高校数学A 2つの円の共通接線—半径の差と和を直角三角形に移して長さを出す｜武蔵野個別指導塾

接点間の長さを三平方で求め、円が接するときの本数まで考える共通接線です。

よくあるのは、高1が2つの円の外側に引いた共通接線を見て、2本の半径を足してしまう場面です。接点に半径を引くところまでは合っています。しかし、その半径が接線の同じ側にあるか、反対側にあるかで、中心間のずれは変わります。図を描いた後に、接線を基準にして差か和かを判断しましょう。

何を手がかりにするか

共通接線は、1本の直線が2つの円の両方に接するものです。問題には主に3つの型があります。中心間距離と半径から接点間の長さを求める型、長さから中心間距離や半径を逆に求める型、円の位置関係から共通接線の本数を決める型です。いずれも最初に円の位置関係を確かめると、存在しない線の長さを計算する失敗を防げます。

長さの計算では、中心と接点を結んだ2本の半径が接線に垂直であることを使います。平行な2本の半径を見比べ、中心間距離を斜辺とする直角三角形を作ります。本数を数えるときは、左右対称に現れる直線のほか、2つの接点が重なって1本になる境界に注意します。

接線の両側に中心を置いて考える

中心を O、P、半径をそれぞれ R、r、中心間距離を d とします。ここでは R ≧ r > 0、d > 0 とします。共通接線の接点をそれぞれ A、B とし、接点間の長さを t とします。直線と円の接点では半径が接線に垂直なので、OA と PB はともに接線に垂直です。

図1のように、2つの中心が接線の同じ側にある共通接線を共通外接線、反対側にあるものを共通内接線と呼びます。同じ側では、接線から中心までの距離の差が R − r です。反対側では、接線をまたいだ距離が R + r です。足すか引くかは、円の大小ではなく中心の位置で決まります。

図1では外接線の2つの中心は接線の下にあり、内接線の中心は線の上下にあります。外接線について、半径の長い円の中心 O から短い円の中心 P を通る接線の平行線に垂線を下ろすと、辺の長さが t、R − r、d の直角三角形ができます。接線と P を通る平行線との間隔は r です。O からその平行線までの垂直な長さが R − r、平行線に沿う長さが接点間と等しい t となるので、中心間距離 d を斜辺にできます。

したがって、接点が異なる外接線では次の関係です。

t² + (R − r)² = d²

t = √(d² − (R − r)²)

内接線も同様に、接線に平行な線を中心の一方から引けば、直角三角形の縦の辺は R + r です。よって次の関係になります。

t² + (R + r)² = d²

t = √(d² − (R + r)²)

どちらも長さなので、平方根の負の値は採りません。また、根号の中が負なら、その種類の接線は存在しません。根号の中が0なら接点が重なり、直角三角形はつぶれます。式の値は0ですが、そのときの直線は2本でなく1本です。

直角三角形を作る手順

外接線で R > r の場合、O から接線に下ろした半径上に、P を通る接線の平行線との交点 H を取ります。AH と PB は平行線の間の距離なので等しく、ともに r です。O、H、A の順に並ぶため、OH = R − r です。また四角形 A B P H は長方形なので HP = AB です。角 OHP は直角であり、三平方の定理を使う三辺は OP、OH、HP と確定します。R = r では H と O が重なり、この三角形はつぶれますが、2本の半径と接点間の線分が長方形を作るため AB = OP = d です。

内接線では、O から接線への垂線を接線の反対側まで延ばし、P を通る接線の平行線との交点を H とします。接線をはさんで半径の長さが並ぶので OH = R + r、長方形から HP = AB です。OH と HP は垂直ですから、三平方の定理の斜辺は OP です。接点が重なる境界では H と P が重なり、三角形としては扱えません。その場合は接点を通る共通の垂線から接線を直接確認します。

線分の長さが与えられていても、最初から斜辺に当てはめるとは限りません。中心を結ぶ線分は接線に対して斜めに横切る辺であり、接点間は接線に沿う辺です。両者の役割を図に書き込んでから式を作れば、三平方の引き算の向きも判断できます。

