高校数学III 分数関数の無限遠の極限—正負の方向と最高次項から振る舞いを読む｜武蔵野個別指導塾

分数関数を正負の無限遠へ動かし、次数差による発散の向きと文字係数が消える場合を判定します。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで、xが負の無限大へ向かうときも最高次の項を正として計算する場面です。x²は正ですが、x³は負です。分子と分母のそれぞれの符号、次数の差、近づく方向を分けて追うと、値が有限の数に近づくのか、正負のどちらへ大きくなるのかを判断できます。

要点（結論から）

• 分母が十分遠くでゼロにならないことを確認します。
• 分子と分母を同じxの乗数で割り、次数差を読みます。
• 奇数乗の符号は無限遠の方向で変わります。

どこで判断が分かれるか

分子と分母が多項式の商では、まず分母が対象とする方向の十分遠くでゼロにならないことを確かめます。そのうえで、分子の次数が分母より低ければ商は0に近づき、等しければ最高次の係数の比に近づきます。次数が高ければ、その差と係数から増大の向きを調べます。ただしゼロ多項式は次数で分類せず、商そのものを見ます。

典型的な問いは3つあります。同じ次数の分数から有限の極限を求める問い、次数差がある式で正負の無限遠を区別する問い、文字によって最高次の係数が消える場合を分類する問いです。特に最後は、文字を一般の値として処理した後、その計算で除いた係数がゼロとなる場合を別に戻して調べます。

数学IIIで学ぶ極限のうち、ここで確かめるのは分数関数を正負の無限遠へ動かしたときの値です。ここでは多項式の商の無限遠を扱い、微分による曲線の概形には進みません。

逆数に直して次数を比べる

x→+∞はxが正の方向へ限りなく大きくなること、x→-∞は負の方向へ絶対値が限りなく大きくなることです。どちらでも1/x、1/x²は0に近づきますが、1/xの符号は方向で変わります。無限大は普通の数ではなく、∞どうしを約分する計算はできません。

分母の次数がq、分子の次数がpで、最高次係数がそれぞれb、aなら、xがゼロでないところで分子と分母をxのq乗で割れます。分母はbと0に近づく項の和になるため、bがゼロでなければ十分遠くでゼロを避けます。分子にも同じ割り算を適用するのが大事です。図1のように次数差を見た後、増大する場合にはxの符号を残します。

図1のp < qでは逆数の正の整数乗が残り、p = qでは係数の比が残ります。p > qでは商をxの(p-q)乗と、a/bに近づく因子に分けられます。この因子は十分遠くでa/bと同じ符号ですから、差が奇数ならxの正負で符号が反転し、偶数なら反転しません。分母に有限個のゼロがあっても、十分遠くで定義されていれば無限遠の極限は調べられます。

たとえば次数差が1で係数比が負なら、正方向では負に、負方向では正に限りなく大きくなります。次数差が2なら、両方向でx²が正なので、係数比の符号に従います。係数が文字を含む場合は、その係数がゼロとなる境界を先に書き出すことが必要です。

基本例題：同じ次数の商

次の関数について、x→+∞とx→-∞の極限をそれぞれ正確に求めてください。

f(x) = (4x² + x)/(2x² - 3)

分母はx = ±√(3/2)でゼロですが、|x|が十分大きければゼロではありません。xもゼロではない範囲で、分子と分母を同じx²で割ります。

f(x) = (4x²/x² + x/x²)/(2x²/x² - 3/x²)
     = (4 + 1/x)/(2 - 3/x²)

正方向でも負方向でも、1/x→0、1/x²→0です。分母の極限は2でゼロではないので、商の極限を取れます。

lim[x→+∞] f(x) = (4 + 0)/(2 - 0) = 2
lim[x→-∞] f(x) = (4 + 0)/(2 - 0) = 2

両方向で2となることを元の式へ戻して見るため、2との差を計算します。

f(x) - 2 = (4x² + x - 2(2x² - 3))/(2x² - 3)
         = (x + 6)/(2x² - 3)
         = (1/x + 6/x²)/(2 - 3/x²)

