高校数学III 逆関数の微分公式—対応する二点と導関数の条件を確かめる｜武蔵野個別指導塾

入力と出力を交換する対応から差商を導き、導関数が0となる点まで逆関数の微分公式を読み解きます。

よくあるのは演習ノートで、元と逆で同じ入力を使う場面です。元の関数が 2 を 5 に移すなら、逆関数は 5 を 2 に戻します。それぞれの導関数に入れる数も、この対応に合わせなければなりません。

逆関数の式が求まる場合は、直接微分して答えを照合できます。一方、式が得られなくても、対応点と条件がそろえば微分係数を求められます。ここでは逆関数の存在区間と、逆数を取るときの条件を中心に考えます。

どのような問いに使うか

1つ目は、元の関数の定義域を制限して逆関数を作り、その導関数を求める問いです。例えば平方は正負の入力を同じ出力に移すため、実数全体では逆向きに入力を一意に戻せません。区間を決めたうえで値域も調べます。

2つ目は、指定された入力での逆関数の微分係数を求める問いです。逆関数への入力は元の関数の出力ですから、まず元の入力を探します。その点の元の導関数の値が0でないことを確かめ、逆数にします。

3つ目は、公式を使えない点を調べる問いです。元の導関数が0なら分母が0になり、公式は適用できません。その事実だけで逆関数の存在まで否定することはできず、必要なら逆関数の差商を直接調べます。端点も両側からの差商を取れる点とは分けて考えます。

対応を戻して差商を見る

区間 I 上で連続かつ狭義単調な関数 f を考え、その値域を J とします。異なる入力に異なる出力が対応するので、J の各数を元の入力に戻す逆関数 g が存在します。狭義単調には、入力が増えると出力が常に増える場合と、常に減る場合があります。このとき g も連続です。

I の内点 a で f が微分可能で、b = f(a)、さらに f′(a) ≠ 0 とします。b は J の内点で、逆関数は b で微分可能です。その微分係数は次の式です。

g′(b) = 1 / f′(a)
        = 1 / f′(g(b))

図1のように、元の矢印は a から b へ、逆の矢印は b から a へ進みます。公式の分母に b をそのまま入れるのでなく、g(b) = a に戻してから f′ を計算します。

図1の二方向の対応は g(f(a)) = a、f(g(b)) = b と書けます。入力と出力の文字を交換することと、導関数の値を逆数にすることは別の操作です。

導出を差商で追います。b に近い J の数を y とし、y ≠ b とします。x = g(y) と置けば y = f(x) で、逆関数が一対一であるため x ≠ a です。g の連続性から y → b のとき x → a です。したがって次の変形ができます。

(g(y) - g(b)) / (y - b)
= (x - a) / (f(x) - f(a))
= 1 / ((f(x) - f(a)) / (x - a))

右辺の内側の差商は f′(a) に近づきます。極限が0でないので逆数の極限を取ることができ、上の公式を得ます。途中の分母 f(x) − f(a) が0でないことも、狭義単調性によって保証されています。f′(a) が0のときは、この最後の逆数の極限を用いることができません。

合成関数の微分を使えば、g(f(x)) = x の両辺から g′(f(x)) f′(x) = 1 とも書けます。ただしこの計算は g の微分可能性を先に仮定します。逆関数が微分可能であることまで示したいときには、今の差商による議論が必要です。

基本例題：平方の右側を戻す

関数 f(x) = x² + 1 を x > 0 で考え、逆関数を g とします。g の式と導関数を求め、g′(10) を根号を含む分数で表してください。

まず x > 0 で f は連続かつ狭義単調増加です。値域は y > 1 なので、g の定義域は x > 1 です。y = x² + 1 を x > 0 の条件で解くと x = √(y − 1) です。文字を戻して次を得ます。

g(x) = √(x - 1)  （x > 1）
f′(x) = 2x        （x > 0）
g′(x) = 1 / (2g(x))
      = 1 / (2√(x - 1))