基本例題：外接線の接点間を求める

半径5と2の2円の中心間距離が5です。共通外接線の2つの接点間の長さを、整数で求めてください。

中心間距離5は半径の差3より大きく、半径の和7より小さいので、2円は2点で交わります。外接線は2本あります。図2のように、接点を A、B とし、長さ AB を t とします。両中心は接線の同じ側にあります。

図2の直角三角形の縦の辺は5 − 2 = 3、斜辺は5です。三平方の定理から次のように計算します。

t² + 3² = 5²

t² + 9 = 25

t² = 16

t = 4

よって接点間の長さは4です。長さを元の図に戻すと、接線に平行なずれ4と垂直なずれ3から、中心間距離の二乗は4² + 3² = 25です。中心間距離は正なので5となり、与えられた条件に戻ります。もし半径を足して7とすると、斜辺5より直角三角形の一辺が長くなり、この図には合いません。

標準例題：内接線から中心間距離へ戻す

半径3と1の2円が離れています。共通内接線の接点間の長さが3のとき、中心間距離を整数で求めてください。

内接線では中心が接線の反対側にあるので、垂直方向の距離は3 + 1 = 4です。中心間距離を d とすると、接点間の長さ3と合わせて直角三角形ができます。

d² = 3² + 4²

d² = 9 + 16

d² = 25

d = 5

距離は正なので d = 5 です。半径の和は4で、5 > 4 だから円は確かに離れ、内接線が存在します。逆に d = 5 を図に戻すと、接点間の長さの二乗は25 − 4² = 9となり、正の長さは3です。線分の長さを求める式を逆向きに使うときも、最後に円の位置を確かめます。

発展例題：2種類の長さから半径を決める

半径の異なる2円が離れており、大きい円の半径は4です。中心間距離は10、共通外接線の接点間の長さは4√6です。小さい円の半径を整数で求め、共通内接線の接点間の長さを根号を用いて求めてください。

小さい半径を r とすると、0 < r < 4 です。外接線の直角三角形に三平方の定理を使います。

(4√6)² + (4 − r)² = 10²

96 + (4 − r)² = 100

(4 − r)² = 4

4 − r = 2

r = 2

4 − r は正なので、4 − r = -2 は条件に合いません。半径の和は6で、中心間距離10はそれより大きく、内接線も存在します。その接点間の長さを u とします。

u² + (4 + 2)² = 10²

u² + 36 = 100

u² = 64

u = 8

答えは小さい半径2、内接線の接点間の長さ8です。戻して確かめると、外接線では (4√6)² + (4 − 2)² = 96 + 4 = 100、内接線では8² + (4 + 2)² = 64 + 36 = 100です。どちらも中心間距離10に対応します。半径の差から半径を求める際は、大小の条件を使わずに平方根を外すと、不要な候補を残してしまいます。

存在条件と接するときの数え方

R > r > 0 とし、中心は異なるとします。d と半径の和・差を比べると、位置と共通接線の本数は次のように整理できます。

外接の境界では内接線の接点が重なります。2本の内接線が近づいて共通の接点で1本になったと考えると、本数を数えやすくなります。内接の境界では外接線が同じように1本になります。接する点での共通接線は、接点を通り、両中心を結ぶ直線に垂直な1本です。接点間の長さが0ということと、接線が存在しないということは異なります。

半径が等しい場合も別に見ます。中心が異なれば半径の差は0で、外接線は常に2本あり、その接点間の長さは d です。内接線は d と半径の和を比べます。中心が一致し半径が異なる同心円には共通接線がありません。中心も半径も一致する場合は同じ円なので、その円の接線はすべて共通接線です。表の前提 d > 0 を外して機械的に数えてはいけません。

差を和に取り違えた答案を直す

図3のような外接線で、半径7と3、中心間距離5に対して「接点間の長さの二乗は5² − (7 + 3)²」としたとします。右辺は負になり、長さが求まらないため、外接線がないと結論する答案です。しかし、中心間距離5は半径の差4より大きく、外接線は存在します。

