高校数学III 一般の底の指数関数の微分—自然指数へ直して係数を確かめる｜武蔵野個別指導塾

底が1より小さい場合も、自然対数の係数と合成関数の内側をたどり、符号まで追う一般底の指数微分です。

よくあるのは、演習ノートで指数関数を微分するとき、底の自然対数を掛け忘れるという場面です。eˣを微分してもeˣのままなので、ほかの底でも同じ形にしたくなります。しかし底が変わると、指数が同じだけ変化したときの関数値の変わり方も変わります。自然指数に書き換え、その指数の変化率を追えば、必要な係数と符号を同時に確認できます。

要点（結論から）

• 正の定数 a について aˣ = e の (x log a) 乗です。
• aˣ の導関数は aˣ log a です。
• 指数が g(x) なら、さらに g′(x) を掛けます。

どこで底を意識するか

最初の出方は、一定の底を持つ aˣ の導関数を求める問いです。a は正の定数とし、ここでは 1 と異なるものを考えます。答えに aˣ が残る点は eˣ と似ていますが、係数 log a が付く点が異なります。以下、log は自然対数を表します。

次は指数が x 以外の式になっている問いです。例えば a の指数が一次式や二次式なら、底に由来する log a に加え、指数の式の導関数も必要です。指数そのものを微分して終えるのではなく、元の指数関数の値も掛け合わせます。

さらに、底が 0 と 1 の間にあるときの符号や、文字を含む底の条件を調べる問いがあります。底が正という条件を落とすと、実数全体で定義された指数関数として扱えない場合が混ざります。符号の判定では、正の因子と符号が変わり得る因子を分けて見ます。指数関数の導関数に焦点を当て、増減や最大・最小の問題には進みません。

自然指数に直すと何が掛かるか

正の定数 a に対し、自然対数 log a は定義されています。自然指数関数と自然対数関数は互いに逆の対応をするので、e の log a 乗は a です。実数 x に対して指数法則を使うと、次の表示が得られます。

aˣ = e の (x log a) 乗

ここで a は x によらない定数です。指数 u = x log a は実数全体で微分可能で、du/dx = log a です。外側の eᵘ も実数全体で微分可能であり、その導関数は eᵘ です。したがって合成関数の微分法を適用できます。

d(aˣ)/dx = d(eᵘ)/du ・ du/dx
          = eᵘ log a
          = aˣ log a

図1のように、底 a を自然対数に移した後は、指数 x log a の微分が係数を生みます。自然指数関数の微分公式を先に使い、そこから一般の底へ移しているので、一般の底の公式を自分自身の導出に使う循環はありません。

図1の左から右へ、関数の値を保った書き換えと、指数の微分を区別してください。e を底とする場合は log e = 1 なので、係数が見えなくなる理由もここから説明できます。

底が 1 より大きいと log a は正です。一方、0 < a < 1 では log a は負です。どちらでも aˣ は正なので、aˣ の導関数の符号は log a の符号に従います。a = 1 も定数関数 1 として微分でき、導関数は 0 です。この場合 log 1 = 0 と上の式は一致しますが、以下では問題の条件に合わせて 1 を除いて考えます。a = 0 や負の底は、この実数全体の指数関数の公式に入れません。

指数が微分可能な関数 g(x) なら、対象とする点の近くで g が微分可能であることを確かめて、同じ合成を使えます。

a の g(x) 乗 = e の (g(x) log a) 乗
その導関数 = a の g(x) 乗 ・ log a ・ g′(x)

ここでも a は正の定数です。底と指数の両方が変数である式に、この定数の底の公式をそのまま適用することはできません。指数が定数なら g′(x) = 0 ですから、導関数は 0 になります。式が元の関数の定義された点で計算されているかも、最後に戻って確かめます。

基本例題：指数が一次式のとき

関数 y = 5 の (2x − 1) 乗について、導関数と x = 1 における微分係数を求めてください。答えは自然対数を含む式で表します。

底 5 は正で 1 と異なり、指数 2x − 1 は実数全体で微分可能です。u = 2x − 1 と置くと、図2のように x から u、u から y の順に対応します。

