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高校数学C 行列の実数倍—単位と倍率を確かめて数量表をまとめて変える｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 数学的な表現の工夫

材料表を倍にする計算と単位換算を区別し、符号付きの増減を開始在庫へ加えた結果まで追います。

よくあるのは、理系の高3が数量表を2倍するとき、目に入った一部の成分だけに2を掛け、残りをそのまま写してしまう場面です。行と列の見出しを保ったまま、各場所の量がどう変わるかを追えば、計算の抜けを見つけられます。倍率が負の場合は、在庫そのものと増減量を区別することも必要です。

倍率が登場する問い

出方の1つは、同じ組を複数用意するときの合計です。1組の材料表を3倍すれば、各欄の材料がそれぞれ3組分になります。ただし、組ごとに必要量が同じという条件が欠かせません。1組だけ内容が違うなら、その組の表を別に足します。

次は単位換算です。すべての成分が同じ単位のとき、例えばリットルをミリリットルに直すには数値を1000倍します。量そのものが1000倍になったわけではなく、単位が小さくなった分だけ数値が変わります。行ごとに単位が異なる表には、同じ換算倍率を表全体へ無条件に掛けられません。

もう1つは、増減表の組合せです。増加を正、減少を負と決めると、同じ変化の反復や変化の取り消しを実数倍で表せます。負の数を在庫数と誤読しないよう、表が何を記録しているかを先に書きます。ここでは行列の積や連立方程式の解法には進まず、成分ごとの量の対応に集中します。

表全体に同じ数を掛ける

行列とは、数を行と列に並べたものです。例えば次の A は2行2列で、行は場所の東・西、列は品目の紙・布の順とします。成分の単位は枚です。

A = [ 2  5 ]
    [ 4  3 ]

実数 k による A の実数倍 kA は、A の各成分を k 倍した行列です。型は2行2列のままで、各成分の位置も変わりません。図1のように、左上だけでなく右下まで同じ倍率を掛けます。見出しを変えずに各場所と品目の量を読み戻せることが重要です。

図1では、たとえば西の布は3枚から6枚になります。0倍なら全成分が0、1倍なら元の表のままです。負の倍率も計算できますが、負の値を数量としてどう読むかは場面の定義に依存します。実数倍は表の一部の欄を選んで変える操作ではありません。

同じ型の行列の和は、同じ位置の成分を足します。数量表として足すときは、型に加え、行と列の分類、並び、単位が対応している必要があります。同じ2行2列でも、片方の列順が布・紙なら、そのまま同位置を足すと異なる品目を混ぜてしまいます。順番をそろえてから計算します。

実数倍と和には k(A + B) = kA + kB が成り立ちます。各位置について左辺は k(a + b)、右辺は ka + kb となり、実数の分配法則で等しいからです。また (k + l)A = kA + lA も、各成分について同様に確かめられます。これは数例が一致したからではなく、任意の位置の成分で示せたことによります。

倍率と単位の境目を調べる

倍率が分数の場合も、定義は変わりません。たとえば同じ材料を半量ずつ使うなら、各欄を1/2倍します。元の欄が奇数の場合、結果が分数になることもあります。長さや水量ならそのまま扱えますが、切り分けられない物の個数なら、その条件で半分の組を作れるかを先に考えます。計算結果を整数に丸める操作は実数倍の定義には含まれません。

また、倍率と単位換算は同じ数を掛けても意味が異なります。材料を2組に増やす2倍は量そのものを増やし、リットルからミリリットルへの1000倍は同じ量の表し方を変えます。式の横に計算後の単位を記しておけば、両者を取り違えにくくなります。逆方向の換算なら1000で割り、元の単位と数値に戻るかを確かめます。

表に異なる種類の単位が混在している場合も注意が必要です。紙を枚、ひもをメートルで記録した表に同じセット数を掛けることはできますが、紙とひもの欄を直接足して1つの数量にはできません。単位を明示した表として読むことと、全成分を同じ単位へ換算できることは別の条件です。

基本例題：同じ工作セットを用意する

【問題】1セット分の材料を次の A で表します。行は小・大の2種類の箱、列は赤・青の紙の順で、単位は枚です。各セットの内容は同じです。3セット分の表を求め、各欄の枚数を答えてください。

A = [ 2  4 ]
    [ 3  1 ]

