高校数学III 自然対数関数の導関数—逆関数の公式から真数条件つきで導く｜武蔵野個別指導塾

真数が正の区間を先に決め、逆関数の対応と合成関数の微分から自然対数の傾きをたどります。

よくあるのは、演習ノートで対数の真数が負の点にも代入してしまう場面です。計算した導関数の式に数を入れる前に、元の関数がその点で定義されているかを調べます。分母が0でないことは必要ですが、それだけでは真数が正という条件を表せません。

ここでは log を底 e の自然対数とします。自然指数関数の逆関数として公式を導き、正の真数を持つ合成関数まで扱います。絶対値を含む対数や対数微分法には立ち入りません。

問いの形と最初の判断

自然対数の微分では、まず log x の導関数を逆関数の対応から説明する問いがあります。指数関数の入力と出力を逆にして、どの点で微分係数を取るかが焦点です。文字が同じでも、元の関数の入力と逆関数の入力は別の量です。

次に log g(x) の導関数と定義域を求める問いがあります。真数 g(x) が正になる区間を決めてから、外側の対数と内側の関数の変化を掛けます。分数の式を簡単にしても、元の条件は引き継ぎます。

さらに指定された点で微分係数を求める問いもあります。その点が定義域に入らなければ、公式の右辺に数を代入できても微分係数は存在しません。正の点、負の点、真数が0になる境界を区別することが計算の出発点です。

逆の対応から公式へ

自然指数関数 y = eˣ は実数全体で微分可能で、その導関数は eˣ です。また eˣ は常に正で、実数全体から正の実数全体への一対一の対応を与えます。その逆関数を y = log x と定めます。底 e は1より大きい定数であり、真数 x は正です。

逆関数の微分公式を使います。微分可能な関数 f とその逆関数が対応する点 a、b = f(a) の近くで定義され、f′(a) ≠ 0 なら、逆関数の b における微分係数は 1/f′(a) です。ここでは f(t) = eᵗ、b = eᵃ です。f′(a) = eᵃ > 0 なので分母は0になりません。逆の対応は a = log b です。

図1のように、指数関数では a から b へ、対数関数では b から a へ進みます。傾きの逆数を取るときも、対応する2点を組にして扱います。

図1の対応を式に戻すと、次のようになります。

b = eᵃ > 0
(log x の x = b における微分係数) = 1/eᵃ
                                      = 1/b

b は任意の正の実数です。したがって x > 0 で (log x)′ = 1/x です。x ≤ 0 では実数の自然対数が定義されないので、この式を導関数として使えません。右辺が負の x でも計算できることと、左辺が定義されることは別です。

次に g がある点の近くで微分可能で、そこで g(x) > 0 とします。微分可能な関数は連続なので、その点の十分近くでも真数は正です。外側の log は正の数の近くで微分可能ですから、合成関数の微分法を使えます。

u = g(x)
y = log u
dy/du = 1/u
du/dx = g′(x)
dy/dx = (1/u)g′(x)
      = g′(x)/g(x)

この公式の条件は g(x) > 0 です。g(x) ≠ 0 と書くだけでは、負の真数を除けません。逆に、真数が正でも g 自身がその点で微分可能かどうかは別に確認します。公式の分母に g が現れる理由は、対数の外側の導関数にあります。分子に現れる g′ は、内側の変化を掛けたものです。

条件を点と区間で読む

ある1点で微分係数を求めるときも、その点の関数値だけでなく、近くの点における値が必要です。差商には x と x + h の両方の関数値が現れるからです。g がその点で連続で、g(x) が正なら、十分小さい h に対して g(x + h) も正になります。こうして対数を含む差商を実数の範囲で考えられます。

境界で真数が0となる場合は、そもそもその点の対数がありません。片側から正の真数に近づけるとしても、境界の関数値がない以上、その点での通常の微分係数を計算することはできません。また、真数が負から正へ変わるかどうかは式によります。二次式なら因数分解や平方完成で符号を調べ、分数式なら分子と分母の両方の符号を調べます。