図2の各矢印の変化率を掛けます。外側の微分では、指数 u を変数として扱います。

u = 2x - 1
du/dx = 2
y = 5ᵘ
dy/du = 5ᵘ log 5
dy/dx = 5ᵘ log 5 ・ 2
      = 2・5 の (2x - 1) 乗 ・ log 5

求める導関数は最後の式です。x = 1 を戻すと指数は 2・1 − 1 = 1 なので、微分係数は次のようになります。

y′(1) = 2・5¹・log 5
      = 10 log 5

元の関数でも x = 1 の値は 5¹ = 5 です。導関数の指数を先に 1 としてから計算したことと一致します。もし内側の係数 2 を掛けなければ、5 log 5 となり、指数が x の変化に対して 2 倍の速さで変わることを反映できません。反対に log 5 を落とすと、底に由来する変化率が欠けます。

標準例題：底が1より小さい場合

関数 y = (1/3) の (x² + x) 乗の導関数と、x = -1 における微分係数を求めてください。答えは自然対数を含む式で表します。

底 1/3 は 0 より大きく 1 より小さい定数です。指数 x² + x は実数全体で微分可能なので、合成関数の微分法が使えます。指数を u とすると次のようになります。

u = x² + x
du/dx = 2x + 1
y = (1/3) の u 乗
dy/du = (1/3) の u 乗 ・ log(1/3)
dy/dx = (1/3) の (x² + x) 乗 ・ log(1/3) ・ (2x + 1)

log(1/3) = -log 3 ですから、最後の式を負号を前に出して書いても同じです。x = -1 では指数は (-1)² + (-1) = 0、指数の導関数は 2・(-1) + 1 = -1 です。

y′(-1) = (1/3)⁰・(-log 3)・(-1)
       = log 3

元の関数に戻すと y = (1/3)⁰ = 1 です。底が 1 より小さいからといって、合成後の導関数が常に負とは限りません。この点では log(1/3) と指数の導関数がともに負なので、積は正です。例えば指数の導関数が 0 になる x = -1/2 では、元の関数は定義され、導関数も 0 です。底の符号と内側の符号を別々に判断します。

発展例題：底を文字で置いた条件

正の定数 a について、a ≠ 1 とします。関数 y = a の (x² − 4x) 乗の x = 0 における微分係数が -4 となる a を求めてください。答えは e を用いて表します。

指数 x² − 4x は全実数で微分可能なので、指定された x = 0 の周囲でも微分できます。底も指定された範囲で正なので、自然指数への書き換えと合成関数の公式が使えます。

y′ = a の (x² - 4x) 乗 ・ log a ・ (2x - 4)

x = 0 では元の指数が 0 となり、底を含む因子が 1 になります。指定の微分係数を代入し、自然対数と自然指数の逆の対応を使います。

y′(0) = a⁰・log a・(-4)
      = -4 log a
-4 log a = -4
log a = 1
a = e

得られた a = e は正で 1 と異なります。元の関数に代入すると x = 0 で y = e⁰ = 1、指数の導関数は -4 です。よって元の関数の微分係数は 1・1・(-4) = -4 となり、指定された条件を満たします。底の条件と微分係数の両方に戻して確かめます。

誤答から係数を取り戻す

基本例題で y′ = 2・5 の (2x − 1) 乗 とすると、内側の微分はありますが log 5 がありません。図3のように、外側と内側の変化率を別の欄に置くと、欠けた因子を特定できます。

図3の上段には指数の導関数 2 しかありません。下段では底に由来する log 5 と元の指数関数の値も掛けています。eˣ の導関数が eˣ であることを、底 5 の場合へそのまま移したのが誤りの原因です。修正するときは、まず 5 の u 乗を e の (u log 5) 乗と書き直し、u に関する微分で log 5 を回収します。

別の誤りは、底が 1 より小さいときに log a を正として計算することです。例えば標準例題の底では log(1/3) = -log 3 です。ただし内側の導関数にも負号があれば結果の符号は反転します。負号を先にまとめず、各因子の符号を記してから掛けると、二重の負号を落としにくくなります。

また、a が負のときに log a を実数として書く計算は成立しません。正の底という前提が崩れた場合は、公式を適用せず、与えられた関数がどの範囲で実数として定義されるかから調べ直します。式が書けたことと、条件の下で微分できることは別の確認です。

