高校数学III 有理化する関数の極限—根号の差と分母のゼロを同時に整理する｜武蔵野個別指導塾

共役を分子と分母に掛け、二度の有理化が必要な商まで追いながら、有限点での根号の極限を読み解きます。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで根号の差を見つけ、共役を分子だけに掛けてしまう場面です。分子の根号は消えますが、もとの商とは違う式になっています。有限の点に近づけたとき分子も分母もゼロに近づくなら、共役を利用して消える原因を見つけ、同じ値を保ったまま整理しましょう。

どこに根号の差があるか

まず、分子に根号と定数の差がある型です。分母も同じ点でゼロになるとき、共役を掛けて得られる平方の差に、分母と共通の因子が現れます。約分後は近づく点を代入して値を求めます。ただし、もとの分母がゼロの点では、約分前の式は定義されません。

次に、2つの根号の差が分子にある型です。共役を掛けると2つの根号の中身の差が現れます。分母と同じ因子が現れるかを見てから約分します。さらに分母にも根号の差があるときは、上下をそれぞれ有理化し、共通の因子を比べる方法があります。2回操作する場合も、各段階で掛けたものがゼロでないことを確かめます。

根号の中が負にならない範囲、分母がゼロでない範囲、共役で割れる範囲は別々の条件です。近づく点そのものを除いても、左右から近づける範囲が残るかを最初に見ます。数学IIIの関数の値の極限を使い、有限点での根号を含む商に絞って考えます。

共役を掛けても商を変えない条件

AとBがともに実数のとき、A − Bに対するA + Bを共役と呼びます。積は(A − B)(A + B) = A² − B²です。AとBが平方根なら、2乗によって根号の中身が現れます。和に対しては差を掛ける場合もありますが、掛ける式がゼロになる場所では、その式を分母に置くことはできません。

図1のように、共役Cがゼロでない範囲では、分子と分母に同じCを掛ける操作はC/C = 1を掛けることです。一方、分子にだけ掛けた式は、一般には元の商のC倍です。Cがたまたま1である場合を除き、等しい式として扱えません。

例えばxがaに近づく途中で元の式と変形後の式が一致し、変形後の式がaに近づくとLに近づけば、元の式の極限もLです。これはaにおける関数値がLだという主張ではありません。aで元の式が定義されないこともあります。極限では、近づく途中の値を調べています。

左右の両側から近づく問いでは、左右それぞれに定義域があることも必要です。根号の中がゼロになる境界点では、片側からしか近づけない場合があります。そのとき、両側の極限の計算として扱わず、問題で指定された向きを確認します。近づく点の代入で0/0となることは答えではなく、値を保つ変形が必要だという手がかりです。

基本例題：分子の差をほどく

次の極限を分数で求めてください。

lim[x→4] (√(x+5)-3)/(x-4)

根号の条件はx ≧ -5で、元の分母の条件はx ≠ 4です。4に十分近い範囲では左右から近づけます。共役√(x+5)+3は正なので、分子と分母に掛けられます。図2のように平方の差からx − 4が現れます。

(√(x+5)-3)/(x-4)
= (√(x+5)-3)(√(x+5)+3)/((x-4)(√(x+5)+3))
= ((x+5)-9)/((x-4)(√(x+5)+3))
= (x-4)/((x-4)(√(x+5)+3))
= 1/(√(x+5)+3)

最後の約分はx ≠ 4で行っています。変形後の分母はx→4で6に近づき、ゼロではありません。したがって極限は次の通りです。

lim[x→4] 1/(√(x+5)+3)
= 1/(3+3)
= 1/6

元の式でx = 4は0/0となり、値を持ちません。それでも、4以外の近くの点で元の式は1/(√(x+5)+3)と一致します。たとえば4より小さくても大きくても、定義域内なら同じ変形が成り立つため、両側から1/6に近づきます。約分後の式への代入は、穴を含む元の式への代入ではないことを区別してください。