対数の公式を機械的に書く前に、内側の式を1つの関数と見てください。その関数の正負を調べる作業と、その関数を微分する作業は別です。正負が決まれば公式を使える範囲が定まり、微分すれば分子の係数が決まります。この2つを最後に組み合わせると、式と条件がそろいます。

基本例題：一次式を真数にする

次の関数の定義域と導関数を求め、指定点での微分係数を分数で答えます。y = log(3x − 2)、指定点は x = 2 です。

まず真数が正となる条件を解きます。直線の値が0になる点を境に符号が変わるため、図2のように右側が定義域です。境界では真数が0となるので含めません。

図2の指定点2は 2/3 より大きく、元の関数に入ります。条件と計算を順に書きます。

3x - 2 > 0
x > 2/3
u = 3x - 2
u′ = 3
y′ = (1/u)u′
   = 3/(3x - 2)
y′(2) = 3/(6 - 2)
      = 3/4

答えは、定義域 x > 2/3、導関数 y′ = 3/(3x − 2)、微分係数 3/4 です。指定点を元へ戻すと真数は 3・2 − 2 = 4 > 0 です。公式を適用した点が正しい範囲に入ることも確かめられます。

ここで 1/(3x − 2) とする答案は、内側の導関数3を落としています。一方、3/(3x − 2) に x = 0 を入れて得る数は、元の関数の微分係数ではありません。真数が -2 となり元の関数が実数で定義されないからです。式の計算ができる範囲と関数の定義域を並べて比べます。

標準例題：2つの区間を残す

関数 y = log(x² − 9) の定義域と導関数を求め、x = -4 での微分係数を分数で答えます。真数は二次式なので、正になる場所が1つの区間とは限りません。

x² - 9 > 0
(x - 3)(x + 3) > 0
x < -3 または x > 3

両側の区間で真数は正であり、内側の多項式は微分可能です。したがって各点で連鎖律を使えます。

u = x² - 9
u′ = 2x
y′ = (1/u)u′
   = 2x/(x² - 9)
y′(-4) = 2・(-4)/(16 - 9)
       = -8/7

定義域は x < -3 または x > 3、導関数はその範囲で 2x/(x² − 9)、指定された微分係数は -8/7 です。元の真数に -4 を戻すと 16 − 9 = 7 > 0 ですから、指定点は左の区間にあります。

たとえば x = 0 では分母は -9 で0ではありませんが、真数も -9 なので元の対数は定義されません。端点 x = 3 と x = -3 では真数が0です。分母が0になる点を除く操作だけでは、間の区間を除外しきれないことに注意します。

発展例題：商の真数と定義域

関数 y = log((x + 1)/(x − 2)) の定義域と導関数を求め、x = 3 における微分係数を分数で答えます。真数が分数なので、正負に加えて分母が0にならない条件も必要です。

符号が変わる候補は -1 と 2 です。x < -1 では分子と分母がともに負、-1 < x < 2 では分子が正で分母が負、x > 2 ではともに正です。x = -1 では真数が0、x = 2 では分母が0ですから、いずれも除きます。

(x + 1)/(x - 2) > 0
x < -1 または x > 2

この範囲では内側の分数関数が微分可能で、真数も正です。商の公式を使って内側を先に微分します。

u = (x + 1)/(x - 2)
u′ = {(x - 2) - (x + 1)}/(x - 2)²
   = -3/(x - 2)²
y′ = u′/u
   = {-3/(x - 2)²} / {(x + 1)/(x - 2)}
   = -3/{(x - 2)(x + 1)}
y′(3) = -3/{(3 - 2)(3 + 1)}
      = -3/4

定義域は x < -1 または x > 2 です。導関数はその範囲で -3/{(x − 2)(x + 1)}、指定点での値は -3/4 です。元の真数に x = 3 を戻すと 4/1 = 4 > 0 で、分母も0ではありません。

整理後の導関数は -1 と 2 以外でも式として計算できます。しかし、そのことから -1 < x < 2 に元の関数を延長してはいけません。約分は、もとの定義域の内側で式の値を変えない操作です。約分後の式に新たな点を代入する権利を与えるものではありません。