分母にある g(x) は正なので0ではありません。図2のように、元の対応 3 → 10 を逆向きにたどると g(10) = 3 です。よって次のように求まります。

f(3) = 3² + 1 = 10
f′(3) = 2・3 = 6
g′(10) = 1 / f′(3)
       = 1/6

図2では元の入力が3、逆の入力が10です。直接求めた g′(x) に10を入れても 1/(2√9) = 1/6 となります。元の式に3を戻す確認と、逆の式に10を入れる確認の両方が一致しました。

なお x = 0 を定義域に加えれば値域の端点1で逆関数の値は定まりますが、上の公式には f′(0) = 0 を入れられません。実際に右側の差商は √h / h = 1/√h で、h → 0+ のとき有限の値には近づきません。値があることと有限の微分係数があることは異なります。

標準例題：減少する区間での符号

f(x) = 7 − 2x − x³ を実数全体で考え、逆関数を g とします。g′(4) を分数で求めてください。

f は多項式なので連続で、次の導関数は実数全体で負です。

f′(x) = -2 - 3x²
f′(x) < 0

よって f は狭義単調減少です。また x が正の方向へ大きくなると f(x) は負の方向へ限りなく進み、負の方向へ大きくなると正の方向へ限りなく進みます。連続性と合わせて値域は実数全体です。したがって実数全体に逆関数があり、分母も常に0ではありません。

逆の入力4に対応する元の入力を探すと、x = 1 が成り立ちます。これを元の式に戻したうえで、次の順に計算します。

f(1) = 7 - 2・1 - 1³ = 4
g(4) = 1
f′(1) = -2 - 3・1² = -5
g′(4) = 1 / f′(1)
      = -1/5

元の関数が減少すると、逆の対応も減少します。答えの負号はその向きと一致します。誤って f′(4) の逆数を取ると -1/50 となりますが、4は元の入力ではありません。対応を戻す行を省かないことが、数値の取り違えを防ぎます。

発展例題：導関数が0となる点

f(x) = (x − 2)³ + 4 を実数全体で考え、逆関数を g とします。g の式を求め、x ≠ 4 における g′(x) と、x = 4 における微分可能性を調べてください。

3乗は実数全体で狭義単調増加です。平行に移した f も連続かつ狭義単調増加で、値域は実数全体です。したがって実数全体に逆関数が存在します。実数の3乗根を使って解くと次のようになります。

y = (x - 2)³ + 4
y - 4 = (x - 2)³
x - 2 = ³√(y - 4)
x = 2 + ³√(y - 4)
g(x) = 2 + ³√(x - 4)

元の導関数は f′(x) = 3(x − 2)² です。x = 2 以外では0でなく、元の出力は4以外です。逆関数の公式から次を得ます。

g′(x) = 1 / (3(g(x) - 2)²)
      = 1 / (3(³√(x - 4))²)  （x ≠ 4）

対応点は f(2) = 4、g(4) = 2 です。この点では f′(2) = 0 のため、公式を使えません。そこで逆関数の差商を直接調べます。h ≠ 0 に対して次が成り立ちます。

(g(4 + h) - g(4)) / h
= ³√h / h
= 1 / (³√h)²

h が正からでも負からでも0に近づくと、この差商は正の方向へ限りなく大きくなります。したがって有限の微分係数は存在せず、g は4で微分可能ではありません。公式を使えない点の結論は差商によって確かめました。

誤答を対応図から修正する

標準例題で「g′(4) = 1/f′(4)」と書くと、元の入力と出力を混同します。図3のように4から逆向きに進んだ先は1です。元の導関数は1で評価します。

図3の手順では、先に f(1) = 4 を照合してから f′(1) = -5 を使います。正しい式は g′(4) = 1/f′(1) = -1/5 です。元と逆の入力がたまたま等しい問題では誤りが隠れるため、異なる対応でも手順を確認してください。

もう1つの誤りは「f′(a) = 0 なら逆関数は存在しない」という判断です。発展例題では逆関数そのものは存在し、対応する点で微分可能でないことを差商から示しました。逆に、f′(a) ≠ 0 という条件を確認せず逆数を書くのも不十分です。存在、公式の適用、対象点での微分可能性を順に分けます。

