高校数学IIIの極限を掘り下げる｜数列・無限級数・関数の極限と連続性｜武蔵野個別指導塾

数列の収束と発散から、無限等比数列、無限級数、関数の左右極限、三角関数と指数対数の極限、連続性と中間値の定理へ進む30本の目次です。理系の高3に向けて、基本・標準・発展の例題と練習問題を通じ、式変形の選び方と定理を使う条件を入試の標準まで確かめます。

収束と発散の区別が曖昧なら数列の最初から、部分和と一般項を取り違えるなら無限級数から読んでください。漸化式では極限の候補を求める前に、項の範囲と誤差の変化を調べます。

関数の極限は左右の確認から始め、因数分解と有理化、無限遠、三角関数、指数対数の順に進みます。連続性と中間値の定理では、式の計算に加えて定義域と区間の条件を確認してください。

数列の極限と漸化式

• 高校数学III 数列の収束と発散—有限の極限値と無限大を区別して説明する
• 高校数学III 分数型数列の極限—最高次数で割る理由と分母の条件を確かめる
• 高校数学III 根号を含む数列の極限—有理化と次数比較を組み合わせて値を求める
• 高校数学III 数列のはさみうち—評価する式の選び方から極限の根拠を組み立てる
• 高校数学III 偶数項と奇数項の極限—二つの並びを調べて数列全体の収束を判定する
• 高校数学III 一次漸化式と極限—定数を引く変形から収束する条件まで調べる
• 高校数学III 根号の漸化式と極限—範囲を保つことと誤差の評価から収束を示す

無限等比数列と無限級数

• 高校数学III 無限等比数列の極限—公比の境界と初項ゼロの例外を分けて考える
• 高校数学III 文字を含む等比数列—収束範囲と境界の値を条件から絞り込む
• 高校数学III 無限級数の部分和—一般項と部分和の二つの極限を分けて読む
• 高校数学III 無限等比級数の和—有限の和から収束条件つきの公式を導く
• 高校数学III 無限等比級数の文字条件—収束範囲を確定してから和の方程式を解く
• 高校数学III 項が消える無限級数—部分和の端に残る項を追って和を求める
• 高校数学III 級数の収束の必要条件—一般項がゼロでも十分でない理由を確かめる
• 高校数学III 無限等比級数と図形—繰り返す長さや面積を初項と公比に直す

関数の左右極限と式変形

• 高校数学III 関数の左右極限—近づく向きとその点の値を分けて判定する
• 高校数学III 因数分解する関数の極限—約分の条件を残して不定形を解消する
• 高校数学III 有理化する関数の極限—根号の差と分母のゼロを同時に整理する
• 高校数学III 分数関数の無限遠の極限—正負の方向と最高次項から振る舞いを読む
• 高校数学III 根号関数の無限遠の極限—絶対値を残す有理化で正負の違いを見抜く
• 高校数学III 無限大になる関数の極限—分母の符号表で左右の発散を判定する

三角関数・指数対数の極限

• 高校数学III 正弦の基本極限—弧度法とはさみうちから式の整え方を学ぶ
• 高校数学III 余弦と正接の極限—恒等式で正弦の基本極限へ結びつける
• 高校数学III 合成した三角関数の極限—内側がゼロへ向かうことを確かめて置換する
• 高校数学III 指数関数の極限—自然対数の底を使う基本形へ変形して求める
• 高校数学III 対数関数の極限—真数条件と底を確かめて基本形へ直す
• 高校数学III 一の無限大乗の極限—底と指数を一組にして自然対数の底へつなぐ

連続性と中間値の定理

• 高校数学III 一点での連続性—関数値と左右の極限の三つを別々に確かめる
• 高校数学III 連続になる文字条件—接続点の左右と関数値から条件式を立てる
• 高校数学III 中間値の定理—区間の連続性と端の符号から解の存在を示す

解けなかった問題では、変形を選べなかった箇所と条件を確認し忘れた箇所を分けてノートに残してください。近い型の例題に戻り、自分の途中式で根拠を説明してから練習へ進めます。