もし分子だけに共役を掛ければ、分子はx − 4になっても分母はx − 4のままです。その商は1となり、元の極限1/6とは異なります。式の値を保つための分母の共役が、最後の答えを決めています。

近づく点から少し離れた値で確かめることも、式の取り違えを見つける助けになります。ただし、いくつかの値が近いことだけでは極限の証明にはなりません。ここでは近傍の各点で成り立つ等式と、変形後の分母が6に近づくことを根拠にしています。

標準例題：根号どうしの差を扱う

次の極限を整数で求めてください。

lim[x→0] (√(1+3x)-√(1+x))/x

根号の中をともに正にするため、例えば -1/4 < x < 1/4を考えます。この範囲では両方の根号が正で、共役の和も正です。元の式はx ≠ 0で定義されます。分子と分母に共役を掛けると、次のようになります。

(√(1+3x)-√(1+x))/x
= (√(1+3x)-√(1+x))(√(1+3x)+√(1+x))/(x(√(1+3x)+√(1+x)))
= ((1+3x)-(1+x))/(x(√(1+3x)+√(1+x)))
= 2x/(x(√(1+3x)+√(1+x)))
= 2/(√(1+3x)+√(1+x))

最後はx ≠ 0で約分しました。分母はx→0で2に近づくため、商の極限を求められます。

lim[x→0] 2/(√(1+3x)+√(1+x))
= 2/(1+1)
= 1

元の分子は左右どちらからでも0に近づき、分母も0に近づきますが、それぞれを別に0として割ることはできません。差を先に平方の差に直し、分母と共通のxを取り除くことで比が残ります。左右の近い点で変形前後が等しいことから、答え1は元の商の両側極限です。

発展例題：上下にある差をそれぞれ整理する

次の極限を分数で求めてください。

lim[x→0] (√(1+4x)-1)/(√(1+7x)-1)

分子にも分母にも根号と1の差があります。例えば -1/8 < x < 1/8では両方の根号の中が正です。元の分母がゼロになるのはこの範囲でx = 0の場合なので、x ≠ 0として操作します。それぞれの共役は正です。

まず分子を有理化します。

√(1+4x)-1
= ((1+4x)-1)/(√(1+4x)+1)
= 4x/(√(1+4x)+1)

同様に分母を有理化します。

√(1+7x)-1
= ((1+7x)-1)/(√(1+7x)+1)
= 7x/(√(1+7x)+1)

この2式を元の商へ戻し、x ≠ 0を使います。

(√(1+4x)-1)/(√(1+7x)-1)
= (4x/(√(1+4x)+1))/(7x/(√(1+7x)+1))
= 4x(√(1+7x)+1)/(7x(√(1+4x)+1))
= 4(√(1+7x)+1)/(7(√(1+4x)+1))

変形後の分母はx→0で14に近づきます。よって答えは次の通りです。

lim[x→0] 4(√(1+7x)+1)/(7(√(1+4x)+1))
= 4(1+1)/(7(1+1))
= 4/7

元の式に戻って考えると、分子と分母はそれぞれxの定数倍を正の共役で割った形です。そのため左右でxの符号は変わっても、共通のxは比の中で消えます。片方だけを有理化して止まると、残った根号の差も0に近づくため、まだそのまま代入できません。二つの共役がともにゼロでないことと、元の分母がx ≠ 0でゼロでないことを確認してから約分します。

間違った等号を見つける

基本例題で次のように書くと、右辺は左辺と等しくありません。

(√(x+5)-3)/(x-4)
= (x-4)/(x-4)
= 1

左辺の分子に共役√(x+5)+3を掛けたのに、分母には掛けていないためです。例えばx = 11/4なら、左辺は1/(√(31/4)+3)であり1ではありません。この1点での不一致により、等号が恒等的に正しくないことがわかります。

図3のように、分子の操作に対応する共役を分母にも書き足せば、同じ値を保てます。直した後の分母にある共役を、約分時に一緒に消してはいけません。消せるのは上下に共通する、ゼロでない因子x − 4です。

