高校数学C 行列の積の型—二つの表をつなぐ分類から計算できる条件を見抜く｜武蔵野個別指導塾

品目を介して数量表をつなぎ、積の可否と結果の行・列を読む鍵は行列の積の型です。

よくあるのは、理系の高3が二つの行列を見て、外側の行数が同じだから積を作れると判断する場面です。表が何を表すかに戻ると、つなぐべきなのは左の表の列と右の表の行です。そこに並ぶ分類の数と順番を確かめてから、結果の行と列を決めます。型が合うことと、場面の数量として意味が合うことも分けて考えます。

積の前に何を見るか

出題の一つは、行列の型だけが与えられ、指定された順の積が定義できるか、その結果が何行何列かを答えるものです。成分を一つも計算しなくても、左の列数と右の行数を比べれば判定できます。もう一つは、数量表の分類を読み、何と何をつなぐかを説明するものです。こちらは数が一致するだけでは足りず、対応する分類と順序まで確かめます。

さらに、型の一部が文字で示され、積の型から未知の行数や列数を決める問いもあります。結果に残るのは左の行数と右の列数ですが、内側が一致する条件も同時に必要です。以下では行列の積を普通の行と列の積和で定め、数量表では各成分の単位も明らかにします。行列式や逆行列は使いません。

内側をつなぎ、外側を残す

m、n、p を正の整数とします。A が m行n列、B が n行p列のとき、積 AB は m行p列です。A の各行にある n 個と、B の各列にある n 個を同じ順に掛けて足し、その値を結果の対応する位置に置きます。左の列数と右の行数が異なると、この積和の項を対応させられないため、AB は定義されません。

図1のように、内側の n は消えてなくなる数量ではなく、足し合わせる分類の個数です。外側の m と p は結果の表に残る分類の数です。たとえば行を場所、列を品目とした表に、行を品目、列を材料とした表を掛ければ、結果の行は場所、列は材料です。品目ごとに材料を数えて合計するので、品目の分類が中継点になります。

図1の対応は型の条件を表します。実際の表では左の列と右の行が同じ品目でも、並びが逆なら同じ位置どうしの積は別の品目を結んでしまいます。右の行を左の列に合わせて並べ直す必要があります。型が合うことは数としての積を作る条件であり、数量の意味が正しくつながることは別の点検です。

単位も道しるべになります。場所ごとの品目の個数に、品目1個あたりの材料の枚数を掛ければ、品目ごとの枚数になり、足すと場所ごとの材料の枚数です。異なる材料を足して1つの成分にするのではなく、材料ごとに列を残します。結果の型を先に書くと、必要な答えが何個あるかも見通せます。

型を調べるときは、結果の数字を先に予想する必要はありません。行数と列数が同じ正方形の表でも、行と列の意味は別々に書きます。たとえば場所が2つ、材料が2種類という一致は、場所と材料が同じ分類であることを意味しません。結果の各位置に何を入れるかを言葉で説明してから積和を書くと、型の数字と表の見出しを同時に点検できます。

基本例題：場所と品目を材料につなぐ

架空の工作会で、場所 A、B に置く品物 P、Q、R の個数を表す行列を X、各品物1個に使う紙とひもの枚数を表す行列を Y とします。X の行は A、B、列は P、Q、R の順、Y の行は P、Q、R、列は紙、ひもの順です。紙とひもはそれぞれ数えやすい大きさに切ったものを1枚とします。XY の可否と型を答え、各場所の必要枚数を行列で求めてください。

X = [ 1  2  1 ]     Y = [ 2  1 ]
    [ 2  0  1 ]         [ 1  3 ]
                        [ 4  2 ]

X は2行3列、Y は3行2列です。内側の3が一致し、しかも品物の順序が共通なので、XY は定義でき、場所を行、材料を列とする2行2列です。図2のように、A の紙の枚数は P、Q、R の順にそれぞれの寄与を足します。

Aの紙 = 1・2 + 2・1 + 1・4 = 8
Aのひも = 1・1 + 2・3 + 1・2 = 9
Bの紙 = 2・2 + 0・1 + 1・4 = 8
Bのひも = 2・1 + 0・3 + 1・2 = 4
XY = [ 8  9 ]
     [ 8  4 ]

