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高校数学A 接線を含む方べきと逆—接線長の二乗と四点の共円を条件から調べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

接点の二乗と4点の位置を手がかりに、積から円と接線を判断する考え方が方べきです。

よくあるのは、高1が2組の線分の積が一致したことを見て、点の配置を調べずに4点を通る円をかけると考える場面です。積が同じという計算は確かに重要ですが、その値を作った線分がどこに並んでいるかも同じくらい重要です。円の外から見る場合と、円の中で交わる場合では、同じ形の積が現れても点の順序が変わります。

まず接線と割線から式が生まれる理由を追い、その後で式から円や接線を判断する手順を調べます。長さは正の値として扱い、直線上の点の順序を明示します。

接線と積が登場する3つの問い

1つ目は、円外の点から引いた接線の長さを求める問いです。接点までの長さを2回掛けたものが、同じ点からの割線について、近い交点までの長さと遠い交点までの長さの積に等しくなります。円の中にある部分の長さをそのまま遠い交点までの長さと取り違えないことが出発点です。

2つ目は、2本の直線上の4点が同じ円にあると示す問いです。積を計算する前に、交点が各線分の外側にあるのか、各線分の内側にあるのかを調べます。交点が一方の線分の内側、もう一方の外側にある配置では、正の長さの積が等しくても共円とは限りません。

3つ目は、ある直線が円に接すると示す問いです。接することを前提に公式を使うと、結論を仮定することになります。すでに円周上にある点と積の等式を使い、別に引いた接線と比べて接することを証明します。

接点の二乗はどこから来るか

円の外部に点 P を取り、P からの接線の接点を T とします。P を通る別の直線が円と異なる2点 A、B で交わり、P、A、B の順に並ぶとします。PT は接線の長さ、PA は外側の部分、PB は P から遠い交点までの全体です。図1のように TA、TB を結んで2つの三角形を比べます。

図1では ∠TPA と ∠BPT は同じ角です。また接弦定理と円周角の関係から、∠PTA = ∠PBT です。したがって2組の角がそれぞれ等しいので、対応順を明記すると三角形 PTA と三角形 PBT は相似です。対応する頂点は P と P、T と B、A と T です。

対応する辺を並べると、PT と PB、PA と PT が対応します。よって、次のように変形できます。

PT/PB = PA/PT
PT・PT = PA・PB
PT² = PA・PB

P は円の外にあり、T、A、B は P と異なるので、割った長さは0ではありません。上の相似は接弦定理を根拠としており、図の見た目で等角と決めたわけではありません。割線が接線に重なると A と B が異なるという条件が崩れ、ここで使った2つの三角形もそのままでは作れません。

逆に積から共円を示すときは、例えば P、A、B の順と P、C、D の順がそれぞれ同じ半直線上にあり、2本の直線が異なるとします。この配置で PA・PB = PC・PD なら、A、B、C、D は同じ円にあります。理由は A、B、C を通る円と半直線 PC とのもう1つの交点を D′ とすると、円外の2割線の関係から PA・PB = PC・PD′ となり、PD = PD′ が得られるからです。C は直線 AB 上にないため3点は一直線上になく、円を定められます。

もう1つの交点が確かに半直線 PC 上にある理由も押さえます。上の等式と PA < PB から PC・PD = PA・PB > 0 です。A、B を通る円について P はその円の外にあります。C は円周上なので、P から C を通る直線は C で接する場合か、円を横切る場合です。接するなら接線の式より PC² = PA・PB ですが、仮定と比べると PC = PD となり C と D が異なることに反します。よって横切り、もう1つの交点 D′ は同じ半直線上にあります。さらに PC・PD′ = PC・PD から、PC が正なので PD′ = PD、したがって D′ = D です。

同様に P が線分 AB、CD の両方の内部にある場合も、2本の直線が異なり、4点が P と異なれば、PA・PB = PC・PD から共円を示せます。こちらでは A、P、B と C、P、D の順序で、円内の2弦の関係を用います。一方が内部でもう一方が外部なら、この2つの逆のどちらにも当てはまりません。

基本例題：接点までの長さ

円の外部の点 P から接線 PT と割線 PAB を引きます。点は P、A、B の順で、PA = 4 cm、AB = 12 cm です。PT を cm 単位の整数で求めてください。

