高校数学III 合成した三角関数の極限—内側がゼロへ向かうことを確かめて置換する｜武蔵野個別指導塾

sin(sin(3x))/xの分解とx sin(1/x)の評価を比べ、置換の条件から合成した三角関数の極限に迫ります。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで、三角関数の内側が発散している式にも正弦の基本極限を当てる場面です。たとえばxが0に近づくとき、1/xは0に近づきません。それでもsin(1/x)は-1と1の間に収まります。内側の動きと外側の値の範囲を分ければ、使える道具が見えてきます。

ここで扱うのは、関数の値の極限のうち、三角関数の内側に別の式が入る場合です。角度は弧度法で表します。学習指導要領の数学IIIの極限には関数の値の極限が含まれます。微分や級数展開には進まず、基本極限と不等式で考えます。

何を先に見るか

出方の1つは、sin u/uのuにx²などが入る形です。uが0へ近づき、さらに考える範囲でuが0でなければ、基本極限を使えます。分子と分母に同じ内側の式があるかを見ます。

もう1つは、sin(sin(3x))/xのように内側が重なる形です。外側の正弦について基本形を作った後、残った比も別に調べます。途中で割る式が0にならないことを確認してから分解します。

3つ目は、sin(1/x)のように内側が0へ向かわない形です。基本極限の置換は使えませんが、正弦の値が一定の範囲にあることは使えます。掛けられた係数が0へ向かうなら、その範囲ごと縮めて評価できます。

内側と外側を分ける

基本極限はlim[t→0] (sin t)/t = 1です。ただしtは弧度法で表した実数で、比はt ≠ 0で考えます。tが負の側から0に近づく場合も含みます。この公式はsin tそのものをtと等しいとする式ではなく、比が1に近づくという主張です。

x→0でu(x)→0となり、0に十分近いxについて、x ≠ 0ならu(x) ≠ 0とします。このとき、t = u(x)と置いて、(sin u(x))/u(x)→1です。u(x)が正側からしか近づかなくても、左右から近づいても構いません。必要なのは内側が0に近づき、比が定義されることです。

図1のように、まず矢印の出発点と到着点を確認します。内側が0に向かう経路と、内側が発散する経路とでは、使う根拠が異なります。

図1の上段では基本極限へ進めます。下段では、正弦が常に-1以上1以下という性質から評価を考えます。内側の極限が存在しない場合にも、この範囲の評価は成立します。反対に、内側が0に向かうことを確かめず、分母だけを見て基本極限を使うことはできません。

分解のためにuで割るとき、u = 0となる点は必ず確認します。元の式が定義されていても、変形後の式はその点で定義されないことがあります。0の近くで0以外の点をすべて含む範囲で等式が成り立てば、そこで極限を調べられます。途中に0となる点が無限にあっても0に近づく場合には、単純に割ることはできず、別の評価や場合分けが必要です。

基本例題：内側を一まとまりにする

弧度法で、次の極限を整数で求めてください。

lim[x→0] sin(x²)/x²

x ≠ 0ならx² ≠ 0です。またx→0でx²→0です。そこでt = x²と置くと、tは正の側から0に近づきます。基本極限は両側から成り立つので、正の側にも使えます。

sin(x²)/x² = (sin t)/t
lim[x→0] sin(x²)/x² = lim[t→0+] (sin t)/t
= 1

答えは1です。図2のように、xの符号が異なってもx²は正です。内側が0に近づく向きは片側ですが、基本極限の値は変わりません。

元の式ではx = 0が分母を0にするため、そこでの値はありません。それでも、0以外の点での値が1に近づくことを問えます。図2の左右の経路は入力の向きを表し、比の値がx²と等しいという意味ではありません。

分母がxだった場合は事情が変わります。sin(x²)/x = {(sin(x²))/x²}・xと因数を補うと、右辺は1に近づく因数と0に近づく因数の積です。分母の次数を見ずに答えを1とすると、残ったxを落としてしまいます。変形後の因数をすべて残すことが、係数の取り違えを防ぎます。