もう1つの失敗は、共役を掛ける前に「0/0なので0」と結論することです。0/0は実数の商として定まらず、分子と分母がゼロに近づく速さの比を示しません。上の標準例題と発展例題でも、両方がゼロに近づきながら異なる値が得られました。先に共通因子を取り出し、残った分母の極限がゼロでないと確認するのが修正の道筋です。

練習：近づく点と共役を選ぶ

次の5問は、指定された形で答えてください。どの式も、近づく点の十分近くで実数として定義される部分を考えます。

1. lim[x→2] (√(x+7)-3)/(x-2) を分数で求めてください。
2. lim[x→0] (√(4+5x)-2)/x を分数で求めてください。
3. lim[x→0] (√(9+2x)-√(9-4x))/x を整数で求めてください。
4. lim[x→0] (√(1+6x)-1)/(√(1+2x)-1) を整数で求めてください。
5. lim[x→1] (x-1)/(√(x+3)-2) を整数で求めてください。

解答と確かめ方

1. x ≠ 2で共役√(x+7)+3は正です。平方の差を作り、分母と同じ因子を消します。

(√(x+7)-3)/(x-2)
= (x+7-9)/((x-2)(√(x+7)+3))
= 1/(√(x+7)+3)
→ 1/6

元の分子はx − 2を√(x+7)+3で割ったものです。元の商に戻しても近くの点でこの式と一致し、左右とも1/6へ近づきます。

2. x ≠ 0の近傍で共役√(4+5x)+2は正です。

(√(4+5x)-2)/x
= (4+5x-4)/(x(√(4+5x)+2))
= 5/(√(4+5x)+2)
→ 5/4

元の分子に共役を掛けると5xに戻ります。分母にも同じ共役を掛けたことを確認すると、答えの分母4を落とさずに済みます。

3. 0の近くでは2つの根号の中は正で、共役の和も正です。

(√(9+2x)-√(9-4x))/x
= ((9+2x)-(9-4x))/(x(√(9+2x)+√(9-4x)))
= 6/(√(9+2x)+√(9-4x))
→ 6/(3+3)
= 1

根号の中身の差は6xです。負側でもx ≠ 0なら同じ因子を消せるので、元の商の左右の極限はともに1です。

4. 0の近くで2つの共役は正で、元の分母はx ≠ 0でゼロになりません。

√(1+6x)-1 = 6x/(√(1+6x)+1)
√(1+2x)-1 = 2x/(√(1+2x)+1)
(√(1+6x)-1)/(√(1+2x)-1)
= 3(√(1+2x)+1)/(√(1+6x)+1)
→ 3

2つの差を元の商へ戻すと、共通のxを約分した上式になります。共役の位置が上下で入れ替わることも確かめます。

5. x ≠ 1の近傍では元の分母と共役√(x+3)+2はいずれもゼロではありません。

(x-1)/(√(x+3)-2)
= (x-1)(√(x+3)+2)/(x+3-4)
= √(x+3)+2
→ 4

元の分母と共役の積がx − 1です。分母側を有理化する場合も分子に同じ共役を掛けているため、元の商と変形後の式は近くの各点で一致します。

要点

根号の差には共役を掛け、平方の差を作ります。 上下に同じゼロでない式を掛けて商を保ちます。 約分は元の分母がゼロでない範囲で行います。 最後に残る分母の極限がゼロでないことを確かめます。

途中式から見えるつまずき

個別指導では、まず根号の中の条件と元の分母がゼロになる点を本人に書いてもらい、左右から近づく範囲が残るかを見ます。次に、有理化の直後の行で分子と分母の両方に同じ共役があるか、平方の差の符号が正しいかを確かめます。

約分後に答えが合っていても、ゼロになる点を代入したまま約分していないかを確認します。逆に答えが異なるときは、共役を分母に残したか、2回の有理化で分数を割る向きが正しいかを元の商に戻して点検します。近づく途中の等式を追えば、根号の差の奥にある比が見えてきます。