図2の3本の寄与を直接数えても、A の紙は2枚、2枚、4枚で計8枚です。B は P が2個、Q が0個、R が1個なので、ひもは2枚と0枚と2枚で計4枚です。各成分は枚数であり、行と列の見出しを添えれば8と9が何の数かを取り違えません。

なお YX も型の上では3行2列と2行3列の積なので3行3列です。ただし Y の列は材料、X の行は場所です。2という個数は同じでも分類が違うため、この場面で材料ごとの必要量を表す積にはなりません。定義できるという数学上の判定と、表の意味に合うという判定を混ぜないことが大切です。

標準例題：順序と分類を確かめる

架空の展示で、3つの棚 U、V、W に置く2種類の箱 S、T の個数を C、箱1個に入れるカードの赤、青、緑の枚数を D とします。C の行は U、V、W、列は S、T、D の行は S、T、列は赤、青、緑の順です。CD と DC の型を答え、CD を求めてください。単位は枚です。

C = [ 1  2 ]     D = [ 2  1  0 ]
    [ 3  1 ]         [ 1  2  2 ]
    [ 0  2 ]

C は3行2列、D は2行3列なので CD は3行3列です。DC も内側の3が一致するので2行2列として定義できます。ただし DC の中で対応するのは色と棚であり、カードの枚数の集計という意味はありません。計算可能な型と用途を別々に判断します。

Uの赤 = 1・2 + 2・1 = 4
Uの青 = 1・1 + 2・2 = 5
Uの緑 = 1・0 + 2・2 = 4
Vの赤 = 3・2 + 1・1 = 7
Vの青 = 3・1 + 1・2 = 5
Vの緑 = 3・0 + 1・2 = 2
Wの赤 = 0・2 + 2・1 = 2
Wの青 = 0・1 + 2・2 = 4
Wの緑 = 0・0 + 2・2 = 4
CD = [ 4  5  4 ]
     [ 7  5  2 ]
     [ 2  4  4 ]

元の棚に戻して点検します。V は S が3箱と T が1箱です。赤は S から6枚、T から1枚で7枚、緑は S から0枚、T から2枚で2枚です。W は T が2箱なので、その1箱分の各色を2倍した行になっています。結果の行数3は棚の数、列数3は色の数で、同じ3でも別の分類です。

もし D の行が T、S の順で渡されたなら、そのままの積は型として作れても、C の S の個数に T の枚数を掛けてしまいます。D の2行を入れ替えて S、T の順にそろえれば、上の計算に戻ります。行列の数字だけを見て順序を推測せず、見出しを先に記録します。

発展例題：結果の型から元の型を戻す

E は4行n列、F はk行3列です。積 EF が定義され、その結果が4行3列であるとします。n と k の関係を答え、n = 2 の場合に次の表で積を求めてください。E は4つの会場の2種類の袋の個数、F は袋1個あたりの3種類の部品の個数です。袋と部品の順序はそれぞれ共通とします。

E = [ 1  0 ]     F = [ 2  3  1 ]
    [ 0  2 ]         [ 1  0  2 ]
    [ 1  1 ]
    [ 2  1 ]

条件の4行3列は外側の4と3に対応します。積を定義するための内側の条件は n = k です。結果の型だけでは n の値は決まらず、どの正の整数でも n = k なら型の条件を満たします。F の3列は3種類の部品に対応します。

1行1列 = 1・2 + 0・1 = 2
1行2列 = 1・3 + 0・0 = 3
1行3列 = 1・1 + 0・2 = 1
2行1列 = 0・2 + 2・1 = 2
2行2列 = 0・3 + 2・0 = 0
2行3列 = 0・1 + 2・2 = 4
3行1列 = 1・2 + 1・1 = 3
3行2列 = 1・3 + 1・0 = 3
3行3列 = 1・1 + 1・2 = 3
4行1列 = 2・2 + 1・1 = 5
4行2列 = 2・3 + 1・0 = 6
4行3列 = 2・1 + 1・2 = 4
EF = [ 2  3  1 ]
     [ 2  0  4 ]
     [ 3  3  3 ]
     [ 5  6  4 ]

4番目の会場では最初の袋が2個、次の袋が1個です。3種類の部品はそれぞれ4個と1個、6個と0個、2個と2個の合計なので、最後の行は5、6、4個です。型の説明だけでは中身の数量まではわかりません。成分の計算と場面への照合を続けて初めて必要な個数が決まります。