練習問題

次の各問で、逆関数の存在する区間と対応点を確かめてから答えてください。微分係数は分数で表し、導関数は指定された区間で求めます。

1. f(x) = x² + 2x を x > -1 で考えます。逆関数 g の式と導関数、g′(8) を求めてください。
2. f(x) = 3x + x³ を実数全体で考えます。逆関数 g の g′(4) を求めてください。
3. f(x) = 5 − 4x を実数全体で考えます。逆関数 g の式と g′(-3) を求めてください。
4. f(x) = (x + 1)³ − 2 を実数全体で考えます。逆関数 g の式と、入力 -2 での微分可能性を調べてください。
5. f(x) = 1/x を x < 0 で考えます。逆関数 g の定義域と式、g′(-1/2) を求めてください。

練習の解答と確認

1

f(x) = (x + 1)² − 1 です。x > -1 では連続かつ狭義単調増加で、値域は y > -1 です。正の平方根を取るので、逆関数の定義域と式は次のようになります。

g(x) = -1 + √(x + 1)  （x > -1）
f′(x) = 2x + 2
g′(x) = 1 / (2(g(x) + 1))
      = 1 / (2√(x + 1))

元の入力2は範囲内で、f(2) = 4 + 4 = 8 です。したがって g(8) = 2 であり、f′(2) = 6 から g′(8) = 1/6 です。逆の式でも g(8) = -1 + 3 = 2 と戻ります。

2

f は連続で、f′(x) = 3 + 3x² > 0 です。実数全体で狭義単調増加し、両方向に値が限りなく広がるので値域も実数全体です。対応を求めてから逆数を取ります。

f(1) = 3・1 + 1³ = 4
g(4) = 1
f′(1) = 3 + 3・1² = 6
g′(4) = 1/6

元の式に1を戻すと確かに4なので、分母に用いた点は正しいと確認できます。

3

傾きが負の一次関数で、実数全体から実数全体への連続な狭義単調減少関数です。式を解くと次のようになります。

y = 5 - 4x
4x = 5 - y
x = (5 - y)/4
g(x) = (5 - x)/4

f(2) = 5 − 8 = -3 なので g(-3) = 2 です。f′(2) = -4 より g′(-3) = -1/4 です。逆関数を直接微分しても同じ値になり、g(-3) = (5 + 3)/4 = 2 と対応も戻ります。

4

f は連続かつ狭義単調増加で値域は実数全体です。3乗根を取ると g(x) = -1 + ³√(x + 2) です。f(-1) = -2、g(-2) = -1 で対応しますが、f′(-1) = 3・0² = 0 なので公式は使えません。

(g(-2 + h) - g(-2)) / h
= ³√h / h
= 1 / (³√h)²  （h ≠ 0）

この差商は h → 0 で正の方向へ限りなく大きくなるため、g は -2 で微分可能ではありません。逆関数が存在することは、この結論と矛盾しません。

5

負の区間では f は連続で f′(x) = -1/x² < 0 です。値域も負の区間なので、逆関数の定義域は x < 0 です。y = 1/x を解くと x = 1/y となり、g(x) = 1/x です。

f(-2) = -1/2
g(-1/2) = -2
f′(-2) = -1/4
g′(-1/2) = 1 / (-1/4)
         = -4

直接微分した g′(x) = -1/x² に -1/2 を入れても -4 です。元の入力 -2 と出力 -1/2 はともに負の区間にあります。

手元に残すこと

• 逆関数を作る前に、元の関数の区間と値域を確認します。
• b = f(a) なら g(b) = a です。
• f′(a) ≠ 0 のとき g′(b) = 1/f′(a) です。
• 分母が0の点では、逆関数の存在と差商を別に調べます。

つまずきを見分けるには

答案で分母が f′(b) になっていたら、まず f(a) = b の行を添え、a と b の役割を指で追ってみてください。次に a が元の区間に入り、f′(a) が0でないかを調べます。区間の端点なら、両側の差商が定義されるかも確認します。

個別指導で式を確かめる場面でも、元の式に a を戻して b を得るところから始めると、計算の間違いと対応の取り違えを区別できます。逆向きの入力を元へ戻す一行が、微分公式の分母を決めます。