高校数学III 逆関数の微分係数—逆関数の式を解かずに対応点から値を求める｜武蔵野個別指導塾

三次関数の出力から元の入力を探し、その点の導関数の逆数を求め、傾きが0の例では逆向きの差商を調べます。

よくあるのは、演習ノートで三次関数の逆関数の式を解こうとして、計算が止まる場面です。求めたいものが逆関数全体の式ではなく、ある1点の微分係数なら、立ち止まる場所を変えられます。元の関数でその点に対応する入力を探し、そこでの微分係数を使います。

ただし、数を入れ替える方向や、逆数を取れる条件を間違えると別の値が出ます。対応があること、元の傾きが0でないことを順番に確かめましょう。傾きが0の場合は公式を使わず、差商から何が起きるか調べます。

どの数を探す問題か

逆関数を g として g′(b) を求める問いでは、まず g(b) に当たる数 a を探します。これは元の関数 f について f(a) = b を満たす数です。例えば b をそのまま f′ に代入するのではなく、先に f の入力に戻す必要があります。

次に、逆関数の式を与えずに、元の関数の式と値域の数を与える問いがあります。値域に属することと対応する入力が一意であることを確認してから、元の導関数を計算します。候補を見つけても、代入して本当に指定された値に戻るか調べます。

さらに、対応点で元の導関数が0となる問いがあります。逆関数が存在することと、その点で微分可能であることは別の条件です。分母に0が現れたら答えを作らず、差商の極限を直接調べます。

対応点から差商をつなぐ

区間 I 上の関数 f が連続で狭義単調なら、値域 J 上に逆関数 g が定まり、g も連続です。a を I の内部の点、b = f(a) とすると、g(b) = a です。f が a で微分可能で f′(a) ≠ 0 なら、g は b で微分可能で、次の式が成り立ちます。

g′(b) = 1/f′(a)
a = g(b),  b = f(a)

図1のように、元の入力 a と出力 b は、逆向きには入力 b と出力 a です。微分係数の評価点もこの対応に合わせて移します。

図1の上側をたどれば f(a) = b、下側をたどれば g(b) = a です。矢印の向きが変わるので、g′(b) の分母は f′(a) となります。

導出では、b に近い J の点 y を取り、x = g(y) と置きます。g の連続性により y → b のとき x → a です。y ≠ b なら逆対応の一意性から x ≠ a であり、差商を次のように変形できます。

元の入力の増分を Δx = x − a、出力の増分を Δy = y − b = f(x) − f(a) と表します。逆関数では、この Δy が入力の増分、Δx = g(y) − g(b) が出力の増分になります。したがって、逆向きの差商と元の差商の関係は次の通りです。

元の関数の差商 = Δy / Δx
               = (f(x) - f(a)) / (x - a)
逆関数の差商 = Δx / Δy
             = 1 / (Δy / Δx)

最後の分母は x → a で f′(a) に近づきます。その極限が0でないため、逆数の極限を取れます。これが上の式の理由です。f′(a) = 0 のときはこの議論で逆数の極限を取れません。単に0で割る式を答えにしてはいけません。

狭義単調かどうかは、例えば導関数が区間内で常に正なら確認できます。定義域を限定した問題では、その区間に対応点が入るか、求める b が値域に入るかも見ます。端点では両側からの通常の微分係数をそのまま扱えないため、以下では対応点を区間の内部に取ります。

基本例題：入力を戻してから微分する

f(x) = x³ + 2x + 1 を実数全体で定め、逆関数を g とします。g′(4) を分数で求めてください。

まず f′(x) = 3x² + 2 > 0 です。f は連続で狭義増加し、x が正負に大きくなると f(x) もそれぞれ正負に限りなく大きくなるため、値域は実数全体です。したがって g が存在し、4 もその定義域に入ります。

対応する元の入力を探すと、次のようになります。

f(1) = 1³ + 2・1 + 1
     = 4
g(4) = 1
f′(1) = 3・1² + 2
      = 5

図2のように、1 から4への対応を逆にたどります。元の傾きは0でないので、逆関数の微分公式が使えます。

g′(4) = 1/f′(1)
      = 1/5

答えは 1/5 です。図2の2本の矢印は同じ対応を逆向きに表しています。元の式に1を戻すと4となり、逆関数側の入力が問題の4と一致します。逆関数の式を三次方程式から取り出す必要はありません。