図2のように、12 cm は円の中の AB であり、P から B までの長さではありません。最初に足して PB を求め、次に接線の関係に代入します。

図2で PB は PA と AB を合わせた長さです。P が円外にあり、T が接点、A と B が異なる交点という条件を満たすため、先ほどの相似を使えます。

PB = PA + AB
   = 4 + 12
   = 16
PT² = PA・PB
    = 4・16
    = 64
PT = 8

PT は長さなので正の平方根を取ります。答えは 8 cm です。元の条件に戻すと、PB − PA = 16 − 4 = 12 cm で AB に一致し、PT² = 64 と PA・PB = 4・16 = 64 も一致します。相似の式で、近い交点までの長さと全体の長さがどの辺に対応しているかを指でたどると、AB を誤って掛けるのを防げます。

標準例題：積から4点の円を見つける

異なる2直線が P で交わります。一方の直線上には P、A、B の順に3点があり、もう一方の直線上には P、C、D の順に3点があります。PA = 3 cm、AB = 9 cm、PC = 4 cm、CD = 5 cm とします。A、B、C、D が同じ円周上にあることを証明してください。

まず P から遠い点までの距離をそろえます。いずれの直線でも、P は2点の外側にあります。

PB = PA + AB
   = 3 + 9
   = 12
PD = PC + CD
   = 4 + 5
   = 9
PA・PB = 3・12
       = 36
PC・PD = 4・9
       = 36

積が等しく、P、A、B と P、C、D がそれぞれ同じ半直線上にこの順で並び、2直線は異なります。したがって上で示した外部の配置の逆が使え、4点は共円です。答えを条件へ戻すと、PB − PA = 9 cm、PD − PC = 5 cm なので、求めた全体の長さは問題の2つの部分の長さと矛盾しません。

もし CD を 4 cm に変えると PD = 8 cm、PC・PD = 32 cm² になります。36 cm² と一致しないので、4点が共円だと仮定した場合の方べきの関係に反します。この場合は共円ではありません。積の不一致から否定するときも、長さの起点を P にそろえて比較します。

発展例題：接することを結論にする

円周上の異なる3点 T、A、B と、直線 AB 上の点 P があります。P、A、B の順に並び、PT = 6 cm、PA = 3 cm、AB = 9 cm です。直線 PT がこの円の T における接線であることを証明してください。

まず P から B までの長さと積を計算します。

PB = PA + AB
   = 3 + 9
   = 12
PA・PB = 3・12
       = 36
PT² = 6²
    = 36

ここで PT が接線だとまだ言ってはいけません。P、A、B の順に円と交わるので P は円外にあります。P から円に接線を引き、その接点の1つを U とします。接線について証明済みの式を使うと、次の関係です。

PU² = PA・PB
    = 36
PU = 6
PT = PU

円の中心を O とすると、OT = OU は半径です。OP は共通で、PT = PU もわかっています。よって三角形 OPT と三角形 OPU は3辺がそれぞれ等しく合同です。対応する角より ∠OTP = ∠OUP です。OU は接点 U への半径なので OU と UP は垂直ですから、OT と TP も垂直です。円周上の点 T を通り半径 OT に垂直な直線 PT は、T における接線です。

最後に条件を戻して見ます。PB − PA = 12 − 3 = 9 cm で、指定された AB に一致します。また証明後に接線の式を確認すると、6² = 3・12 です。もし PT が 5 cm なら PT² = 25 で積 36 と一致せず、接線であることを仮定すると矛盾します。数が合わないときは、同じ方法で接線ではないと判断できます。

逆を使えない配置と式の直し方

図3のように、2直線の交点 P が AB の外側にあり、CD の内側にあるとします。PA = 1、PB = 4、PC = 1、PD = 4 なら、PA・PB と PC・PD はどちらも 4 です。長さの単位は共通とします。

誤答は「積が等しいので4点は共円です」とするものです。図3では A と B が P から同じ向きにあり、C と D は P をはさんで反対側にあります。A、B を通る円があったとしても、直線 AB 上で P は円外です。一方、C、D を通る同じ円があれば、P は弦 CD の内部なので円内になります。1点が同じ円の外部と内部に同時にあることはできず、この4点は共円ではありません。

