高校数学A 2つの円の位置関係—中心間距離と半径の和と差で場合を分ける｜武蔵野個別指導塾

半径の差を正しく捉え、接する境界や同心の場合から読み解く2つの円の位置関係です。

よくあるのは、高1が2つの半径を小さい順に引き、その負の差を中心間距離と比べてしまう場面です。距離は負にならないので、そのままでは内側に入り込む境界を見失います。半径の大きい方から小さい方を引き、円周どうしが何点を共有するかを確かめましょう。

円の位置は見た目が少し変わるだけで、共有点の数が2から1、さらに0へと変わります。図を描くときは中心と半径を先に決め、接する境界を等号で残すことが出発点です。

距離を問う問題の3つの形

1つ目は、2つの半径と中心間距離から位置関係を答える問題です。半径の和と、大きい半径から小さい半径を引いた差を出し、距離をその2つと比べます。円の内部が重なっているかではなく、円周の共有点に注目します。

2つ目は、半径や距離に文字があり、交わるための範囲を求める問題です。境界である外接と内接を含むかどうかを、問題の言葉から判断します。半径が正であるという条件も最後まで残します。

3つ目は、接するという条件から未知の長さを逆算する問題です。外接と内接では中心の並び方が違います。両方の可能性を調べ、得られた長さを元の図形の条件に戻して判定します。

和と差が境界になる理由

2つの円の中心を O、P、半径をそれぞれ R、r とし、R ≧ r > 0、中心間距離を d とします。R と r の大小が最初から決まっていなければ、まず大きい方を R と置き直します。差 R − r は0以上です。等しい半径なら差は0ですが、半径そのものは正です。

図1のように中心が異なるとき、円周上の共有点を X とすると、三角形 OPX の3辺は d、R、r です。X が直線 OP 上にない場合、三角形の成立条件から R − r < d < R + r です。逆にこの不等式が成り立てば、長さ d、R、r を辺とする三角形を直線 OP の両側に1つずつ作れるので、共有点は2つあります。

図1のように2つの境界に等しいときは三角形がつぶれ、共有点は中心を結ぶ直線上にあります。d = R + r なら2つの中心の間で外接し、d = R − r > 0 なら小さい円が大きい円の内側から内接します。接する点はそれぞれ1つです。

中心が異なる場合の分類を並べます。ここで「内包」は一方の円が他方の内部にあり、円周どうしが共有点を持たない状態です。

共有点が直線 OP 上にないなら三角形の成立条件が必要です。また、直線上にあれば2つの半径の和か差が d に等しくなります。したがって表の等号の外側では共有点がありません。d が和より大きい場合は互いに外に離れ、差より小さい場合は小さい円が内側に収まります。

中心が同じ d = 0 の場合は別に見ます。R > r なら同心の異なる円で、円周の共有点は0点、位置関係は内包です。R = r なら円は一致し、円周上の点をすべて共有します。差が0だからといって、d = 0 を内接と呼んではいけません。内接の1つの接点を定める中心線がなく、実際には円周全体が重なります。

基本例題：数を並べて位置を決める

半径が7 cmと3 cmの2つの円について、中心間距離が 4 cm、6 cm、10 cm、12 cm の場合をそれぞれ分類し、円周の共有点の個数を答えてください。

図2のように大きい半径を7 cm、小さい半径を3 cmとし、差と和を先に計算します。

図2のように、内接では中心間距離が半径の差、外接では半径の和に等しくなります。計算は次の通りです。

7 - 3 = 4
7 + 3 = 10

距離が4 cmなら差に等しく、2つの中心は異なるので内接し、共有点は1点です。距離が6 cmなら 4 < 6 < 10 なので2点で交わります。距離が10 cmなら和に等しく外接し、共有点は1点です。距離が12 cmなら 12 > 10 なので離れ、共有点は0点です。

元の条件にも戻します。内接では接点までの長さが中心間の4 cmと小さい半径3 cmを合わせて7 cmになり、外接では中心間が7 cmと3 cmの和になります。6 cmの場合は3辺 3、6、7 が三角形を作り、12 cmの場合は7 cmと3 cmを足しても中心間に届きません。各答えは指定された長さに合っています。