誤答を止める2つの点検

y = log(x² − 9) について「y′ = 2x/(x² − 9) だから x = 0 で y′ = 0」とする答案を考えます。微分の式自体は正しいものの、結論は誤りです。元の真数は -9 であり、x = 0 は定義域に入りません。図3のように、代入前に真数の符号を調べると誤りを止められます。

図3の右側の判断は、微分後の分母が0でないという検査より先に必要です。修正するには、x < -3 または x > 3 と明記し、指定点0では元の関数が定義されず微分係数も存在しないと答えます。

別の誤りは、正の真数を確認した後で内側の微分を忘れることです。たとえば基本例題では、対数の外側だけなら 1/u ですが、u の変化率は3です。3を掛けて元の x に戻すと 3/(3x − 2) になります。定義域の誤りと係数の誤りは原因が異なるため、真数の符号と連鎖律の因子を別々に点検します。

練習問題

各問で定義域と導関数を求めてください。指定点がある場合は、その点で微分係数が存在するかを判定し、存在するときは分数で答えてください。

1. y = log(5x + 4)、指定点 x = 0。
2. y = log(16 − x²)、指定点 x = 2。
3. y = log(x² + 4x + 5)、指定点 x = -2。
4. y = log((x − 4)/(x + 2))、指定点 x = 5。
5. y = log(x² − 4x)、指定点 x = 1。

解答と途中の確認

1. 真数の正の条件と内側の微分を順番に扱います。

5x + 4 > 0
x > -4/5
(5x + 4)′ = 5
y′ = 5/(5x + 4)
y′(0) = 5/4

定義域は x > -4/5 です。0を元の真数に入れると4で正なので、微分係数は 5/4 です。分子の5は内側を微分した値です。

2. 真数を因数分解して両側の境界を調べます。

16 - x² > 0
(4 - x)(4 + x) > 0
-4 < x < 4
(16 - x²)′ = -2x
y′ = -2x/(16 - x²)
y′(2) = -4/12
      = -1/3

定義域は -4 < x < 4 です。指定点では真数が 16 − 4 = 12 > 0 なので、微分係数 -1/3 は元の関数に対応します。端点では真数が0なので含めません。

3. 平方完成によって真数が常に正と確認できます。

x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1 > 0
(x² + 4x + 5)′ = 2x + 4
y′ = (2x + 4)/(x² + 4x + 5)
y′(-2) = 0/1
       = 0

定義域は実数全体です。元の真数は x = -2 で1となり正です。分子が0になることは、真数が0になることを意味しません。

4. 分子と分母の符号が同じになる範囲を使います。

(x - 4)/(x + 2) > 0
x < -2 または x > 4
u = (x - 4)/(x + 2)
u′ = {(x + 2) - (x - 4)}/(x + 2)²
   = 6/(x + 2)²
y′ = u′/u
   = 6/{(x + 2)(x - 4)}
y′(5) = 6/(7・1)
      = 6/7

定義域は x < -2 または x > 4 です。指定点を元に戻すと真数は 1/7 > 0 で、元の分母7も0ではありません。よって微分係数は 6/7 です。

5. 指定点が入るかどうかまで判定します。

x² - 4x > 0
x(x - 4) > 0
x < 0 または x > 4
(x² - 4x)′ = 2x - 4
y′ = (2x - 4)/(x² - 4x)

定義域は x < 0 または x > 4 です。x = 1 の真数は 1 − 4 = -3 で負なので、元の関数はそこで定義されず、微分係数も存在しません。導関数の式に形式的に1を入れた値を答えにしてはいけません。

手元に残す要点

• log x は底 e の対数で、真数は x > 0 です。
• 指数関数との逆対応から、正の x で (log x)′ = 1/x です。
• g が微分可能で g(x) > 0 なら、(log g(x))′ = g′(x)/g(x) です。
• 整理後も元の定義域を残し、指定点を元の真数へ戻します。

つまずきの見分け方

答えの分母だけを見ているときは、元の真数が負になる点を1つ選び、その点で関数自体が定義されるかを確かめます。係数が合わないときは u = g(x) と置き、1/u と u′ を別々に書いてから掛けます。個別指導で式を確かめるときも、真数の不等式と内側の導関数をノートに並べると、どこで判断が分かれたか追えます。正の真数から始まる自然対数の微分です。