最後の商は両方向で0に近づきます。これは求めた値2との差が消える確認です。図2に対応する関数値は、x=-6で2、x=-3で11/5、x=3で13/5、x=6で50/23です。有限の点では、極限値2と異なる値を取ることもあります。

図2の横線は値2を表し、点はx = -6、-3、3、6での値です。負方向の点は必ず下側、正方向の点は必ず上側という規則ではありません。差の分子x + 6も符号を変えるためです。極限は十分遠くでの近づき方を述べており、途中の値をすべて指定するものではありません。

標準例題：次数差が1のとき

次の関数について、x→+∞とx→-∞の極限をそれぞれ、正の無限大または負の無限大で答えてください。

g(x) = (x³ + 2)/(x² + 1)

分母x² + 1はすべての実数xで正です。分子の次数は3、分母は2なので、まずx²で割ります。無限遠の近くではxはゼロでないため、この変形が使えます。

g(x) = (x + 2/x²)/(1 + 1/x²)
     = x(1 + 2/x³)/(1 + 1/x²)

最後の分数の分子と分母は両方向で1に近づきます。したがってその分数は両方向で1に近づき、十分遠くでは正で、たとえば1/2より大きく2より小さくなります。xが正方向で大きくなると積も正に限りなく大きくなり、xが負方向で絶対値を増すと積は負に限りなく大きくなります。

lim[x→+∞] g(x) = +∞
lim[x→-∞] g(x) = -∞

商を別の形で確かめると、元の分子と分母との関係も見えます。

g(x) = x + (2 - x)/(x² + 1)
(2 - x)/(x² + 1) = (2/x² - 1/x)/(1 + 1/x²)

右辺の余分な分数は両方向で0に近づきます。よってg(x)はxとの差を0に近づけながら、それぞれの方向へ進みます。負方向ではx自体が負なので、最高次項の商を正の無限大と決めてはいけません。商がxに近いという事実と、xがどちらへ動くかを最後まで一緒に書きます。

発展例題：文字で次数が変わる

実数aに対して、次の関数のx→+∞とx→-∞の極限を、有限値または正負の無限大で分類してください。

h(x) = (a x³ + (a - 1)x² + 2)/(x² + 4)

分母はすべての実数xで正です。分子のx³の係数aがゼロかどうかで次数が変わるため、最初にa ≠ 0とa = 0に分けます。

まずa ≠ 0とします。x ≠ 0で整理すると、次のようになります。

h(x) = (a x + (a - 1) + 2/x²)/(1 + 4/x²)
     = x(a + (a - 1)/x + 2/x³)/(1 + 4/x²)

xに掛かる分数は両方向でaに近づきます。aが正なら十分遠くでこの分数は正で、aが負なら負です。よって次の分類になります。

a > 0: x→+∞で+∞、x→-∞で-∞
a < 0: x→+∞で-∞、x→-∞で+∞

次にa = 0を元の式に戻します。先ほどの「aと同じ符号」という説明はa = 0には使えません。

h(x) = (-x² + 2)/(x² + 4)
     = (-1 + 2/x²)/(1 + 4/x²)

したがって、両方向の極限はともに-1です。実際に元の式との差を取ると次の通りです。

h(x) - (-1) = (-x² + 2 + x² + 4)/(x² + 4)
             = 6/(x² + 4)

この差は両方向で0に近づきます。a = 0を一般の場合の符号表の空白に放置せず、次数を読み直すことが境界の確認です。a = 1ではx²の項が消えますが、x³の係数は正のままなのでa > 0の分類に入ります。下の次数の項が消えても最高次の項が残るなら、分類を増やす必要はありません。

誤答を直す：負方向でxを落とさない

標準例題で「x³もx²も無限大だから、商は+∞」とする答案を考えます。この書き方では負方向のx³が負になることと、次数差1が残すxを見失っています。無限大を数のように割る操作も根拠になりません。

