高校数学III 有理数乗の微分—根号の定義域と端点での微分可能性を調べる｜武蔵野個別指導塾

有理数乗を正の底で微分し、奇数乗根の負の区間や定義域の端点では差商へ戻って有限値の有無を調べます。

よくあるのは演習ノートで、根号を含む式がある点で定義されれば、そこでもべきの微分公式を使えると思う場面です。例えば √x は x = 0 で値を持ちますが、分母に √x が現れる導関数の式に 0 を代入することはできません。関数の値の存在と微分係数の存在を分け、差商に戻って調べます。

要点（結論から）

• 正の底では、有理数乗の導関数は指数を係数にし、指数を 1 減らします。
• 合成では内側の導関数を掛け、内側が正という条件を確かめます。
• 負の底で定義される奇数乗根は、負の区間で符号を追います。

どこを問われるか

1つ目は、正の数を底とする有理数乗の導関数です。分数の指数を係数に移し、指数から 1 を引きます。その際、根号の中身や負の指数による分母が正しい範囲にあるかを先に書きます。

2つ目は、奇数乗根を含む式で負の値も考える問いです。例えば立方根は負の数にも定義されますが、正の範囲の公式をそのまま全実数に広げるには理由が要ります。負の区間では符号を整理し、0 は差商で別に調べます。

3つ目は、根号の定義域の端点です。端点では定義域内から近づく片側の差商を調べます。ここでは端点における片側微分係数と、開区間内で定義される通常の微分係数を区別します。片側の極限が有限でも、両側に定義された関数の通常の微分係数が自動的に得られるわけではありません。

正の底から公式を作る

既約分数 r = m/n を考えます。m は整数、n は正の整数です。x > 0 で y = x の m/n 乗と置くと y > 0 かつ y の n 乗 = x の m 乗です。正の範囲で z を z の n 乗に移す関数は、連続かつ狭義単調増加で、導関数 n・z の (n − 1) 乗は0ではありません。逆関数の微分公式から、正の数の n 乗根は微分可能です。x の m 乗も x > 0 で正かつ微分可能なので、それとの合成である y も微分可能です。負の m でも x ≠ 0 なので整数乗の微分公式を使えます。

両辺を x で微分すると、合成関数の微分法から次を得ます。

n・y の (n - 1) 乗・y′ = m・x の (m - 1) 乗
y′ = (m/n)・(x の (m - 1) 乗)/(y の (n - 1) 乗)
   = (m/n)・x の (m/n - 1) 乗

最後は x > 0 での指数法則によります。割った n・y の (n − 1) 乗は正です。したがって正の x では、x の r 乗の導関数は r・x の (r − 1) 乗です。r = 0 の場合も定数 1 の導関数として 0 です。この導出で仮定した x > 0 を、結論を書いた後に忘れないでください。

図1のように、正の範囲で得た式から出発し、それ以外の点は元の定義域へ戻って判断します。n が偶数なら実数の n 乗根の中身は 0 以上、負の指数ならさらに底は 0 であってはいけません。n が奇数なら負の数の n 乗根も実数として定義できますが、0 で割ることはできません。

図1の分岐は計算の順番を表します。たとえば x の 2/3 乗は、x の立方根を2乗したものとして負の x にも定義されます。一方、x の 1/2 乗は負の x では実数として定義されません。指数が同じ分数という見かけでも、分母の偶奇で扱える範囲が変わります。

正の範囲で合成関数 u(x) の r 乗を微分する場合は、対象の点の近くで u(x) > 0、かつ u が微分可能なら、導関数は r・u(x) の (r − 1) 乗・u′(x) です。内側の導関数を掛けます。u が 0 になる点ではこの形の適用条件が満たされないため、元の式から調べます。実数乗一般への拡張はここでは扱いません。

基本例題：正の範囲で合成する

問題　f(x) = (3x + 2) の 2/3 乗について、3x + 2 > 0 の範囲の導関数を求め、x = 2 における値を分数で表してください。

解答　内側を u = 3x + 2 とすると、u > 0 かつ u′ = 3 です。正の範囲での有理数乗の公式と合成関数の微分法を使えます。

f′(x) = (2/3)・u の (-1/3) 乗・u′
      = (2/3)・(3x + 2) の (-1/3) 乗・3
      = 2/(3x + 2 の立方根)

