高校数学I 二次関数の零点から係数決定—積の形と通る点から放物線の式を復元する｜武蔵野個別指導塾

通る点から積の係数を求め、重解や条件が矛盾する場合も扱う、零点からの係数決定です。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、横軸との交点を2つ見つけたところで式が1つに決まったと思う場面です。交点の位置が同じでも、放物線には細いものと広いものがあります。上に開くものも下に開くものもあります。零点から先に決まる部分と、別の点が必要な部分を分けると、式を復元する道筋が見えてきます。

零点から何が決まり、何が残るか

ここでの零点とは、関数の値が0となる実数の値です。グラフでは横軸との共有点のx座標にあたります。求めるのは二次関数ですから、二次の項の係数は0ではありません。定義域は特に断らなければ実数全体とします。

問いの型は大きく3つあります。異なる2つの零点と横軸上にない1点から式を求める型、横軸に接する点と別の1点から式を求める型、与えられた点が横軸上にあって条件が不足または矛盾する型です。どの型でも、先に積の形を書き、残った係数を点の座標で決めます。最後に係数が0でないことと、与えられた条件へ戻ることを確認します。

必要な道具は、積が0なら少なくとも一方が0であること、展開、一次方程式です。二次方程式の解について別の公式を覚えて代入する必要はありません。2つの零点を直接、因数に読み替えるのがこの方法の中心です。

積の形を使える理由

異なる実数 r、s が零点の二次関数を考えます。まず一般形を f(x) = ax² + bx + c と置き、a ≠ 0 とします。f(r) = 0 なので、引き算して整理すると次のようになります。

f(x) - f(r) = a(x² - r²) + b(x - r)
f(x) = (x - r){a(x + r) + b}

さらに s ≠ r と f(s) = 0 から、a(s + r) + b = 0 です。したがって b = -a(s + r) を上の括弧へ戻すと、f(x) = a(x − r)(x − s) となります。逆に、この形で a ≠ 0 なら、積が0になるのは x = r または x = s です。よって、零点がその2つであることと、この形で表せることは対応しています。

図1のように、同じ2点を通る放物線でも係数を変えると開き方が変わります。例えば零点が -1 と 3 なら、y = (x + 1)(x − 3) も y = 2(x + 1)(x − 3) もその条件を満たします。両者は x = 0 でそれぞれ -3、-6 です。零点に加え、横軸上にない点が1つあれば、残る倍率を区別できます。

図1では横方向と縦方向の縮尺は異なります。零点の位置は共通でも、縦方向の値は同じとは限りません。a の符号は開く向き、その絶対値は同じ x における縦の伸びを決めます。

零点が r の重解である場合は、f(x) = a(x − r)²、a ≠ 0 と表せます。これは平方完成した形で頂点が (r, 0) にあることに対応します。横軸に接する点のx座標が r という条件も同じ形につながります。異なる2つの零点を持つ場合とは、横軸との共有点の個数が違うことに注意します。

基本例題：横軸上にない点で倍率を決める

零点が -2 と 4 で、点 (1, -9) を通る二次関数を求め、積の形と展開した形で答えてください。

零点が異なるので、求める関数を y = a(x + 2)(x − 4) と置きます。ただし a ≠ 0 です。点 (1, -9) の x と y を同時に代入して、残る係数を求めます。

-9 = a(1 + 2)(1 - 4)
-9 = a・3・(-3)
-9 = -9a
a = 1

よって積の形は y = (x + 2)(x − 4) です。分配法則で展開します。

y = x² - 4x + 2x - 8
y = x² - 2x - 8

図2のように、横軸上の2点に加えて (1, -9) を通ります。図の縦横の縮尺は異なります。軸は零点の中点 x = 1 であり、この点は頂点でもあります。実際、積の形を平方の形に直すと y = (x − 1)² − 9 です。

図2に対応する式に x = -2、4 を入れると、それぞれ一方の因数が0になるので値は0です。x = 1 では 3・(-3) = -9 となります。求めた a は1で0ではないため、二次関数という条件も満たします。3つの条件に戻したところで答えが確定します。

