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高校数学A 空間図形の切断と距離—同じ平面を取り出して断面と垂線の長さを求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

柱体や錐体の切り口を各面との交線からたどり、垂線を含む三角形を取り出して点と平面の距離を計算します。

よくあるのは、高1が立体の見取図に引かれた斜めの線を、そのまま高さとして使う場面です。紙の上で傾いて見えることも、直角に見えることも、空間での角度の根拠にはなりません。どの面とどの面が交わるかを追い、必要な線を同じ平面に集めると、断面の形と距離を平面図形として調べられます。

切り口と垂線を問う形

柱体の問題では、指定された点を通る平面が各面をどの線分で横切るかを求めます。1つの面に切断平面上の2点があれば、その2点を結ぶ直線がその面との交線です。線分が面の境界に届いたら、隣の面へ移って続きを追います。平行な面では交線も平行になることが、次の辺との交点を探す手がかりです。

錐体では、頂点から各辺を同じ割合で切る平面に注目します。側面の三角形の相似を使うと、断面の辺が底面の対応する辺に平行だと示せます。割合が異なる場合に同じ結論を使うことはできません。まず点の位置を確かめます。

距離の問題では、点から平面に下ろした垂線の長さを求めます。斜めの線分も平面に届きますが、垂直でなければ距離ではありません。平面内の交わる2直線に垂直であることを示してから、その線分の長さを計算します。

面の交わりを線にする

図1のように、立方体 ABCD-EFGH は上面の E、F、G、H がそれぞれ下面の A、B、C、D の真上にあります。辺 AE、BF、CG、DH は底面に垂直です。辺 AE と BF の中点をそれぞれ P、Q とします。P、Q を通り底面に平行な平面は、辺 CG、DH の中点 R、S も通ります。

図1の切り口 PQRS は、各側面との交線 PQ、QR、RS、SP で囲まれます。たとえば面 ABFE では、三角形 EAB を直接使うのではなく、長方形の向かい合う辺 AE、BF の中点を結びます。PQ は AB に平行で、長さも AB と等しい線分です。同じ理由で QR は BC に平行です。

一般に異なる平行な2平面を、別の平面がそれぞれ直線で切ると、その交線は平行です。2直線が交わると、交点は平行な2平面の両方に属してしまいます。また2直線は切断する平面内にあるので、交わらなければ平行です。2平面が一致する場合や交線が定まらない場合には、この説明をそのまま使えません。

点 X から平面 α までの距離は、X から α に下ろした垂線の足を H とすると XH です。α 上の別の点 T を選ぶと、XH は α 内の HT に垂直です。直角三角形 XHT で XT² = XH² + HT² となるため、T が H と異なれば XT は XH より長くなります。したがって垂線の長さが最短です。X が α 上にある場合は距離を 0 とします。

基本例題：柱を斜めに切る

1辺が 6 の立方体 ABCD-EFGH で、E、F、G、H は順に A、B、C、D の真上にあります。AE の中点を P、BF の中点を Q とします。P、Q、C を通る平面の断面の形と面積を求めてください。面積は根号を用いて答えます。

図2のように、面 ABFE との交線は PQ です。PQ は AB に平行で、その長さは 6 です。面 ABCD は面 EFGH に平行ですが、ここで使うのは面 ABFE と面 DCGH の平行です。切断平面と後者の交線は PQ に平行で、C を通ります。したがってその交線は CD で、断面は PQCD です。

図2で QC は面 BCGF 内にあり、PQ は AB に平行です。AB は BC と BF の両方に垂直なので面 BCGF に垂直です。よって PQ は QC に垂直です。PQ と CD、QC と PD がそれぞれ平行なので、断面 PQCD は長方形です。見取図の角の見た目ではなく、面への垂直から直角を示しました。

BQ = 6/2 = 3 です。直角三角形 BQC に三平方の定理を使うと、

QC² = BQ² + BC²
QC² = 3² + 6²
QC² = 45
QC = 3√5

長さは正なので正の平方根を選びます。求める面積は次のとおりです。

PQ・QC = 6・3√5
= 18√5

条件から得られる正確な答えは 18√5 です。断面の辺が立方体の辺と一致する CD と、斜めの QC の2種類に分かれることも確認できます。

標準例題：錐体の断面の相似

底面が1辺 8 の正方形 ABCD である四角錐 P-ABCD を考えます。辺 PA、PB、PC、PD 上にそれぞれ X、Y、Z、W を取り、PX : PA = PY : PB = PZ : PC = PW : PD = 3 : 4 とします。断面 XYZW の面積を整数で求めてください。

三角形 PAB で、X、Y はそれぞれ辺 PA、PB の内部にあり、PX/PA = PY/PB です。平行線と線分比の逆から XY は AB に平行です。同じ議論で YZ は BC、ZW は CD、WX は DA にそれぞれ平行です。XY と YZ は交わり、底面の AB と BC も交わるため、平面 XYZW は底面に平行です。4点が同じ平面にあることも、X を通り底面に平行な平面と各側辺との交点を相似で取れば確認できます。

相似な三角形 PXY と PAB の対応する辺から、

XY/AB = PX/PA
XY/8 = 3/4
XY = 6

同様に YZ = 6 です。XY は AB、YZ は BC にそれぞれ平行で、AB と BC は垂直ですから、XY と YZ も垂直です。断面は1辺 6 の正方形で、面積は 6・6 = 36 です。

逆に、底面に平行な切断面が辺 PA を 3 : 1 に分ければ、側面の相似により他の側辺も頂点側から 3 : 1 に分けます。今回の 6/8 = 3/4 は与えられた割合に戻ります。底面と平行という条件を外すと、4辺の分割比や断面の形は一般には変わります。