距離が差と和の間にあるかを調べる際、片方の不等式だけを見てはいけません。例えば6は差より大きいだけでなく、和より小さいことも必要です。また、接する場合は2点で交わる範囲の端なので、不等号を勝手に等号付きにしないようにします。

標準例題：動く半径の範囲

半径5 cmの円と、半径 x cm の円の中心間距離は8 cmです。2つの円が2点で交わるとき、x の範囲を不等式で答えてください。

x は半径なので x > 0 です。2点で交わる条件は、大きい半径と小さい半径の差より中心間距離が大きく、和より小さいことです。大小をまだ決められないため、差の条件を2つに分けて扱います。

和の条件から、次を得ます。

8 < 5 + x
3 < x

差の条件は、x ≦ 5 のとき 5 − x < 8 です。x > 0 なら 5 − x < 5 < 8 なので、この場合は常に満たします。x ≧ 5 のときは x − 5 < 8 なので、x < 13 です。x = 5 はどちらで調べても問題ありません。これらを和の条件と合わせると、求める範囲は次の通りです。

3 < x < 13

確かめとして、範囲内の x = 6 cm では差が1 cm、和が11 cmです。1 < 8 < 11 なので確かに2点で交わります。端の x = 3 cm では 5 + 3 = 8 で外接し、x = 13 cm では 13 − 5 = 8 で内接します。どちらも共有点は1点なので端を含めない答えが元の条件に合います。

x = 2 cm なら和が7 cmで中心間距離に届かず、x = 14 cm なら差が9 cmで中心間距離を上回ります。境界の外側では、前者は離れ、後者は内包です。2つの失敗の仕方を分けると、不等式の両端がなぜ必要かわかります。

発展例題：接する条件から半径を探す

半径9 cmの円と半径 x cm の円の中心間距離は4 cmです。2つの円が接するとき、x の値をすべて求め、各場合の接し方を答えてください。

まず x > 0 です。接し方は外接と内接に分けます。外接なら中心間距離は半径の和ですから、次の式です。

9 + x = 4
x = -5

これは正の半径に反するので不適です。外接は、半径9 cmの円だけでも中心間距離より大きいことからも不可能です。

内接なら中心間距離は大きい半径から小さい半径を引いた値です。どちらが大きいかで分けます。x ≦ 9 なら次のようになります。

9 - x = 4
x = 5

5 > 0 かつ 5 ≦ 9 なので条件に合います。一方、x ≧ 9 なら次のようになります。

x - 9 = 4
x = 13

13 ≧ 9 なので、こちらも条件に合います。したがって x = 5 cm、13 cm で、どちらも内接です。

元の配置に戻すと、x = 5 cm では 4 + 5 = 9 です。x = 13 cm では 4 + 9 = 13 です。いずれも小さい円の中心から接点までの半径と中心間距離を合わせると大きい円の半径になり、1点で内側から接します。x = 9 cm では差が0で距離4 cmと一致しないので、大小の境目に解はありません。

この問題で差を 9 − x と固定すると、x = 13 を失います。文字を含む半径が既知の半径を超える場合もあるため、式を立てる前に大小が確定しているかを確認します。反対に、方程式の解が出ても負の半径は採用できません。場合分けと解の吟味は、それぞれ異なる間違いを防ぎます。

図から直す：負の差では境界を表せない

半径が3 cmと8 cm、中心間距離が4 cmの2つの円を考えます。誤答として「3 − 8 = -5、-5 < 4 < 11 だから2点で交わる」とすると、差の取り方が原因です。負の値は2つの半径の長さの差を境界として表していません。

図3のように半径8 cmの円を外側に置いて、半径の差を 8 − 3 = 5 cm と取り直します。中心間距離は 4 < 5 なので、小さい円は大きい円の内部にあり、円周の共有点は0点です。

図3のように小さい円の中心から大きい円の中心を遠ざかる向きへ半径3 cm進んでも、大きい中心からの距離は 4 + 3 = 7 cm です。大きい半径8 cmに届きません。したがって小さい円周は大きい円の内部に収まります。4 cmを5 cmに変えれば内接し、境界に等号が必要な理由も見えます。

