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高校数学A 円内で交わる弦の方べき—交点を端点とする積を相似から導いて使う｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

交点から弦の両端までの積を相似で導き、全長を含む式と正の解の条件をたどる鍵は円内の方べきです。

よくあるのは、円の中で2本の弦が交わる図を見て、同じ弦の両端までの距離を足したものを積の一因子にする場面です。弦の全長は分割された2つの長さの和ですが、方べきの式に入るのは交点から端までのそれぞれの長さです。まず交点を指で押さえ、そこからどこまで測った数なのかを確かめましょう。式が合っていても、求めた値が線分の長さとして正かどうかまで調べる必要があります。

どんな量が隠れているか

円内で交わる2弦の問題には、主に3つの型があります。1つ目は、交点から4つの端点までの長さのうち3つが与えられ、残りを求める型です。同じ弦上で交点を挟む2つの長さを掛け、もう一方の弦の積と等しくします。

2つ目は、弦全体の長さと片側の長さが与えられる型です。全長から既知の部分を引いて、交点から反対側の端までの長さを作ります。全長をそのまま積に入れると、交点までの部分を二重に数えることになります。

3つ目は、複数の分割長に同じ文字が含まれる型です。積の関係から2次方程式を解いた後、各線分が正となる範囲に答えを戻します。負の解を消す理由は、計算上の好みではなく、交点が弦の内部にあるという図形の条件です。

交点から端点へ伸びる4本

円周上の異なる4点 A、B、C、D を結ぶ弦 AB と CD が、円の内部の点 P で交わるとします。P は各弦の両端の間にあるため、PA、PB、PC、PD はいずれも正です。図1のように、同じ直線上で P を挟む2本を組にすると、関係は次の形になります。

PA・PB = PC・PD

この関係を円内で交わる弦の方べきの定理といいます。左辺は弦 AB の2つの部分、右辺は弦 CD の2つの部分の積です。弦の全長 AB = PA + PB と、積 PA・PB は別の量です。図1の補助線 AC と DB を引き、なぜ積が等しいかを確かめます。

三角形 PAC と三角形 PDB に注目します。∠APC と ∠DPB は対頂角なので等しくなります。また、P は AB 上、CD 上にあるので、∠PAC は ∠BAC、∠PDB は ∠CDB と同じ角です。この2つは同じ弦 BC に対する円周角で等しくなります。したがって2組の角がそれぞれ等しいので、対応順をそろえて次の相似が得られます。

三角形 PAC ∽ 三角形 PDB
PA : PD = PC : PB
PA・PB = PC・PD

最後の行は、正の長さの比を交差に掛けて得ました。対応する辺は PA と PD、PC と PB です。積にまとめると、相似の対応とは見かけが変わり、同じ弦の部分どうしが並びます。相似の比の段階で同じ弦を対応辺と決めつけないようにします。

この説明では、2弦が異なり、4端点が異なることと P が円内にあることが必要です。P が円周上なら部分の長さに0が現れ、上の非退化な三角形による証明は使えません。円外からの割線や接線では、点の位置と使う長さの組を別に考えます。

基本例題：残りの部分を求める

円周上の異なる4点を端点とする弦 AB、CD が円内の P で交わり、PA = 4 cm、PB = 6 cm、PC = 3 cm です。PD を cm 単位の整数で求めます。

図2のように P から同じ弦の両端へ向かう長さを組にします。P は円内なので各部分は正であり、円内の方べきが使えます。

PA・PB = PC・PD
4・6 = 3・PD
24 = 3・PD
PD = 8

答えは 8 cm です。図2では AB 全体は 4 + 6 = 10 cm ですが、10 と 4 を掛けるのではありません。答えを戻すと、弦 AB の部分の積は 4・6 = 24、弦 CD の部分の積は 3・8 = 24 です。どちらも正で、交点が2本の弦の内部にある条件と矛盾しません。

標準例題：全長から片側を取り出す

円内で交わる弦 EF、GH の交点を Q とします。EF = 15 cm、EQ = 5 cm、GQ = 4 cm のとき、QH を cm 単位の既約分数で求めます。4端点は異なるものとします。