ここで f′(4) を計算してしまうと、元の入力を4とした別の点の傾きを使います。g の入力4は f の出力であり、f の入力ではありません。数が同じ位置に書かれていても、役割は逆になります。

標準例題：減少する関数の符号

f(x) = -x³ − 3x + 6 を実数全体で定め、逆関数を g とします。g′(2) を分数で求めてください。

f′(x) = -3x² - 3
       < 0

f は連続で狭義減少です。また両端で正負に限りなく大きくなるため、値域は実数全体です。対応点とその傾きを求めます。

f(1) = -1³ - 3・1 + 6
     = 2
g(2) = 1
f′(1) = -3・1² - 3
      = -6
g′(2) = 1/(-6)
      = -1/6

答えは -1/6 です。f(1) = 2 に戻るので対応点は問題の入力と合っています。元の関数が減少するため、対応点での傾きも逆関数の傾きも負です。逆数を取るとき、負号まで消さないようにします。

単調性の確認と微分係数の計算は役割が異なります。全域で負であることは逆対応の一意性に役立ち、対応点での -6 は逆数を取れることと答えの値を決めます。値域の確認を飛ばすと、指定された入力に対応する点が存在するかが残ります。

発展例題：傾きが0の点で止まる

f(x) = (x − 2)³ + 5 を実数全体で定め、逆関数を g とします。g′(5) が有限の実数として存在するか、差商を用いて答えてください。

三次の関数は狭義増加なので f は連続で狭義増加し、値域は実数全体です。f(2) = 5 ですから g(5) = 2 です。一方、対応点での元の傾きは次の通りです。

f′(x) = 3(x - 2)²
f′(2) = 0

このため逆数の公式は使えません。公式が使えないという事実だけでは微分係数の有無を結論できないので、差商を直接調べます。h ≠ 0 とし、t = g(5 + h) − 2 と置きます。逆対応より次の等式が成り立ちます。

5 + h = f(2 + t)
      = t³ + 5
h = t³
(g(5 + h) - g(5))/h = t/t³
                            = 1/t²

h → 0 のとき逆関数の連続性から t → 0 です。t ≠ 0 であり、1/t² は正の向きに限りなく大きくなります。よって差商は有限の実数に収束せず、g′(5) は有限の微分係数として存在しません。対応を元の式に戻すと f(2) = 5 であり、調べた点は正しい点です。

分母が0になった段階で「逆関数がない」と判断するのも誤りです。この例には逆関数が存在しますが、その指定点で有限の微分係数を持ちません。存在と微分可能性を分けて、残った差商の極限を調べます。

対応点の探し方を整理する

f(a) = b を解くとき、必ず一般の三次方程式の解の形を求める必要はありません。整数が候補として思いつくなら代入して確かめ、狭義単調性によって同じ値に対応する別の入力がないと結論できます。候補が見つからないときも、問題で対応点が別の形で与えられていれば、その値をそのまま a として使えます。

ただし代入の成功と一意性は別の確認です。f(a) = b は対応の存在を示し、単調性はその区間内の入力が重ならないことを示します。値域の端にある点なら両側の差商を扱えるかも確認します。これらを先に書くと、逆数の公式を使える範囲が明確になります。

誤答を点検する

基本例題で「g′(4) = 1/f′(4) = 1/50」としたとします。計算自体は f′(4) = 50 と合っていますが、評価点の選び方が違います。4 は元の出力なので、先に f(a) = 4 を満たす a を探します。

図3のように、誤った経路では出力4を元の導関数の入力に直接入れています。正しい経路は f(1) = 4 を確認してから f′(1) を使うものです。

図3の正しい経路を式で書き直すと g′(4) = 1/f′(1) = 1/5 です。元に戻す一行があれば、誤った経路の f(4) = 73 が問題の4と一致しないことも見えます。

もう1つの失敗は、f′(a) = 0 なのに逆数の公式を続けることです。0による割り算は定義されません。発展例題のように差商が有限値に収束しない場合もあるため、対応点と差商を改めて書き、極限を判定します。計算が止まった箇所を消さず、どの条件が不足したかを記録すると修正しやすくなります。