図2のように、内側の 3 を掛けるところまでが微分です。x = 2 は 3x + 2 = 8 > 0 を満たします。8 の立方根は 2 なので、f′(2) = 2/2 = 1 です。

図2で内側の値を 8 に戻すと、元の関数値は 8 の 2/3 乗、すなわち 4 です。これは導関数の値 1 とは別の量です。内側が負になる点にも元の式は立方根として定義されますが、ここで得た正の範囲の導出をそのまま理由にはせず、必要なら負の区間を別に調べます。

標準例題：負の範囲と原点を分ける

問題　g(x) を x の立方根の 2 乗とします。実数全体での微分可能性を調べ、微分可能な点での導関数を求めてください。

解答　立方根は負の数と 0 にも定義されるので、定義域は実数全体です。x > 0 では正の底の公式から次を得ます。

g′(x) = (2/3)・x の (-1/3) 乗
      = 2/(3・x の立方根)

x < 0 では t = -x > 0 と置くと、立方根の符号から g(x) = t の 2/3 乗です。t′ = -1 に注意して微分します。

g′(x) = (2/3)・t の (-1/3) 乗・(-1)
      = -2/(3・(-x) の立方根)
      = 2/(3・x の立方根)

最後の等式は x の立方根が (-x) の立方根の負であることによります。分母は x ≠ 0 なので 0 ではありません。

原点では g(0) = 0 です。h > 0 の差商は次の形です。

(g(h) - g(0))/h = h の 2/3 乗 / h
                 = 1/(h の立方根)

h が正の側から 0 に近づくと、この差商は正の方向に限りなく大きくなります。有限な右側の極限がないので、通常の微分係数も存在しません。左側では差商は負の方向に限りなく大きくなり、左右を合わせても有限値にはなりません。よって微分可能なのは x ≠ 0 です。

例えば x = -8 は元の定義域に入り、立方根は -2、元の関数値は 4 です。導関数は 2/(3・(-2)) = -1/3 となります。負の区間の式と元の立方根の符号が一致していることも確かめられます。

発展例題：端点の差商を調べる

問題　p(x) = (5 − x) の 3/2 乗について、実数での定義域、内部の導関数、x = 5 での定義域内からの片側微分係数を求めてください。

解答　平方根の中身は 0 以上なので、定義域は x ≤ 5 です。内部 x < 5 では 5 − x > 0 で、内側は微分可能です。

p′(x) = (3/2)・(5 - x) の 1/2 乗・(-1)
      = -(3/2)√(5 - x)

端点では正の底という条件が外れます。p(5) = 0 とし、h < 0 について定義域内からの差商を作ります。

(p(5 + h) - p(5))/h = (-h) の 3/2 乗 / h
                       = -√(-h)

h を負の側から 0 に近づけると、右辺は 0 に近づきます。したがって左側の微分係数は 0 です。右側には定義域がないため、この関数そのものについて両側の差商による通常の微分係数は定義しません。内部の導関数の極限が 0 になることは結果と整合しますが、それだけで端点の差商を調べたことにはなりません。

確かめに x = 4 を元の式に戻すと、5 − 4 = 1 で p(4) = 1 です。内部の導関数は p′(4) = -3/2 です。端点では元の値が 0 であることを差商に使い、内部の値とは区別しています。

誤答を直す：定義される点と割れる点

平方根の関数 q(x) = √x について、「q(0) = 0 だから q′(0) = 1/(2√0) = 0」とする解答を考えます。図3のように、値があるという判定から、0 を分母に持つ式の値があるという判定には進めません。0 で割る計算は定義されず、右辺を 0 とする理由もありません。

図3の右側の差商で確認します。h > 0 なら q(h) = √h、q(0) = 0 です。

(q(h) - q(0))/h = √h/h
                 = 1/√h

h を正の側から 0 に近づけると差商は正の方向に限りなく大きくなります。右側微分係数は有限値として存在しません。定義域の外の h < 0 を使うこともできません。修正するときは、まず元の値があるか、次に公式の分母が 0 でないか、最後に必要な片側の差商が有限値に近づくかを順に見ます。

同じ 0 でも、先ほどの p の端点では差商が 0 に近づきました。根号があるという外見だけでは結論を決められません。指数と内側の変化を含めて差商を作ると、有限になる場合とならない場合が分かれます。