Q は EF の内部にあるので、EQ と QF の和が EF です。まず与えられた全長を分割長に直します。

QF = EF - EQ
QF = 15 - 5
QF = 10
EQ・QF = GQ・QH
5・10 = 4・QH
50 = 4・QH
QH = 25/2

答えは 25/2 cm です。全長から引いた 10 は正で、Q が EF の内部にある条件に合います。元に戻すと 5 + 10 = 15 であり、積も 5・10 = 50、4・(25/2) = 50 です。和と積の両方を照合することで、全長の読み違いも調べられます。

仮に EQ が 15 cm 以上なら、QF が0以下になり、指定された内部の交点は存在しません。式を形式的に計算しても、その値を線分の長さとして採用できないことを先に判断します。

発展例題：文字の範囲を先に置く

円内で交わる弦 JK、LM の交点を R とします。JR = x cm、RK = (x + 3) cm、LR = 4 cm、RM = 10 cm です。x を cm 単位の整数で求めます。4端点は異なります。

R は JK の内部にあるので、JR > 0、RK > 0 です。特に x > 0 が必要です。円内の方べきを使い、積を展開して方程式を解きます。

JR・RK = LR・RM
x(x + 3) = 4・10
x² + 3x = 40
x² + 3x - 40 = 0
(x + 8)(x - 5) = 0
x = -8 または x = 5

x = -8 は JR が負になるので不適です。x = 5 は x > 0 を満たし、RK も 8 cm です。よって答えは 5 cm です。元の条件へ戻すと JR・RK = 5・8 = 40、LR・RM = 4・10 = 40 となります。2次方程式の解が2つ出ても、図形の答えが2つとは限りません。

条件が異なる場合も考えましょう。例えば同じ図で JR = x、RK = 3 − x、LR = 4、RM = 10 とすると、正の長さには 0 < x < 3 が必要です。一方、積の式は x(3 − x) = 40 です。左辺は平方を使うと 9/4 − (x − 3/2)² であり、9/4 以下なので40にはなりません。この条件を満たす図は存在しません。計算が途中で止まったのではなく、与えられた長さが両立しないと結論します。

積が同じでも位置は一通りとは限らない

弦の全長と、もう一方の弦の分割長が与えられた場合には、交点の位置が2通りになることがあります。例えば弦の長さが 13 cm、もう一方の2部分が 3 cm と 10 cm なら、前者の一方の部分を t cm として、もう一方は 13 − t cm です。交点が内部にあるため 0 < t < 13 も必要です。積を等しくして解きます。

t(13 - t) = 3・10
t² - 13t + 30 = 0
(t - 3)(t - 10) = 0
t = 3 または t = 10

両方とも範囲に入ります。一方の端からの長さを尋ねているとき、3 cm と 10 cm は異なる位置です。それぞれ反対側の部分は 10 cm と 3 cm で、和は13、積は30に戻ります。片側を小さい方と指定されていないのに、一方を捨ててはいけません。

一方、全長が一定の弦では、2つの部分の積には上限があります。全長を a、片側を t とすると、もう片側は a − t です。平方を用いれば次の式が得られます。

t(a - t) = a²/4 - (t - a/2)²

平方は0以上なので、積は a²/4 以下です。等号は t = a/2、つまり交点がその弦の中点にあるときに成り立ちます。別の弦から求めた積がこの上限を超えるなら、実数の分割長が存在せず、図の条件は両立しません。上限以下でも、交点が内部か、与えられた他の条件に合うかを別に見ます。

2次方程式で重解になったときは、2つの分割長が等しい位置です。積が上限より小さく正なら、全長の両端を区別した片側の長さには、入れ替えに対応する2つの候補があります。この2候補は和も積も同じですが、端点からの距離としては区別されます。図に候補をそれぞれ記してから、何を答える問題かによって、線分の長さとして2つを挙げるのか、短い部分だけを選ぶのかが決まります。

