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高校数学III 指数関数の極限—自然対数の底を使う基本形へ変形して求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 極限を掘り下げる

底が5の式や指数式どうしの商で、分母と照らし合わせるのは指数です。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで一般の底を含む指数関数の商を見て、底が何であっても極限を1と書いてしまう場面です。分子と分母がともに0へ向かうことは同じでも、分子が0へ近づく速さは底で変わります。底をeに直し、指数の係数が分母とどう対応するかを書き残すと、答えに現れる数の理由が見えてきます。ここでは指数関数の基本極限とその商を扱い、微分による計算には進みません。

学習指導要領の数学IIIの極限には、数列の極限、無限級数の収束・発散と和、関数の値の極限が含まれます。ここで使う自然対数は指数関数の逆関数として考えます。

要点（結論から）

(eʰ-1)/hはh→0で1に近づきます。
eの指数を分母に合わせたら、その倍率を外に残します。
aˣはeの(x log a)乗に直し、底の正値と1でない条件を見ます。

どこを基本形に合わせるか

出方は大きく3つに分けられます。1つ目は分子がeの指数式で、分母がxの形です。指数の中にある係数と分母が一致するように、分子と分母に同じ数を掛けた形へ直します。その係数を外に残すことが計算の中心です。

2つ目は底がe以外の正の数である形です。aˣをeの指数式にする際には、指数がxのままではなく、x log aになると読み替えます。ここでlogは自然対数を表します。aが1より大きければlog aは正、0より大きく1より小さければ負です。この符号は極限にも残ります。

3つ目は分子と分母がそれぞれ指数式の差である商です。それぞれをxで割って基本形に直し、分母側の極限が0でないことを確かめます。最初に形式的に0/0と書くだけでは値は決まりません。近くの点で元の分母が0でないか、分母側がどの値へ向かうかを調べてから商の極限を使います。

自然対数の底と基本極限

eは、正の整数nに対して(1+1/n)のn乗を考えたときの極限として導入される数で、1より大きい正の数です。ここで用いる自然対数log yは、y > 0に対しeの何乗がyになるかを表します。eˣは実数全体で連続、log yは正の範囲で連続であり、両者は互いに逆の関係です。

指数の基本極限を使う前に、その根拠を確認します。eを使う標準的な極限として、tが0に近づき、tが0でないとき、(1+t)の1/t乗はeに近づきます。tは0の十分近くでは1+t > 0なので、この実数乗は定義されます。これは正側と負側の両方から成り立つ基本事実です。

この式に自然対数を取り、正の値の近くでの対数の連続性を使うと、次のようになります。

lim[t→0] log((1+t)の1/t乗) = log e
lim[t→0] log(1+t)/t = 1

次にh→0としてt = eʰ-1と置きます。指数関数の連続性からt→0です。eʰは単調なので、hが0でなければtも0ではありません。log(1+t) = log(eʰ) = hですから、分母が0でないところで次の変形ができます。

(eʰ-1)/h = t/log(1+t)
             = 1/(log(1+t)/t)
lim[h→0] (eʰ-1)/h = 1

逆数にする前に、括弧の中の極限が1で、0でないことを確かめています。数値をいくつか代入するだけでは、この両側からの極限は証明できません。上の導出では、底が正である条件、連続性、逆関数の関係を順番に使っています。

図1のように、元の文字が0へ近づくと指数の中のhも0へ近づきます。ただし、hと元の分母が同じとは限りません。基本形に入る部分と、その外に残る倍率を別々に見ることが大切です。

例えばh = cxで、cが0でない定数なら、xが0でないときhも0でなく、(eᶜˣ-1)/x = c(eᶜˣ-1)/(cx)です。したがって極限はcです。c = 0はこの約分を使えませんが、元の分子は常に0なので、xが0でない範囲では商も0です。別に調べれば同じ結論が得られます。

一般の底aについては、a > 0、a ≠ 1とします。このときaˣ = eの(x log a)乗であり、log aは0でありません。0 < a < 1ならlog a < 0なので、指数の内側が負側から近づく場合があります。それでも基本極限は両側で成り立つため、向きの違いを含めて扱えます。

基本例題：指数の係数を残す

問題：x ≠ 0で定義される(e³ˣ-1)/xについて、x→0の極限を整数で求めてください。

元の式はx = 0で分母が0です。したがって、その点で割り算を実行するのではなく、0に近いx ≠ 0で式を変形します。3x ≠ 0なので、次の各行は元の条件のもとで等しい式です。