原因は、無向の長さの積が等しいという計算結果に、点の順序まで含まれていると思い込んだことです。修正するときは「P が両方の線分の外か、両方の内か」を先に書きます。片方ずつなら、ここで紹介した逆は適用できません。2直線が同じ直線に重なる場合も、4点が一直線上に並ぶため、通常の円の共円を結論できません。

接線判定でも似た失敗があります。PT² = PA・PB を書いた後に「方べきの定理より PT は接線」とだけ述べると、順方向と逆方向の区別が残りません。P が円外、T が円周上、A と B が異なる交点であることを確かめ、実際の接線 PU と比較する証明に直します。T が円周上にない場合には半径 OT = OU と置けず、その証明は使えません。

練習：順序を書いてから計算する

次の5問で、長さはすべて cm 単位です。数値を求める場合は整数または既約分数で答え、証明問題は根拠と点の位置を示してください。

円外の P から接線 PT と割線 PAB を引き、P、A、B の順に並びます。PA = 9、AB = 16 のとき PT を求めてください。
円外の P から接線 PT と割線 PAB を引き、P、A、B の順に並びます。PT = 12、PA = 8 のとき AB を求めてください。
異なる2直線上にそれぞれ P、A、B と P、C、D がこの順にあります。PA = 2、AB = 10、PC = 3、CD = 5 のとき、4点 A、B、C、D が共円であることを示してください。
円周上に異なる3点 T、A、B があり、P、A、B の順に一直線上にあります。PA = 5、AB = 15、PT = 10 のとき、PT が円に接することを示してください。
異なる2直線が P で交わり、A、P、B および C、P、D の順に並びます。PA = 2、PB = 6、PC = 3、PD = 4 です。A、B、C、D が共円であることを示してください。

練習の答えと確かめ

PB = 9 + 16 = 25 です。接点と異なる2交点を持ち、P は円外なので接線の関係を使えます。

PT² = PA・PB
    = 9・25
    = 225
PT = 15

答えは 15 cm です。PB − PA = 25 − 9 = 16 で AB に戻り、15² = 9・25 も満たします。負の値は長さの答えから除きます。

接線の関係を PB について解きます。PA は正なので割ることができます。

PT² = PA・PB
12² = 8・PB
144 = 8・PB
PB = 18
AB = PB - PA
   = 18 - 8
   = 10

答えは 10 cm です。8 + 10 = 18 で P から B までの全体に戻り、8・18 = 144 = 12² です。AB に直接 144 を8で割った値を当てると、外側の8 cm を含めた全体を答えたことになります。

PB = 2 + 10 = 12、PD = 3 + 5 = 8 です。PA・PB = 2・12 = 24、PC・PD = 3・8 = 24 となります。P は両方の線分の外側にあり、2直線は異なるため、外部の配置の逆から4点は共円です。12 − 2 = 10、8 − 3 = 5 で元の AB、CD に戻ります。
PB = 5 + 15 = 20 なので、PA・PB = 5・20 = 100 です。一方 PT² = 10² = 100 です。P は円外、T は円周上にあるため、P から引いた接線の長さは 10 です。その接点 U と T を中心 O に結べば、3辺の等しい三角形 OPT と OPU の合同から OT と PT は垂直となり、PT は接線です。20 − 5 = 15 と 10² = 5・20 によって与えられた長さを確かめられます。
PA・PB = 2・6 = 12、PC・PD = 3・4 = 12 です。P は AB と CD の両方の内部で、2直線は異なるので、内部の配置の逆が使えます。よって4点は共円です。AB = 2 + 6 = 8、CD = 3 + 4 = 7 で、それぞれ P が内部にあり、与えられた4つの正の長さをそのまま分割長として再現します。

内部の場合の逆も円を補って確かめられます。A、B、C を通る円と直線 CP のもう1つの交点を D′ とします。P は弦 AB の内部なので円内にあり、D′ は P をはさんで C と反対側にあります。円内の2弦の関係から PA・PB = PC・PD′ です。仮定の積と比べて PD′ = PD となり、D′ と D は一致します。