練習問題

各問で逆関数を g とします。微分係数が存在する場合は分数で答え、存在しない場合は有限の実数として存在しない理由を述べてください。関数の定義域はいずれも実数全体です。

1. f(x) = x³ + 4x − 2 のとき、g′(3) を求めてください。
2. f(x) = 2x³ + x + 3 のとき、g′(0) を求めてください。
3. f(x) = -2x³ − x + 7 のとき、g′(4) を求めてください。
4. f(x) = x³ + 2x² + 3x + 2 のとき、g′(8) を求めてください。
5. f(x) = (x + 1)³ − 4 のとき、g′(-4) を調べてください。

練習の解答

1

f′(x) = 3x² + 4 > 0 です。f は連続で狭義増加し、両端の振る舞いから値域は実数全体です。対応点と傾きを順に計算します。

f(1) = 1³ + 4・1 - 2
     = 3
g(3) = 1
f′(1) = 3 + 4
      = 7
g′(3) = 1/7

答えは 1/7 です。元の式に1を戻して3を得るので、逆関数の入力と一致します。

2

f′(x) = 6x² + 1 > 0 です。連続な f は狭義増加し、値域は実数全体です。負の入力を候補にして代入します。

f(-1) = 2・(-1)³ - 1 + 3
      = 0
g(0) = -1
f′(-1) = 6・(-1)² + 1
       = 7
g′(0) = 1/7

答えは 1/7 です。元の式に -1 を戻すと0となり、対応点は問題の条件を満たします。

3

f′(x) = -6x² − 1 < 0 です。f は連続で狭義減少し、値域は実数全体です。傾きの符号を保って逆数を取ります。

f(1) = -2・1³ - 1 + 7
     = 4
g(4) = 1
f′(1) = -6・1² - 1
      = -7
g′(4) = -1/7

答えは -1/7 です。f(1) = 4 と元に戻して確認でき、減少する対応の傾きは負です。

4

導関数を平方完成すると次のようになります。

f′(x) = 3x² + 4x + 3
       = 3(x + 2/3)² + 5/3
       > 0

f は連続で狭義増加し、三次の最高次の項から値域は実数全体です。対応を確かめて計算します。

f(1) = 1³ + 2・1² + 3・1 + 2
     = 8
g(8) = 1
f′(1) = 3 + 4 + 3
      = 10
g′(8) = 1/10

答えは 1/10 です。代入結果の8は逆関数の指定された入力に戻ります。導関数の正負を調べるとき、各項が常に正とは限らないため、平方完成して全体で判断します。

5

f は連続で狭義増加し、値域は実数全体です。f(-1) = -4 より g(-4) = -1 ですが、f′(-1) = 0 なので逆数の公式は使えません。h ≠ 0、t = g(-4 + h) + 1 と置くと、元の式に戻して次を得ます。

-4 + h = f(-1 + t)
       = t³ - 4
h = t³
(g(-4 + h) - g(-4))/h = t/t³
                              = 1/t²

h → 0 では t → 0 となり、差商は正の向きに限りなく大きくなります。したがって g′(-4) は有限の実数として存在しません。逆関数の存在と微分係数の存在を取り違えないことが、この問いの判定です。

覚えておくこと

• g′(b) を求める前に f(a) = b を満たす対応点 a を探します。
• 逆関数が存在し、対応点で f′(a) ≠ 0 なら g′(b) = 1/f′(a) です。
• f′(a) = 0 なら公式を使わず、差商などで微分可能性を調べます。
• 出した対応点は元の関数に戻し、指定の入力になるか確かめます。

手が止まったときの見分け方

逆関数の式が書けなくても、求める値が1点の微分係数なら、ノートに f(a) = b と g(b) = a を並べてください。a が見つからないときは元の式に候補を代入し、見つかったときは定義域と値域、単調性、f′(a) の順に点検します。

個別指導で確認するなら、逆向きの入力 b をどこに書いたかを説明し、元の式へ戻す一行を見せてください。分母が0の場合には、公式を適用できなかった理由と差商の変化を別々に説明します。対応点を正しく戻すことが、逆関数の微分係数への入口です。