(e³ˣ-1)/x
= 3(e³ˣ-1)/(3x)

h = 3xと置くと、x→0に伴いh→0、またx ≠ 0ならh ≠ 0です。基本極限を用いると次の通りです。

lim[x→0] (e³ˣ-1)/x
= 3 lim[x→0] (e³ˣ-1)/(3x)
= 3 lim[h→0] (eʰ-1)/h
= 3・1
= 3

図2のように、分母をxから3xに合わせたとき、外に3を残します。分母だけを3倍して外の3を書かなければ、元の式の3分の1になってしまいます。逆に、外の3と分母の3を相殺すれば最初の商に戻るため、変形前の問題を保っています。

左右も確かめてみます。xが負でも3xは負であり、基本極限は負側からも1に近づきます。xが正のときも同じ極限なので、指定された両側の極限は3です。分子は0に近づきますが、分母も同時に0に近づくため、分子の極限だけを見て0とは答えられません。

標準例題：底をeに直す

問題：x ≠ 0で定義される(5ˣ-1)/xについて、x→0の極限を自然対数を含む正確な式で求めてください。

5は正で1ではなく、log 5は正の定数です。5ˣ = eの(x log 5)乗と書けます。指数をh = x log 5と置くと、x→0でh→0となり、x ≠ 0ならh ≠ 0です。以下ではeの(x log 5)乗を省略せずに書きます。

(5ˣ-1)/x
= {eの(x log 5)乗 - 1}/x
= (log 5){eの(x log 5)乗 - 1}/(x log 5)

分母にlog 5を掛け、その分を外に掛けています。各変形はlog 5 ≠ 0を用いています。hについての基本極限へ戻すと、次の値が得られます。

lim[x→0] (5ˣ-1)/x
= (log 5) lim[h→0] (eʰ-1)/h
= log 5

元の問題に戻すと、底5は1より大きいため、x > 0なら分子も正、x < 0なら分子も負です。商は両側で正なので、log 5 > 0という答えの符号と合います。底をeに直しても係数が1になるとは限らず、底の違いはlog 5として残ります。

もし底が0より大きく1より小さい場合は、log aが負になることも見落とせません。xが正ならaˣ-1は負、xが負なら正なので、商は両側で負です。一般底の計算では、値だけでなくこの符号も元の式へ戻して照合できます。底が1なら分子は常に0ですが、log aを分母に使う変形はできません。底が0以下の実数乗は実数全体で同じように定義できないので、正の底を前提にします。

発展例題：2つの指数式を比べる

問題：x ≠ 0で定義される(e²ˣ-1)/(e⁷ˣ-1)について、x→0の極限を既約分数で求めてください。

まず元の分母を調べます。eᵘ = 1となる実数uは0なので、e⁷ˣ-1 = 0となるのはx = 0です。よって、0に近いx ≠ 0では商が定義されています。分子と分母を同じxで割り、それぞれ基本形に合わせます。

(e²ˣ-1)/(e⁷ˣ-1)
= {(e²ˣ-1)/x}/{(e⁷ˣ-1)/x}
= {2(e²ˣ-1)/(2x)}/{7(e⁷ˣ-1)/(7x)}

x→0では2xと7xがともに0へ近づきます。x ≠ 0ならどちらも0でないので、2つの括弧に基本極限を適用できます。

lim[x→0] (e²ˣ-1)/x = 2・1 = 2
lim[x→0] (e⁷ˣ-1)/x = 7・1 = 7
lim[x→0] (e²ˣ-1)/(e⁷ˣ-1)
= 2/7

商の極限を取るとき、分母側の極限は7であり0ではありません。これが2/7に進める理由です。もとの分母の極限は0ですが、分子と分母を同じxで割った後の分母は7へ向かいます。どの式の分母について条件を確かめているか、行ごとに区別します。

この結果も元の式に戻して点検できます。x > 0では分子と分母がともに正、x < 0ではともに負なので、商は両側で正です。答え2/7の符号と矛盾しません。また、係数2と7を取り違えれば7/2になるため、分子側が2、分母側が7と元の位置へ戻して確認します。

誤答から、分母に残すものを見直す

誤答の例は、標準例題で「底をeに直すと指数はxのままだから、極限は1」とするものです。実際には5ˣ = eの(x log 5)乗です。元の値が等しいかを試すと、x = 1で左辺は5ですが、指数をxのままにした右辺はeです。同じ式への変形になっていないことがわかります。