外側だけを見る誤答を直す

基本例題の X は2行3列、Y は3行2列でした。「どちらも2行だから XY は2行2列になる」という結論は、答えの型こそ偶然合っていますが理由が違います。左の行数と右の列数は結果を示す数であり、積の可否を判定する数ではありません。図3のように、3と3を先に比べます。

たとえば2行3列と2行4列なら、外側に2行という共通点があっても、内側の3と2が異なるので指定順の積は定義されません。1つの行の3個と1つの列の2個を余りなく対応させる規則がないためです。逆に2行3列と3行4列なら、行数が違っても積は定義され、結果は2行4列です。

図3の内側を丸で囲む習慣は、可否と結果を混同した答案の修正に役立ちます。その後で分類名と順番を書き、結果の行・列の名前と単位を添えます。数字の一致だけを理由に数量表の意味まで保証した答案は、分類を照合する段階からやり直します。

練習問題

次の表と数は練習用に作ったものです。各問で指定された形で答えてください。

1. G は3行4列、H は4行2列です。GH の可否と型を答えてください。
2. J は2行5列、K は3行2列です。JK と KJ のそれぞれの可否と、定義できる方の型を答えてください。
3. L は a行3列、M は3行b列です。LM が5行2列のとき、正の整数 a、b を求めてください。
4. 2つの教室で、冊子 F、G をそれぞれ (2, 1)、(1, 3) 冊使います。冊子1冊の白紙と色紙の枚数は F が (3, 1)、G が (2, 4) です。教室を行、紙の種類を列とする必要枚数の行列を求めてください。
5. 2つの便の荷物個数の列順は小箱、大箱です。箱1個のラベル枚数の表の行順が大箱、小箱で、それぞれ (5, 2)、(1, 3) です。列は丸、四角の順です。第1便が小箱3個、大箱2個のとき、順番をそろえて丸と四角の枚数を求めてください。

練習問題の解答と解き方

1. 4と4が一致するので GH は定義でき、外側を残して3行2列です。3つの行のそれぞれに2つの列を対応させるので、成分は6個です。

2. JK は内側の5と3が異なり定義されません。KJ は2と2が一致し、3行5列です。元の型に戻して見ると、K の3行と J の5列が結果に残ります。

3. 内側の3は一致しています。結果は a行b列なので、a = 5、b = 2 です。戻すと5行3列と3行2列の積は確かに5行2列です。内側の3が結果の列数になるわけではありません。

4. 冊子を中継にして、行と列の積和を作ります。

1教室の白紙 = 2・3 + 1・2 = 8
1教室の色紙 = 2・1 + 1・4 = 6
2教室の白紙 = 1・3 + 3・2 = 9
2教室の色紙 = 1・1 + 3・4 = 13
答え = [ 8   6 ]
       [ 9  13 ]

2教室の白紙は F から3枚、G から6枚で9枚です。色紙も1枚と12枚を合わせて13枚です。どちらの行も冊数と1冊あたりの枚数から直接確認できます。

5. ラベル表を小箱、大箱の順に並べ直します。小箱の行は (1, 3)、大箱の行は (5, 2) です。

丸 = 3・1 + 2・5 = 13
四角 = 3・3 + 2・2 = 13

答えは丸13枚、四角13枚です。荷物に戻すと小箱から丸3枚と四角9枚、大箱から丸10枚と四角4枚です。行を並べ直さずに掛けると別の箱の枚数を対応させてしまいます。

覚えておくこと

• 積の可否は左の列数と右の行数で決まります。
• 結果の型は左の行数と右の列数です。
• 数量表では中継する分類の名前と順序もそろえます。
• 1成分を内訳に戻し、単位と合計を確かめます。

記録からつまずきを見分ける

答えの型が合っていても、途中に書いた比較が外側どうしなら、別の型で判定が崩れる可能性があります。個別指導では、元の行列の各辺に行数と列数を書いた記録と、どの2数を比べたかを確認します。次に分類の順を入れ替えた表を示し、同じ型でもどの積和が変わるかを説明してもらいます。

計算の誤りが見つかったときは、結果の1成分について、元の品目ごとの個数と1個あたりの量を線で結んだ記録を見ます。型の不一致、分類順のずれ、掛けた後の足し間違いは修正する場所が異なります。表の見出しと積和を行き来すると、積の型は数量をつなぐ設計図になります。