この例では代入後の -9a が0でない数に等しいので、a が一意に決まりました。もし指定点のx座標が零点と一致すれば、係数を求める式は 0 = 0 または 0 = 0でない数 となります。この違いを次の例で扱います。

標準例題：重解を持つ式に戻す

二次関数のグラフが点 (3, 0) で横軸に接し、点 (1, 8) を通ります。関数を積の形と展開した形で求めてください。

接点が (3, 0) なので、x = 3 は重解です。したがって y = a(x − 3)² と置けます。a ≠ 0 を忘れずに、もう1点を代入します。

8 = a(1 - 3)²
8 = 4a
a = 2

よって y = 2(x − 3)² です。展開すると次のようになります。

y = 2(x² - 6x + 9)
y = 2x² - 12x + 18

検算では x = 3 のとき y = 0、x = 1 のとき y = 2・4 = 8 です。また a = 2 ≠ 0 で、平方の項は0以上なので、値が0になるのは x = 3 のときです。指定点を通ることに加えて、横軸に接する条件も満たします。

標準例題と基本例題の違いは、零点が異なる2個か、同じ値の重解かです。発展ではさらに、点の条件を代入した式が係数の値を決める方程式になるとは限らない点を調べます。

発展例題：点の条件が係数を決めないとき

零点が -3 と 2 である二次関数について、点 (2, t) を通るものを考えます。実数 t の値によって、条件を満たす関数が存在するか、存在する場合に何通りあるかを答えてください。存在する場合は式を文字を使って表してください。

零点が異なるため、式は y = a(x + 3)(x − 2)、a ≠ 0 と置けます。指定点を代入すると、

t = a(2 + 3)(2 - 2)
t = 0

となります。t ≠ 0 なら、x = 2 で値が0であることと指定点の高さが両立せず、条件を満たす関数はありません。t = 0 なら、指定点はもともと零点の条件に含まれます。この式は a の値を限定しません。したがって a を0でない任意の実数として y = a(x + 3)(x − 2) と表され、関数は無数にあります。

逆の確認も必要です。t = 0 のとき、どの a ≠ 0 を選んでも x = -3、2 で値は0です。積が0となる x はこの2つなので、余分な零点もありません。t ≠ 0 では x = 2 における値が0でなければならないため、別の式を探しても矛盾は解消しません。

一般に、異なる零点 r、s と点 (p, q) が与えられたとき、q = a(p − r)(p − s) です。p がどちらの零点とも異なるなら括弧の積は0でなく、a は一意に求まります。ただし q = 0 なら a = 0 となり、二次関数としては不適です。p が零点のどちらかなら、q = 0 で条件不足、q ≠ 0 で矛盾です。この分類は、割る数が0かどうかを調べることで漏れなく得られます。

係数が決まる条件を式で点検する

零点 r、s が異なり、指定点の横座標 p がどちらとも異なるとします。このとき (p − r)(p − s) は0ではありません。指定点の高さを q とすると、代入した等式の両辺をその積で割れるため、a = q/((p − r)(p − s)) です。この商が0でなければ、得られた式は二次関数です。実際に x = p を代入すると、分母と同じ積が掛かって値は q に戻ります。零点についても、それぞれ対応する因数が0になります。こうして存在と一意性の両方を確認できます。

q が0のときは同じ計算から a = 0 になります。これは式が見つかったという答えにはできません。0を掛けた式は定数0であり、二次の項が消えるからです。一方、p が零点なら先の商は分母が0となり、そもそも使えません。代入前に分母を確認する習慣は、条件不足と矛盾を見分けるためにも役立ちます。

重解のときも、別の点 (p, q) に対して q = a(p − r)² を考えます。p ≠ r なら平方は正であり、q ≠ 0 のときに限って0でない係数が一意に定まります。p = r なら q = 0 は接点と同じ条件、q ≠ 0 は矛盾です。重解であることと、指定された別の点が係数を決めることを分けて考えてください。