また、積の等式は与えられた円から導かれる必要条件です。問題文が円の存在を与えている場合は、この等式を使って未知数を絞れます。積が一致しない場合には円内の2弦として成立しないと判定できますが、一致した事実だけで、問題文にない位置条件まで確かめたことにはなりません。端点が異なり、交点がそれぞれの線分の内部にあるという条件も図と照らします。

足し算を積に混ぜた誤答を直す

図3のように、弦 AB の両側が 4 cm と 6 cm、もう一方の片側が 3 cm のとき、「(4 + 6)・4 = 3・PD」と置いたとします。左辺の10は弦 AB 全体であり、4はその一部分です。2つの因子が交点を挟んだ別々の部分になっていないため、この式は円内の方べきからは出ません。

図3の左側は全長を使った誤り、右側は交点からの2部分を掛けた式です。正しくは 4・6 = 3・PD なので、PD = 8 cm です。誤った式から得た 40/3 cm を戻すと、3・(40/3) = 40 ですが、反対側の積は 4・6 = 24 です。図の条件に合わないことが積の照合で見つかります。

別の誤りは、4・3 = 6・PD のように異なる弦の部分を一組にすることです。数だけを追わず、文字で PA・PB = PC・PD と先に書き、各因子の両端を図でなぞります。相似の辺の対応と、積の各組は並び方が違うため、どの段階の式かを区別すると修正できます。

自分で試す5問

いずれも4端点は異なり、2本の弦は円の内部で交わります。長さは cm で、指定がなければ答えは既約分数または整数で表します。

弦 AB、CD の交点を P とし、PA = 2、PB = 9、PC = 6 とします。PD を求めます。
弦 EF、GH の交点を Q とし、EF = 14、EQ = 8、GQ = 5 とします。QH を求めます。
弦 JK、LM の交点を R とし、JR = x、RK = x + 1、LR = 3、RM = 4 とします。x を整数で求めます。
弦 ST、UV の交点を W とし、ST = 10、SW = 6、UW = 3、WV = 9 とします。この条件を満たす図が存在するか答えます。
弦 AB、CD の交点を P とし、PA = x、PB = 8 − x、PC = 2、PD = 6 とします。x の取り得る値をすべて整数で求めます。

5問の答えと道筋

同じ弦の部分を組にして 2・9 = 6・PD です。18 = 6・PD から PD = 3 cm です。戻すと 2・9 = 18、6・3 = 18 で、各部分は正です。
QF = 14 − 8 = 6 cm です。8・6 = 5・QH から、QH = 48/5 cm です。8 + 6 = 14 で全長に戻り、5・(48/5) = 48 = 8・6 と積も一致します。
x(x + 1) = 3・4 より、x² + x − 12 = 0 です。(x + 4)(x − 3) = 0 から x = -4 または 3 です。x は正なので 3 cm を採用します。JR = 3、RK = 4 とすると積は 12 で、反対側の 3・4 と一致します。
WT = 10 − 6 = 4 cm です。SW・WT = 6・4 = 24 に対し、UW・WV = 3・9 = 27 です。必要な積の等式が成り立たないため、条件を満たす図は存在しません。各長さが正で全長の引き算ができても、2弦の積の一致を別に確かめる必要があります。
x(8 − x) = 2・6 なので、x² − 8x + 12 = 0 です。(x − 2)(x − 6) = 0 より x = 2、6 です。どちらも 0 < x < 8 を満たします。x = 2 では2部分が 2 と 6、x = 6 では6と2で、いずれも和は8、積は12です。求める端点が固定されているため、両方を答えに残します。

手元に残す要点

円内の交点から同じ弦の両端までの長さを掛けます。
2本の弦について、その積が等しくなります。
全長が与えられたら、引き算で分割長に直します。
文字の解は各部分が正になる範囲で選びます。
答えを和と積に戻し、元の条件を照合します。

式が立たないときは、交点を端とする4本を別々に指し、同一直線上の2本を一組として言えるか試します。式は立つのに答えが合わないときは、全長から引いた値と正の条件を点検します。個別指導で確かめるなら、相似な2三角形の頂点の対応と、負の解を除く理由を図を指して説明してもらいます。交点を起点に線分を読み直すと、積の意味が見えてきます。