図3のように、底を変える矢印の後で指数の中にlog 5を置きます。さらに基本形の分母をx log 5に合わせるため、外側にもlog 5が必要です。変形を戻したとき、外側と分母のlog 5が消えて元の商になるかを見ます。

もう1つの誤りは、発展例題で分子と分母の極限がともに0だから商も0と結論することです。0/0は値を表さず、そのまま商の極限の法則を適用できません。両方をxで割り、割った後の分母の極限が0でないかを確認すれば、基本形から結論を出せます。

また、指数の係数が負の場合に、基本極限は正側でしか使えないと思い込むこともあります。hが0に近づく向きは変わりますが、基本極限は左右とも1です。外側に残った負の係数が、最終的な符号を決めます。

練習問題：条件と倍率を書き出す

次の5問では、いずれもx→0を考えます。元の式が定義されるx ≠ 0の範囲で変形し、指定した形で極限を答えてください。5問を先に解き、指数の中と分母を見比べてから解答へ進みます。

(e⁻⁴ˣ-1)/xの極限を整数で求めてください。
(3の2x乗 − 1)/xの極限を自然対数を含む正確な式で求めてください。
(e⁵ˣ-1)/(e⁻²ˣ-1)の極限を既約分数で求めてください。
(eのx²乗 − 1)/x²の極限を整数で求めてください。
(7ˣ-1)/(2ˣ-1)の極限を自然対数を含む正確な式で求めてください。

練習問題の答えと解き方

指数の中をh = -4xとします。x ≠ 0ならh ≠ 0で、x→0に伴ってh→0です。

(e⁻⁴ˣ-1)/x
= -4(e⁻⁴ˣ-1)/(-4x)
lim[x→0] (e⁻⁴ˣ-1)/x
= -4・1
= -4

元の式ではx > 0なら分子が負、x < 0なら分子が正です。商は両側で負となり、求めた値の符号に合います。負の係数は、基本形に含めた後に外へ残ります。

底3は正で1以外です。3の2x乗はeの(2x log 3)乗と書け、log 3 ≠ 0なので次の変形ができます。

(3の2x乗 - 1)/x
= {eの(2x log 3)乗 - 1}/x
= 2 log 3・{eの(2x log 3)乗 - 1}/(2x log 3)
lim[x→0] (3の2x乗 - 1)/x
= 2 log 3

x→0で2x log 3→0です。外の係数と分母の係数を消せば元の商に戻り、底3と指数2xの両方が答えに反映されています。

e⁻²ˣ-1はx ≠ 0で0ではありません。各部分をxで割り、負の指数も基本形に合わせます。

(e⁵ˣ-1)/(e⁻²ˣ-1)
= {(e⁵ˣ-1)/x}/{(e⁻²ˣ-1)/x}
= {5(e⁵ˣ-1)/(5x)}/{-2(e⁻²ˣ-1)/(-2x)}
lim[x→0] (e⁵ˣ-1)/(e⁻²ˣ-1)
= 5/(-2)
= -5/2

割った後の分母の極限は-2で、0ではありません。元の商は左右とも分子と分母の符号が逆なので、負の答えと一致します。

h = x²と置くと、x ≠ 0でh > 0、x→0でh→0です。ここではhは正側から近づきますが、両側で成り立つ基本極限の正側を使えます。

(eのx²乗 - 1)/x²
= (eʰ-1)/h
lim[x→0] (eのx²乗 - 1)/x²
= 1

xが正でも負でも同じx²を与えるため、元の商は左右で同じ値を取ります。分母にxではなくx²があるので、指数そのものに対応している点が決め手です。

底7と底2はともに正で1以外です。特に2ˣ-1はx ≠ 0で0ではありません。それぞれeを底に直してから、同じxで割ります。

(7ˣ-1)/(2ˣ-1)
= {(7ˣ-1)/x}/{(2ˣ-1)/x}
= [(log 7){eの(x log 7)乗 - 1}/(x log 7)]
  /[(log 2){eの(x log 2)乗 - 1}/(x log 2)]
lim[x→0] (7ˣ-1)/(2ˣ-1)
= (log 7)/(log 2)

割った後の分母はlog 2 > 0へ近づきます。元の商も左右で正なので、正の対数どうしの比という結果に合います。外に残す係数は、それぞれ元の分子と分母に対応させます。