発展例題：点から斜めの平面まで

直方体 ABCD-EFGH の辺 AB = 6、BC = 8、AE = 12 とし、E、F、G、H は A、B、C、D の真上にあります。平面 EBC までの点 A の距離を、根号を用いて求めてください。

まず面 ABFE を取り出します。EB 上に A から垂線を下ろし、その足を T とします。AE は底面に垂直なので BC に垂直であり、AB も長方形 ABCD の辺として BC に垂直です。交わる2直線 AE、AB に BC が垂直なので、BC は面 ABFE に垂直です。したがって BC は、その面内の AT に垂直です。

AT は EB にも垂直です。EB と BC は平面 EBC 内で B で交わるので、AT は平面 EBC に垂直です。足 T は EB 上、したがって平面 EBC 上にあります。よって求める距離は AT です。垂線が面に垂直だと示す順序が、計算の前に必要です。

直角三角形 ABE で、

EB² = AB² + AE²
EB² = 6² + 12²
EB² = 180
EB = 6√5

同じ三角形の面積を、直角をはさむ2辺と、底辺 EB と高さ AT の2通りで表します。

AB・AE/2 = EB・AT/2
6・12 = 6√5・AT
AT = 12/√5
AT = 12√5/5

足が線分 EB の内部にあることも確認します。直角三角形 ABT は直角三角形 EBA と相似なので、BT/BA = BA/BE です。従って BT = 6/√5 で、0 < BT < BE です。さらに EB・AT = 72 = AB・AE となり、元の三角形の面積に戻ります。辺 BC の長さ 8 は平面の広がる向きを定めますが、この垂線の長さには現れません。

断面の位置が辺の端に近づく場合も区別が必要です。例えば錐体で頂点からの割合を 0 にすると、4点は頂点に重なり、面積のある四角形の断面ではなくなります。割合が 1 なら断面は底面そのものです。0 と 1 の間では各点が側辺の内部にあり、側面上の相似を使って面積のある断面を扱えます。端点を含む条件に変わったときは、同じ図をそのまま使わず、重なる点や辺を確かめます。

見取図から高さを決めたとき

図3のように、直方体の点 A から平面 EBC への距離を AE = 12 と答えたとします。AE は面 ABCD に垂直ですが、求める先は平面 EBC です。AE は平面 EBC 内の EB に垂直ではありません。平面が違えば、その平面に下ろす垂線も変わります。

図3では面 ABFE 内の AT を引き直します。AT が EB と BC の両方に垂直であることを示すと、AT が求める垂線だと確定します。線が短く見えるかどうかではなく、垂線の足が目的の平面にあり、その面内の交わる2直線に垂直かどうかを調べます。

断面でも同様の間違いがあります。各面に点を打っただけで、隣り合わない点を結ぶと、線分が立体の内部を通り、断面の辺にならないことがあります。1本ごとに共通の面を言い、その面の境界まで延ばして次の面へ渡してください。切断平面が頂点や辺を通る場合は、同じ点や辺を重ねて数えないようにします。

自分で試す5問

各問題で、辺の長さと距離の単位は同じものとし、面積はその平方の単位で考えます。根号が必要な場合は根号を用いて答えてください。

1辺 10 の立方体 ABCD-EFGH で、E、F、G、H は順に A、B、C、D の真上にあります。AE、BF、CG、DH の中点を通る断面の面積を整数で求めてください。
底面が1辺 9 の正方形の四角錐で、頂点から各側辺の 2/3 の位置を通る断面の面積を整数で求めてください。
直方体 ABCD-EFGH で AB = 3、BC = 7、AE = 4 です。点 A から平面 EBC までの距離を既約分数で求めてください。
1辺 4 の立方体 ABCD-EFGH で、AE、BF の中点を P、Q とします。P、Q、C を通る断面の面積を根号を用いて求めてください。
四角錐 P-ABCD の底面は縦 6、横 10 の長方形です。側辺 PA、PB、PC、PD 上に頂点から同じ割合で点を取り、底面に平行な断面の面積を 15 とします。その割合を既約分数で求めてください。

5問の答えと道筋

中点を結ぶ平面は底面に平行で、断面は底面と合同な正方形です。1辺は 10 なので面積は 10・10 = 100 です。側辺をどれも 5 と 5 に分け、指定された4点を通ります。
側面ごとの相似から、断面は底面に平行な正方形です。1辺は 9・2/3 = 6、面積は 6・6 = 36 です。6/9 = 2/3 と戻して、頂点からの割合に一致します。
面 ABFE 内で A から EB に下ろした垂線の足を T とします。BC は AB と AE に垂直なので面 ABFE に垂直で、AT は BC と EB の両方に垂直です。よって AT が求める距離です。EB = √(3² + 4²) = 5、面積を2通りに表すと 5・AT = 3・4 ですから AT = 12/5 です。5・12/5 = 12 は元の2辺の積に戻ります。
基本例題と同じように断面は長方形 PQCD です。BQ = 2、BC = 4 なので QC = √(2² + 4²) = 2√5 です。PQ = 4 より面積は 4・2√5 = 8√5 です。QC² = 20 = 2² + 4² と元の直角三角形で確かめられます。
頂点からの割合を t とすると 0 < t < 1 です。相似から断面の2辺は 6t、10t なので、60t² = 15、t² = 1/4 です。t は正なので t = 1/2 です。断面の辺は 3 と 5 で、面積は 3・5 = 15 と条件に戻ります。負の解は辺上の位置を表さないため除きます。