練習問題

次の5問は互いに独立です。導関数は実数の根号または分数指数で表し、指定された値は分数で答えてください。端点については定義域内からの片側微分係数を求めてください。

1. f(x) = (2x + 7) の 3/2 乗について、x > -7/2 での導関数と f′(1) を求めてください。
2. g(x) = x の立方根の 4 乗について、実数全体での微分可能性と導関数を求めてください。
3. h(x) = √(9 − 2x) について、定義域の内部での導関数と端点での片側微分係数の有無を調べてください。
4. k(x) = 1/(x の立方根) について、定義域と導関数を求め、k′(-27) を分数で表してください。
5. s(x) = (x − 6)√(x − 6) について、定義域の内部での導関数と端点での片側微分係数を求めてください。

練習の解答と確認

1

x > -7/2 なら 2x + 7 > 0 です。内側の導関数 2 を掛けます。

f′(x) = (3/2)・√(2x + 7)・2
      = 3√(2x + 7)
f′(1) = 3√9
      = 9

元の内側に x = 1 を戻すと 9 > 0 で、元の関数値は 27 です。導関数の式を適用した範囲に点が入っています。

2

x > 0 では g′(x) = (4/3)・x の 1/3 乗です。x < 0 では t = -x > 0 とすると g(x) = t の 4/3 乗なので、次のように符号が戻ります。

g′(x) = -(4/3)・(-x) の立方根
      = (4/3)・x の立方根

原点では g(0) = 0、h ≠ 0 の差商は次の通りです。

(g(h) - g(0))/h = h の立方根

h の立方根は両側から 0 に近づくため g′(0) = 0 です。よって実数全体で微分可能で、導関数は (4/3)・x の立方根です。例えば x = -1 では元の値は 1、導関数は -4/3 で、負の側の式とも合います。

3

9 − 2x ≥ 0 から定義域は x ≤ 9/2 です。内部では根号の中が正なので、合成関数の公式を使います。

h′(x) = (1/(2√(9 - 2x)))・(-2)
      = -1/√(9 - 2x)

端点 a = 9/2 では h(a) = 0 です。増分を v < 0 として差商を取ります。

(h(a + v) - h(a))/v = √(-2v)/v
                     = -2/√(-2v)

v を負の側から 0 に近づけると差商は負の方向に限りなく大きくなり、有限な左側微分係数はありません。a を元の根号に戻すと中身は 0 であり、端点の値 0 は存在します。

4

立方根は実数全体に存在しますが、分母が 0 にならないよう x ≠ 0 です。正の x では負の指数の公式、負の x では t = -x > 0 として符号を戻します。

x > 0: k′(x) = -(1/3)・x の (-4/3) 乗
x < 0: k(x) = -1/(t の立方根)
k′(x) = -(1/3)・t の (-4/3) 乗
      = -1/(3・(x の立方根) の 4 乗)

同じ最終式が x ≠ 0 で成り立ちます。x = -27 では立方根が -3 なので、k′(-27) = -1/(3・81) = -1/243 です。元の式では k(-27) = -1/3 となり、分母は 0 ではありません。

5

x − 6 ≥ 0 から定義域は x ≥ 6 です。内部では s(x) = (x − 6) の 3/2 乗で、内側の導関数は 1 です。

s′(x) = (3/2)√(x - 6)　(x > 6)

s(6) = 0 です。v > 0 を用いると、右側の差商は次のようになります。

(s(6 + v) - s(6))/v = v√v/v
                       = √v

v を正の側から 0 に近づけると 0 になるので、右側微分係数は 0 です。例えば x = 7 では元の値は 1、内部の導関数は 3/2 です。端点の値と内部の式の条件をそれぞれ元の関数で確かめました。

要点

• 正の底では、有理数乗の導関数は指数を係数にし、指数を 1 減らします。
• 合成では内側の導関数を掛け、内側が正という条件を確かめます。
• 負の底で定義される奇数乗根は、負の区間で符号を追います。
• 0 や定義域の端点は、必要な側の差商を直接調べます。
• 定義されることと、有限な微分係数を持つことは別です。

手が止まったときの見分け方

指数を見てすぐ計算したくなったら、まず元の式で平方根の中身と分母を書き出します。公式の答えが分母 0 になるなら、そこを消して終えるのでなく、元の差商を調べます。個別指導で式を確かめるときも、正負それぞれの区間と端点を紙に分け、どの点でどの式を使ったかをたどると、符号の抜けと条件の抜けを区別できます。差商が有限値に近づくかどうかが、端点の判断を支えます。