります。

手元に残す要点

• 入力の道筋を x → u → v → y と書き、各層の対応点を確かめます。
• 微分可能性の条件がそろえば、3つの導関数を掛けます。
• 点で求めるときは内側から値を運び、各導関数の入力を合わせます。
• ある層で公式の条件が欠けたら、合成後の式も別に調べます。

どこで止まったかを見分ける

因子が2つしかない場合は、3本の矢印と照らして抜けた段階を探します。3つあって値が合わない場合は、それぞれの導関数に入れた値を確認します。式の外側だけを見て条件を判断した場合は、元の x から順に入力を計算し、根号や分母の条件まで戻ります。

個別指導でノートを見直すときも、まず本人に各文字が表す値と、その変化率を説明してもらうと、計算と対応のどちらで迷ったかを切り分けられます。三層の矢印と3つの因子が対応すれば、真ん中の変化率も式の中に残ります。