標準例題：二重の正弦をほどく

弧度法で、次の極限を整数で求めてください。

lim[x→0] sin(sin(3x))/x

外側の内側に当たるsin(3x)は、x→0で0に近づきます。また0 < |x| < π/3なら0 < |3x| < πですから、sin(3x) ≠ 0です。この範囲で分母を作り、2つの比に分けます。

sin(sin(3x))/x
= {sin(sin(3x))/sin(3x)}・{sin(3x)/x}
= {sin(sin(3x))/sin(3x)}・{sin(3x)/(3x)}・3

1つ目はt = sin(3x)と置くと、t→0なので1に近づきます。2つ目はs = 3xと置いて1に近づきます。最後の3は、分母を3xに変えるために補った因数です。

lim[x→0] sin(sin(3x))/x
= 1・1・3
= 3

答えは3です。内側の正弦を丸ごと消して1と答えた場合、外側の比の極限は読めていますが、内側と元の分母の比が残っています。逆に、sin(3x)/xだけを3と判定し、外側の比の存在を説明しないと、二重の正弦がどの条件で処理できるかが曖昧になります。各因数の分母と、その分母が0へ向かうことを書き分けます。

元の分母はxなので、問題の式はx ≠ 0で定義されます。分解に使ったsin(3x)の零点は0以外にもありますが、十分小さい近傍には0以外の零点がありません。極限は0の近くの値で決まるため、遠くの零点を除くための特別な操作は不要です。

発展例題：振動を範囲ごと縮める

弧度法で、次の極限を整数で求めてください。

lim[x→0] x sin(1/x)

元の式はx ≠ 0で定義されています。x→0+なら1/x→+∞、x→0-なら1/x→-∞です。どちらも0に向かわないので、t = 1/xとして正弦の基本極限を適用することはできません。

それでも、実数の角に対して正弦の値は-1以上1以下です。xが負のときに不等号の向きを間違えないよう、絶対値で評価します。

-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1
|sin(1/x)| ≤ 1
|x sin(1/x)| ≤ |x|
-|x| ≤ x sin(1/x) ≤ |x|

x→0の両側で、-|x|と|x|はいずれも0に近づきます。はさみうちの原理により、間にある式も0に近づきます。

lim[x→0] x sin(1/x) = 0

答えは0です。この結論はsin(1/x)が何か1つの値に近づくという意味ではありません。実際、正の整数nについて、xₙ = 1/(π/2 + 2πn)ならsin(1/xₙ) = 1です。一方、yₙ = 1/(3π/2 + 2πn)ならsin(1/yₙ) = -1です。どちらも0に近づくのに正弦の値は異なるため、sin(1/x)自体は0での極限を持ちません。

それでも積については、xₙ sin(1/xₙ) = xₙとyₙ sin(1/yₙ) = -yₙがどちらも0に近づきます。2つの列を調べたことだけでは積の極限の証明にはなりませんが、上の不等式は0に近いあらゆるxを扱います。振動が止まるのではなく、振幅を抑える|x|が0へ縮むことが決め手です。

誤答を直す：公式の入口を点検する

次の推論は誤りです。

x→0なら1/x→0
したがって sin(1/x)/(1/x)→1
よって x sin(1/x)→1

最初の行が誤りです。1/xは正側と負側でそれぞれ正負の無限大へ向かいます。基本極限の入力が0に近づくという条件を満たしません。なお、x sin(1/x) = sin(1/x)/(1/x)という等式自体はx ≠ 0で正しいので、式変形の正しさと公式の適用条件を別々に点検する必要があります。

図3のように、内側の行き先が0でないときは基本極限への矢印を止め、正弦の値域から積を評価します。図の幅は数値を表すグラフではなく、確認の順番を表しています。

別の誤りとして、sin(1/x)が振動するから積も極限を持たないと決めることがあります。係数xが付いた元の式まで戻り、絶対値が|x|以下であることを確認してください。内側の極限がない場合でも、外側の値が有界で係数が0に近づけば、積は0へ近づきます。