図3のように、分子と分母をx²で割った後にもxが残ります。残りの分数は1に近づく正の因子なので、十分遠くで商の符号を決めるのはxです。

図3の右側ではxが正、左側ではxが負です。たとえばx = -10を元の式に入れると、分子は-998、分母は101で、値は負です。1点の代入だけで極限は証明できませんが、符号の誤りを見つける点検には役立ちます。修正した答案には、正の因子が1に近づく理由と、左右の方向を別々に記します。

次数差が偶数なら常に正の無限大になる、という修正も不十分です。負の最高次係数を持つ分子なら、正の偶数乗に負の係数比が掛かります。さらに文字係数がゼロになる場合は次数差そのものを計算し直します。分母の符号と係数を確かめた後に方向を判定してください。

練習：5つの異なる判断

各問で指定した方向の極限を、有限値は分数または整数で、発散する場合は+∞または-∞で答えてください。文字は実数とします。

1. x→+∞とx→-∞で、(3x² − 5)/(7x² + 2x + 1)の極限を求めてください。
2. x→+∞とx→-∞で、(2x + 3)/(x² + 9)の極限を求めてください。
3. x→+∞とx→-∞で、(-3x³ + 1)/(x² + 5)の極限を求めてください。
4. x→+∞とx→-∞で、(2x⁴ − 1)/(x² + 2)の極限を求めてください。
5. x→+∞とx→-∞で、(t x² + 4x + 1)/(x² + 3)の極限をtで表してください。

答えと解き方

1. 分母は7(x + 1/7)² + 6/7で常に正です。x²で両辺を割ります。

(3x² - 5)/(7x² + 2x + 1)
= (3 - 5/x²)/(7 + 2/x + 1/x²)
→ 3/7

両方向で答えは3/7です。元の式から3/7を引けば、分子は-6x − 38、分母は7(7x² + 2x + 1)です。その商は両方向で0に近づき、答えに戻ることを確かめられます。

2. 分母x² + 9は常に正です。x²で割ります。

(2x + 3)/(x² + 9)
= (2/x + 3/x²)/(1 + 9/x²)
→ 0

正負どちらでも答えは0です。分子の次数が低く、分母がゼロへ向かわないので、元の商そのものが0に近づきます。

3. 分母x² + 5は常に正です。xを外に出します。

(-3x³ + 1)/(x² + 5)
= x(-3 + 1/x³)/(1 + 5/x²)

掛かる分数は-3に近づき、十分遠くで負です。したがって正方向の答えは-∞、負方向の答えは+∞です。元の分子は正方向で負、負方向で正となり、正の分母と合わせた符号も一致します。

4. 分母x² + 2は常に正です。x²を外に出します。

(2x⁴ - 1)/(x² + 2)
= x²(2 - 1/x⁴)/(1 + 2/x²)

分数は2に近づき、x²は両方向で正に限りなく大きくなります。答えは両方向とも+∞です。元の分子も十分遠くで正、分母も正であり、符号が合います。

5. 分母x² + 3は常に正です。tは固定した実数としてx²で割ります。

(t x² + 4x + 1)/(x² + 3)
= (t + 4/x + 1/x²)/(1 + 3/x²)
→ t

両方向の答えはtです。t = 0でも同じ式が成り立ち、値は0です。元の式からtを引くと(4x + 1 − 3t)/(x² + 3)となり、どの固定したtでも両方向で0に近づきます。文字がゼロになる境界もこの式で確認できます。

要点

• 分母が十分遠くでゼロにならないことを確認します。
• 分子と分母を同じxの乗数で割り、次数差を読みます。
• 奇数乗の符号は無限遠の方向で変わります。
• 文字が最高次係数を消す場合は元の式から調べます。

途中式のどこを見るか

同じ次数なのに極限が係数の比にならないときは、分子だけを割っていないかを確認します。次数差があるのに両方向を同じ符号にした答案では、残ったxの乗数と係数の符号を別々に書いてもらうと、符号を落とした位置が見えます。

個別指導では、まず分母のゼロを避ける範囲を説明できるか、次に文字の境界を元の式に戻せるかを確かめます。有限値を得た場合には元の式との差、発散する場合には十分遠くでの符号と大きさを示せるかを見ます。方向と係数を最後まで残すと、分数関数の無限遠の振る舞いが読めます。