練習：問題

次の各問で底は定数とし、導関数は自然対数を用いた式で表してください。指定した点の値も求める場合は、厳密な式で答えてください。

1. y = 7 の (3x + 2) 乗の導関数と x = 0 の微分係数を求めてください。
2. y = (1/2) の (x² − 3x) 乗の導関数と x = 2 の微分係数を求めてください。
3. y = 4 の (x³ + 1) 乗の導関数と x = 0 の微分係数を求めてください。
4. y = 9 の (1 − 2x) 乗 + 2 の x 乗の導関数と x = 0 の微分係数を求めてください。
5. a > 0、a ≠ 1 とします。y = a の (x² + 3x) 乗が x = 0 で微分係数 6 を持つとき、a を e を使って表してください。

練習：解答と確認

1. 底 7 は正で、指数は一次式です。指数の導関数は 3 なので、次のようになります。

y′ = 7 の (3x + 2) 乗 ・ log 7 ・ 3
y′(0) = 7²・3 log 7
      = 147 log 7

元の関数に x = 0 を入れると y = 7² = 49 です。その値に log 7 と指数の導関数 3 を掛けた結果と一致します。

2. 指数の導関数は 2x − 3 です。底が正なので全実数で公式を使えます。

y′ = (1/2) の (x² - 3x) 乗 ・ log(1/2) ・ (2x - 3)
y′(2) = (1/2)⁻²・(-log 2)・1
      = -4 log 2

元の指数は 2² − 3・2 = -2 で、関数値は 4 です。内側の導関数が正で底の対数が負なので、答えが負であることも合っています。

3. 指数 x³ + 1 の導関数は 3x² です。底と指数はいずれも必要な条件を満たします。

y′ = 4 の (x³ + 1) 乗 ・ log 4 ・ 3x²
y′(0) = 4¹・log 4・0
      = 0

x = 0 で元の関数値は 4 ですが、関数値が正でも微分係数が正とは限りません。この点では指数の導関数が 0 なので積全体が 0 です。

4. 各項は実数全体で微分可能です。和の微分を使い、それぞれの底と指数に対応する因子を掛けます。

y′ = -2・9 の (1 - 2x) 乗 ・ log 9 + 2ˣ log 2
y′(0) = -2・9¹ log 9 + 2⁰ log 2
      = -18 log 9 + log 2

元の各項の x = 0 での値は 9 と 1 です。各項の微分係数を別に求めて足した結果が上の式に一致します。異なる底の対数を同じ係数としてまとめないようにします。

5. a の条件から log a は定義され、指数は実数全体で微分可能です。x = 0 で指数が 0 になることを使います。

y′ = a の (x² + 3x) 乗 ・ log a ・ (2x + 3)
y′(0) = 1・log a・3
3 log a = 6
log a = 2
a = e²

e² は正で 1 と異なり、指定の底の条件を満たします。元の関数に戻すと x = 0 で y = 1、指数の導関数は 3、log(e²) = 2 です。したがって微分係数は 1・2・3 = 6 となります。

要点

• 正の定数 a について aˣ = e の (x log a) 乗です。
• aˣ の導関数は aˣ log a です。
• 指数が g(x) なら、さらに g′(x) を掛けます。
• 0 < a < 1 なら log a は負ですが、合成後の符号は g′(x) にも左右されます。
• 底の条件と、微分する点での指数の微分可能性を先に確かめます。

手が止まったときの見分け方

式に指数関数の値は残っているのに符号が合わない場合は、底の対数と指数の導関数を別々に書いてみます。係数が足りない場合は、自然指数への書き換えで現れる log a と、内側の微分の両方があるかを見ます。個別指導で確認するときも、元の底が正か、指定点で指数が微分可能かを示し、対応する指数と関数値を代入して説明すると、誤りの位置を絞れます。例えば計算結果の各因子に、元の関数の値、底の対数、指数の導関数という名前を書き添える方法があります。どれかが 0 になる点では、ほかの因子が正でも積全体は 0 です。逆に、値が負になったときは指数関数の値ではなく、残る2因子の符号を見直します。条件が満たされない場合は式を機械的に延長せず、元の定義に戻って扱える範囲を確かめます。底と指数の役割を分ければ、指数微分の符号まで追えます。