図2のように、同じセットが3組あるので、各欄の枚数を3倍します。表は箱の種類と紙の色を保ったままです。

3A = [ 3・2  3・4 ]
     [ 3・3  3・1 ]
   = [ 6  12 ]
     [ 9   3 ]

したがって、小の赤は6枚、小の青は12枚、大の赤は9枚、大の青は3枚です。たとえば小の青に戻すと、1組あたり4枚を3組に使うので4 + 4 + 4 = 12枚です。大の赤も3 + 3 + 3 = 9枚となります。図2の右側の数は、このように元の分類ごとの枚数として読めます。

3倍の根拠は、どの欄にも同じ数のセットがあることです。もし大の箱だけ2セットなら、3A はその条件を表しません。小の行と大の行を別々の倍率で計算する必要があります。倍率を式に書く前に、表全体に適用できる条件かを確認します。

標準例題：単位を変えて合計する

【問題】2つの容器の水量を A、追加する水量を B とします。行は容器P・Q、列は午前・午後の順で、各成分の単位はリットルです。A + B をミリリットル単位で表してください。1リットルは1000ミリリットルです。

A = [ 0.4  0.7 ]
    [ 0.2  0.5 ]
B = [ 0.3  0.1 ]
    [ 0.6  0.2 ]

分類と単位がそろっているので、同位置の量を足せます。その後に1000を掛ければ、各成分がミリリットル単位になります。

A + B = [ 0.4 + 0.3  0.7 + 0.1 ]
        [ 0.2 + 0.6  0.5 + 0.2 ]
      = [ 0.7  0.8 ]
        [ 0.8  0.7 ]
1000(A + B) = [ 700  800 ]
              [ 800  700 ]

答えの各成分の単位はミリリットルです。Pの午後なら、700ミリリットルと100ミリリットルを足して800ミリリットルとなり、元の水量に戻して確かめられます。先に両方を1000倍してから足しても同じです。これは分配法則に対応します。

一方、A がリットルで B がミリリットルのままなら、数値を直接足せません。単位をそろえてから同位置を足します。たとえば0.7リットルと100ミリリットルは0.7 + 100とはせず、700 + 100 = 800ミリリットルとします。数の計算と物理量の解釈を切り離さないことが、換算の失敗を防ぎます。

発展例題：増減を組み合わせる

【問題】棚の品物の増減を、入庫を正、出庫を負として記録します。行は棚U・V、列は部品X・Yの順、単位は個です。ある1日には増減表 D が2回、別の増減表 E が1回生じました。合計の増減表を求めてください。また開始時の在庫 S に適用した後の在庫を求め、負の在庫が生じるか判定してください。

D = [  3  -2 ]    E = [ -1   4 ]
    [ -2   1 ]        [  3  -5 ]
S = [  4   3 ]
    [  5   4 ]

同じ D が2回なので、合計の増減は 2D + E です。差を表す負の成分も、同じ回数だけ掛けます。

2D = [  6  -4 ]
     [ -4   2 ]
2D + E = [  6 - 1  -4 + 4 ]
         [ -4 + 3   2 - 5 ]
       = [  5   0 ]
         [ -1  -3 ]
S + 2D + E = [ 4 + 5  3 + 0 ]
             [ 5 - 1  4 - 3 ]
           = [ 9  3 ]
             [ 4  1 ]

答えは増減が上の表、終了時の在庫が下の表で、いずれも単位は個です。終了時の全成分は0以上なので、終了時点に負の在庫はありません。棚VのYに戻すと、開始4個から1個ずつ2回増え、5個減って1個です。増減の -3 は終了時の在庫が負3個という意味ではありません。

ただし、終了時点の値だけでは途中で在庫が不足しないと断定できません。E が先に起こるなら棚VのYは一時的に4 − 5 = -1個となり、その順序は実際の在庫の動きとして成立しません。D を2回続けてから E を加えると、棚VのYは4、5、6、1個と推移しますが、棚UのYは3、1、-1、3個となるため成立しません。D、E、D の順なら、棚UのXは4、7、6、9個、棚UのYは3、1、5、3個、棚VのXは5、3、6、4個、棚VのYは4、5、0、1個と推移し、途中の在庫もすべて0以上です。合計表は順序を捨てるため、途中の不足を調べる問いでは各時点を別に追います。

誤答から倍率の範囲を直す

基本例題で、次の表を3A としたとします。左上には3を掛けていますが、他の欄は元のままです。

誤り [ 6  4 ]
     [ 3  1 ]