別の誤りは、共有点が0点なら常に離れていると答えることです。中心間距離が和より大きい場合と、差より小さい場合では配置が異なります。共有点の個数を数えた後も、中心と半径の大小を使って名前まで判定します。

練習：境界とその前後を見分ける

次の5問に取り組んでから、まとめて下の解答を確かめてください。長さの単位は cm です。

1. 半径6と2の円の中心間距離が4、7、9のとき、それぞれの位置関係と円周の共有点の個数を答えてください。
2. 半径10と4の円の中心間距離が0のとき、位置関係と円周の共有点の個数を答えてください。また、半径がともに10で中心間距離が0ならどうなるか答えてください。
3. 半径4と7の円について、中心間距離 d が2点で交わるための範囲を不等式で答えてください。端の値での位置関係も答えてください。
4. 半径6の円と半径 x の円の中心間距離が9です。2点で交わるための x の範囲を不等式で答えてください。
5. 半径5の円と半径 x の円の中心間距離が12です。2つの円が接するような正の x をすべて求め、それぞれの接し方を答えてください。

解答と解き方

1. 差は 6 − 2 = 4、和は 6 + 2 = 8 です。距離4では内接し1点、4 < 7 < 8 なので距離7では2点で交わり2点、9 > 8 なので距離9では離れて0点です。内接では 4 + 2 = 6、距離7では3辺2、6、7が三角形を作り、距離9では半径の和8が中心間に届きません。

2. 中心は同じで半径が異なるので同心の内包、共有点は0点です。中心と半径がともに同じなら円は一致し、円周上のすべての点を共有します。前者では同じ中心からの距離が10と4の両方に等しい点はなく、後者では距離10の点の集まりが同じです。

3. 差は 7 − 4 = 3、和は 7 + 4 = 11 です。答えは 3 < d < 11 です。d = 3 では内接し、d = 11 では外接します。例えば d = 5 は3辺4、5、7の三角形を作り、2つの共有点を持ちます。両端ではそれぞれ 3 + 4 = 7、7 + 4 = 11 となり、共有点は1点です。

4. x > 0 であり、和の条件 9 < 6 + x から x > 3 です。x ≦ 6 なら差 6 − x は9未満です。x ≧ 6 なら x − 6 < 9 から x < 15 です。よって答えは 3 < x < 15 です。x = 3 では和が9、x = 15 では差が9で、どちらも接するため端を含めません。範囲内の x = 8 では 2 < 9 < 14 となります。

5. 外接なら 5 + x = 12 より x = 7 です。内接なら半径の差が12です。x ≦ 5 では 5 − x = 12 から x = -7 となり正の半径に反します。x ≧ 5 では x − 5 = 12 より x = 17 です。したがって x = 7 のとき外接、x = 17 のとき内接です。元の条件に戻すと 5 + 7 = 12、17 − 5 = 12 で、いずれも中心間距離と一致します。

手元に残す要点

• 大きい半径を R、小さい半径を r として差 R − r と和 R + r を比べます。
• 中心が異なり、差と和の間なら2点で交わり、等しければ接します。
• 差より小さければ内包、和より大きければ離れます。
• 同心なら、半径が異なると内包、等しいと一致です。
• 文字を含む半径は正の条件と大小を確認し、答えを元の長さに戻します。

考えの分かれ目を言葉にする

答えが合わないときは、まず円周の共有点を数えているか、円の内部の重なりを見ているかを区別します。次に、引き算で大きい半径を先に置けたか、等号を接する境界として残したかをたどります。式が合っていても、一致する円を1点で接するとした場合は同心の図に戻ります。

個別指導で確かめるなら、2つの半径を入れ替えても差が同じ長さになる理由を、図の中心と接点を指しながら説明してもらいます。文字の問題では大小が未定の段階と決定後を分け、候補の半径を元の和や差に戻して条件に合うかを尋ねます。境界を言葉と式の両方で示せれば、2つの円の位置関係を自分で判定できます。