一方、係数が0に近づかなければ、同じ結論は出せません。たとえばsin(1/x)に1を掛けても振動は残ります。有界であることは、値が有限の範囲にあるというだけで、一定値への収束を保証しません。値域と極限は別の条件です。

練習：5つの式で条件を見分ける

角度は弧度法です。それぞれの極限を正確な整数または分数で求めてください。途中で割る式の零点にも注意します。

1. lim[x→0] sin(4x²)/x²
2. lim[x→0] sin(sin(5x))/(2x)
3. lim[x→0] sin(x³)/(x²)
4. lim[x→0] x² cos(2/x)
5. lim[x→0] sin(x + x²)/x

解答と解き方

1. x ≠ 0で4x² ≠ 0、また4x²→0です。対応する分母を補います。

sin(4x²)/x² = {sin(4x²)/(4x²)}・4
lim[x→0] sin(4x²)/x² = 1・4
= 4

元の分母はx²なので、補った4は消えません。xの両側で内側が正側から0へ向かうことも条件に合います。

2. 0 < |x| < π/5ならsin(5x) ≠ 0です。2つの基本形に分けます。

sin(sin(5x))/(2x)
= {sin(sin(5x))/sin(5x)}・{sin(5x)/(5x)}・5/2
lim[x→0] sin(sin(5x))/(2x) = 1・1・5/2
= 5/2

分母の2xに戻すと、補う倍率は5/2です。sin(5x)→0なので外側の比にも基本極限を適用できます。

3. x ≠ 0でx³ ≠ 0です。基本形にした後、余る因数に注目します。

sin(x³)/x² = {sin(x³)/x³}・x
lim[x→0] sin(x³)/x² = 1・0
= 0

x³はxの符号に従って0へ向かいます。左右とも基本極限を使え、残るxも左右から0へ近づきます。

4. 内側の2/xは0へ向かいません。余弦の値域を使います。

|cos(2/x)| ≤ 1
|x² cos(2/x)| ≤ x²
-x² ≤ x² cos(2/x) ≤ x²
lim[x→0] x² cos(2/x) = 0

左右の端が0へ向かうので、はさみうちが使えます。余弦の値そのものの収束を仮定していません。

5. u = x + x² = x(1+x)と置きます。0 < |x| < 1/2ではx ≠ 0かつ1+x ≠ 0なのでu ≠ 0です。またu→0です。

sin(x + x²)/x
= {sin(x + x²)/(x + x²)}・(x + x²)/x
= {sin(x + x²)/(x + x²)}・(1 + x)
lim[x→0] sin(x + x²)/x = 1・1
= 1

分解に使ったx + x²はx = -1でも0になりますが、その点は選んだ0の近傍の外です。元の分母xとの比が1 + xになることまで確認します。

要点

内側が0へ向かい、割る式が0でない近傍で正弦の基本極限を使います。 内側と元の分母が違えば、その比を別の因数として残します。 内側が発散する場合は、三角関数の値域と係数を調べます。 有界であることと、極限が存在することは区別します。

途中式のどこを見直すか

置換後に答えがずれるときは、まずtと置いた式の行き先を確認します。t→0が書かれていないなら、内側にx = 0を代入できるか、または別の評価が必要かを調べます。次に、分母を補った行で元の式と右辺が等しいかを見ます。ここで残った倍率を失うと、基本極限自体を正しく覚えていても答えが変わります。

個別指導では、sin(sin(3x))/xを分解した本人の式を見て、sin(3x)が近傍で0にならない理由を口にできるかを確かめます。x sin(1/x)では、xが負の場合も含む絶対値評価を書けるかを見ると、振動と積の収束を分けて捉えているかが見えます。内側の動きを確かめて選んだ根拠が、合成された式の極限を支えます。