図3のように、この表では小の青が4枚のままです。3セットなら小の青は4枚ずつ3組で12枚なので、数量に戻すと誤りが見つかります。図3の右側が全成分を直した結果です。

原因は、行列の前の3を左上の数に結び付け、表全体に掛かる記号として読んでいないことです。修正するときは各欄に「3・元の数」を一度書き、行と列を順にたどります。計算後には、少なくとも異なる行と列の欄を元の場面へ戻し、残りの欄も掛け忘れがないか照合します。

別の誤りとして、増減表を -1倍して在庫が負になると判断する場合があります。増減表の -1倍は、各変化の向きを逆にした表です。実際に取り消せるかは、操作の順序や途中の在庫を別途確かめなければ決まりません。式の意味と実行可能性は別々に点検します。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立した自作の場面です。行列は示された順で読み、各問いで指定された形と単位で答えてください。

行が机A・B、列が鉛筆・消しゴムの順で、1箱分の個数を P = [1 3; 2 5] とします。各箱の内容は同じです。4箱分の表を個数で求めてください。
各成分がキログラムの表 Q = [2 0.5; 1.5 3] があります。行は棚C・D、列は品物M・Nです。グラム単位の表を求めてください。1キログラムは1000グラムです。
行が区画E・F、列が苗G・Hで、個数表 R = [2 1; 4 3] と T = [1 2; 3 1] が同じ順に与えられています。R の2組と T の1組の合計表を個数で求めてください。
行が棚J・K、列が部品L・Mで、在庫の増減表を V = [2 -3; -1 4] 個とします。V と逆向きの増減表を求め、棚JのMの成分を言葉で説明してください。
行が場所N・O、列が品物P・Qの順の開始在庫は [3 2; 1 5] 個です。増減 [ -1 1; 2 -2 ] 個が同じように2回起こります。終了時の在庫を表で求め、終了時に負の在庫があるか答えてください。

練習問題の解答と解き方

各欄を4倍します。机Bの鉛筆は2個が4箱分なので8個となり、表の左下と一致します。

4P = [ 4・1  4・3 ]
     [ 4・2  4・5 ]
   = [ 4  12 ]
     [ 8  20 ] 個

各欄が同じキログラム単位なので1000倍します。棚CのNは0.5キログラム、すなわち500グラムです。

1000Q = [ 2000   500 ]
        [ 1500  3000 ] グラム

分類と単位が一致するので、対応する成分を足します。区画FのGは4個の組が2つと3個の組が1つで、4 + 4 + 3 = 11個です。

2R = [ 4  2 ]
     [ 8  6 ]
2R + T = [ 4 + 1  2 + 2 ]
         [ 8 + 3  6 + 1 ]
       = [  5  4 ]
         [ 11  7 ] 個

符号を各欄で反転します。棚JのMは元の3個の減少を逆にした3個の増加です。

-V = [ -2   3 ]
     [  1  -4 ] 個

同じ増減を2回加えます。場所OのQは開始5個から2個ずつ2回減るので1個です。終了時の全成分は0以上です。

2 [ -1   1 ] = [ -2   2 ]
  [  2  -2 ]   [  4  -4 ]
[ 3  2 ] + [ -2   2 ] = [ 1  4 ]
[ 1  5 ]   [  4  -4 ]   [ 5  1 ] 個

覚えておくこと

実数倍は行列の全成分に同じ数を掛け、型を保ちます。
和は分類の順序と単位をそろえて、対応する成分を足します。
単位換算は量を変えず、成分の数値と単位を同時に書き換えます。
負の増減と負の在庫を区別し、必要なら途中の状態も追います。

つまずきの見分け方

計算の記録を見るときは、答えの数だけでなく、元の表の行と列の見出し、各欄に書いた倍率、答えの単位を確かめます。左上だけ正しい場合は掛ける範囲、全欄の計算が正しくても意味が違う場合は分類順や単位に戻ります。個別指導では、1成分を選んで「何が何組分か」を言葉と足し算で表してもらうと、数の操作と場面の対応を確認できます。

負の成分があるときは、開始時の量なのか変化量なのかを記録から区別し、終了時と途中の状態をそれぞれ調べます。表の各欄に戻る習慣が、倍率の掛け忘れと意味の取り違えを見つけます。