誤りの原因は、図3の2本の半径が接線の同じ側にあることを見落とした点です。接線から測った高さはそれぞれ7と3で、中心どうしの高さのずれは7 − 3 = 4です。接点間の長さを x とすれば、正しい式は次のとおりです。

x² + 4² = 5²

x² = 9

x = 3

この3を戻すと3² + 4² = 5²となります。内接線なら和を使いますが、この例では半径の和10が中心間距離5を超えるため、内接線は存在しません。負の数が現れたときは計算を続けず、接線の種類と円の位置を見直してください。計算ができた場合も、根号の中の符号と接点が重なるかどうかを確認します。

計算の前に確かめること

接点間の長さは、2つの円の中心間の長さとは別の線分です。円が離れていれば内接線と外接線の両方を描けますが、同じ2円でもそれぞれ別の接点を使います。半径の和は差より大きいため、両方の接点間の長さが正であれば内接線の方が短くなります。この大小関係は答えを比べる目安になりますが、それだけでは数値の正しさを保証しません。各線分を三平方の式に戻して確かめてください。

練習：位置と長さを使い分ける

次の5問では長さの単位をそろえ、指定された形で答えてください。円が離れているとは、互いに外部にあり接しないことです。

1. 半径6と1の2円が離れ、中心間距離は13です。共通外接線の接点間の長さを整数で求めてください。
2. 半径4と3の2円が離れ、中心間距離は25です。共通内接線の接点間の長さを整数で求めてください。
3. 半径5と2の2円の共通内接線の接点間の長さが24です。中心間距離を整数で求め、円が離れていることも確かめてください。
4. 半径8と3の2円について、中心間距離が順に11、5、3のとき、共通接線の本数をそれぞれ整数で求めてください。
5. 半径が等しい2円の中心間距離が10で、共通内接線の接点間の長さが6です。各円の半径を整数で求めてください。

練習の答えと道筋

1. 半径の差は6 − 1 = 5です。接点間の長さを a とすると、a² + 5² = 13²、a² = 169 − 25 = 144なので a = 12です。12² + 5² = 169から中心間距離13に戻ります。13 > 7なので2円が離れている条件にも合います。

2. 半径の和は4 + 3 = 7です。接点間の長さを b とすると、b² + 7² = 25²、b² = 625 − 49 = 576なので b = 24です。24² + 7² = 625で中心間距離25に戻ります。25 > 7で内接線が存在します。

3. 中心間距離を c とすると、c² = 24² + (5 + 2)² = 576 + 49 = 625です。距離は正なので c = 25です。25 > 7から2円は離れています。25² − 7² = 576で接点間の長さ24も元に戻ります。

4. 半径の和は11、差は5です。距離11では外接するので3本、距離5では内接するので1本、距離3では一方が他方の内部にあるので0本です。それぞれの距離を和と差に戻して比較すると、境界を含めた分類が確かめられます。距離5のとき接点は重なりますが、その点での接線は残ります。

5. 共通の半径を s とすると、10² = 6² + (2s)²です。(2s)² = 100 − 36 = 64、2s > 0なので2s = 8、s = 4です。半径の和8は中心間距離10より小さく、円は離れています。10² − (4 + 4)² = 36から接点間の長さ6に戻ります。

手元に残す要点

• 接線と接点への半径は垂直です。
• 中心が同じ側なら半径の差、反対側なら半径の和を使います。
• 接点間の長さと中心間距離を直角三角形に置きます。
• 円が接するとき、接点間の長さ0に対応する接線は1本です。
• 存在条件と半径の大小を確かめてから平方根を選びます。

説明できるかを確かめる

式は覚えていても、どの線分が半径の差を表すかを指せない場合があります。そのときは接線を基準に2つの中心までの距離を別々に示し、同じ側か反対側かを言葉にします。個別指導で確認するなら、接する境界で長さが0になることと接線の本数が1本になることを、図に戻して説明してもらいます。半径の差と和は、中心が接線のどちら側にあるかを描けば選べます。