誤答を図で直す

零点が -1 と 3 だから y = (x + 1)(x − 3) と決める、という答えを考えます。2つの零点は確かに合っています。しかし、それらは係数が1である根拠にはなりません。例えば同じ零点を持つ y = 2(x + 1)(x − 3) は、x = 0 で -6 になります。指定点が (0, -6) なら前者の値 -3 は合いません。

図3のように、零点で値が0という条件と、別の点での高さという条件を別々に照合します。まず y = a(x + 1)(x − 3) と書き、指定点を代入して -6 = -3a、a = 2 と直します。図3の2つの式は零点が同じでも、指定点で区別できます。

もう1つの失敗は、零点 -1 を因数 x − 1 と書く符号の誤りです。x = -1 を入れたとき0になるのは x + 1 の方です。因数を作った直後に零点を代入すると、展開後まで誤りを持ち越さずに済みます。重解でも (x − r)² と書いた後、x = r を戻して確認します。

自分で試す5問

いずれも定義域を実数全体とし、関数を求める問題では積の形で答えてください。存在しない場合はその理由を示してください。

1. 零点が 1 と 5 で、点 (0, 10) を通る二次関数を求めてください。
2. 零点が -4 と -1 で、点 (1, -20) を通る二次関数を求めてください。
3. 点 (-2, 0) で横軸に接し、点 (0, 6) を通る二次関数を求めてください。
4. 零点が 2 と 6 で、点 (2, 3) を通る二次関数の有無を答えてください。
5. 零点が -2 と 1 で、点 (3, 0) を通る二次関数の有無を答えてください。

答えと照合

1. y = a(x − 1)(x − 5) と置くと、10 = a・(-1)・(-5) = 5a です。a = 2 より、答えは y = 2(x − 1)(x − 5) です。x = 1、5 で値は0、x = 0 で値は 2・(-1)・(-5) = 10 となり、元の3条件を満たします。

2. y = a(x + 4)(x + 1) と置きます。-20 = a・5・2 = 10a なので a = -2、答えは y = -2(x + 4)(x + 1) です。x = -4、-1 では値が0、x = 1 では -2・5・2 = -20 です。負の係数も0ではなく、二次関数として適切です。

3. 接点から y = a(x + 2)² と置きます。6 = a・2² = 4a より a = 3/2 です。答えは y = (3/2)(x + 2)² です。x = -2 で値0、x = 0 で値 (3/2)・4 = 6 です。平方が0になるのは x = -2 のときなので、そこが横軸との唯一の共有点です。

4. 存在しません。零点が2なら x = 2 のとき y = 0 ですが、指定点は同じ x に対し y = 3 を要求します。積の形でも 3 = a(2 − 2)(2 − 6) = 0 となり矛盾します。

5. 存在しません。y = a(x + 2)(x − 1) と置いて指定点を代入すると、0 = a・5・2 = 10a、したがって a = 0 です。しかし a = 0 では二次関数ではありません。指定点のx座標は2つの零点と異なり、その点でも値を0にするという条件は、求める二次関数と両立しません。

手元に残す要点

零点 r、s が異なるとき、式は a(x − r)(x − s)、a ≠ 0 です。
重解 r なら式は a(x − r)²、a ≠ 0 です。
別の点を代入し、割る前に係数が0かを調べます。
最後に零点、指定点、二次係数を元の条件へ戻します。

途中のどこで迷ったかを見分ける

因数に零点を代入して0にならないなら、符号の読み替えから確かめます。因数は合うのに指定点を通らなければ、座標を同時に代入する行と係数の計算を見直します。0 = 0 が出たときに a = 0 と決めてしまうなら、その等式がどの a でも成り立つことを複数の値で試し、条件が増えていない理由を言葉にします。

個別指導では、式の各因数がどの零点に対応するかを指で示し、指定点が横軸上かどうかを図に書き込んで説明できるかを確かめます。重解のときは共有点が1個であることと因数が2回現れることを結び付けます。式が得られない場合も、矛盾なのか二次係数が0になるのかを区別して説明できれば、条件を読み取る力につながります。零点は式の骨格を与え、残る倍率は別の高さが決めます。