高校数学C 空間の二直線の位置関係—交点と平行とねじれを連立式で見分ける｜武蔵野個別指導塾

2成分から得た交点候補を残る成分へ戻し、方向が平行なときは基準点の所属から一致と異なる平行線を判別します。

よくあるのは、理系の高3が空間の2直線について、x成分とy成分から交点らしい座標を出し、z成分を調べずに答える場面です。紙に描いた2本の線が交わっていても、奥行きが異なれば空間では出会いません。逆に、方向が同じ2本は、基準点が異なって見えても同じ直線のことがあります。

このページでは、各直線の点を別々の文字で表し、3成分を同時に満たすか調べます。交点、異なる平行線、一致、ねじれの位置を区別し、途中の候補を元の表示に戻すところまで扱います。数学Cでは座標とベクトルを平面から空間へ拡張して考えます。

どの問いで連立するか

1つ目は、2直線の位置関係を判定し、交わるなら交点を求める問いです。方向ベクトルが平行でなければ、一致や平行の可能性はありません。そのうえで連立式に解があれば交わり、なければねじれの位置です。ねじれの位置とは、同一平面上にない2直線の位置関係をいいます。

2つ目は、方向が平行な直線について、同じ直線か異なる直線かを判定する問いです。方向が実数倍でも、基準点が相手の直線に乗るとは限りません。方向の比較の後に、基準点の所属を別に調べます。

3つ目は、係数に文字を含み、文字の値によって位置関係が変わる問いです。方向を比べる際や連立式を解く際に文字を含む式で割るなら、その式が0になる場合を先に取り分けます。0になる場合を除いた計算から、除いた場合の結論は出せません。

2つの点を同じ場所に置く

直線 l と m を、実数 t、s を用いて次のように表します。a、b、u、v は空間のベクトルで、a と b はそれぞれの直線上の基準点の位置ベクトルです。

l: p = a + t u
m: q = b + s v

u、v は各直線の方向を表すので、どちらも零ベクトルではないとします。零ベクトルでは、文字を変えても1点から動かず、直線を表せません。t と s は別々に動く実数です。両方に同じ文字を使うと、同じ値で到達する点しか比べられず、本来の交点を見落とすことがあります。

交点は、l 上の点と m 上の点が同じ位置になる点です。したがって p = q と置き、x、y、z の成分をそれぞれ等しくします。図1のように、2成分が一致することは候補を作る手がかりですが、残る成分も同じ値の t、s で一致して初めて共通点になります。

図1は、別々に選んだ点の3成分を照合する模式図です。空間を紙に投影した線の交差そのものを、交点の証拠にはしません。成分を1本でも満たさなければ、その組は共通点ではありません。

方向が平行かどうかは、v = k u となる実数 k があるかで調べます。u と v は非零なので、このとき k も0ではありません。0成分で割らず、3成分すべてが同じ k で対応することを確認します。例えば u = (1, 0, 2) なら v = (2, 0, 4) は2倍ですが、v = (2, 1, 4) は2倍ではありません。

方向が平行なとき、b − a が u の実数倍なら、m の基準点は l 上にあります。この場合、方向も共通なので2直線は一致します。実際に b = a + c u、v = k u なら、m 上の点は a + (c + ks)u と表せます。k は非零なので s を動かすと c + ks はすべての実数をとり、l 上の全点を表します。

一方、b − a が u の実数倍でなければ、同じ方向でも共通点はなく、異なる平行線です。もし共通点があれば a + t u = b + s k u から b − a = (t − sk)u となり、実数倍でないことに反するからです。

方向が平行でない2直線は、一致も平行もできません。共通点が2点以上あると、その2点を結ぶ非零ベクトルが両方の方向の実数倍となり、方向が平行になってしまいます。よって交点は高々1点です。共通点がなければ、同一平面上にはありません。実際、共通の平面にあるとして交わらない2直線を考えると、その平面内では平行になるため、方向が平行でないという条件に反します。これがねじれの判定の根拠です。

基本例題：候補を3成分に戻す

2直線 l: (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, 2, -1)、m: (x, y, z) = (3, 1, -1) + s(-1, 1, 1) の位置関係を調べ、交わる場合は交点を座標で求めてください。t、s は実数です。

方向 (1, 2, -1) と (-1, 1, 1) は非零です。第1成分の比を使えば後者が前者の -1 倍である必要がありますが、その場合の第2成分は -2 であり、1と異なります。よって方向は平行ではありません。

同じ点を表す条件を成分ごとに書きます。

x: 1 + t = 3 - s
y: 2t = 1 + s
z: 1 - t = -1 + s

まず x と y の式を解きます。ここでは2本から候補が1組に定まるので、z に戻して判定できます。

t + s = 2
2t - s = 1
3t = 3
t = 1
s = 1

z の左辺は 1 − 1 = 0、右辺は -1 + 1 = 0 です。同じ組が3本を満たすので交点があります。l に t = 1 を戻すと (2, 2, 0)、m に s = 1 を戻しても (2, 2, 0) です。答えは「1点 (2, 2, 0) で交わる」です。

図2のように、両方の表示から同じ点 P に到達します。図は同じ投影による位置の見取り図で、画面上の角度や長さを空間での値と同一視しません。ここで t = s になったのは計算の結果であり、最初から同じ文字にしてよい理由にはなりません。

標準例題：2成分の候補が消える

直線 l: (x, y, z) = (0, 1, 2) + t(1, 1, 0)、m: (x, y, z) = (2, 0, 0) + s(0, 1, 1) の位置関係を判定してください。交わる場合は交点を座標で答えます。t、s は実数です。

2つの方向は非零で、m の方向の第1成分は0ですが l の方向の第1成分は1です。m の方向が l の方向の実数倍なら倍率は0となり、m の方向全体が零になるはずです。実際は零ではないため平行ではありません。

共通点を仮定して3成分を比較します。

x: t = 2
y: 1 + t = s
z: 2 = s

x と y から順に求めます。

t = 2
s = 1 + 2
s = 3

しかし z は s = 2 を要求します。同じ s が3と2の両方になることはないので、3本を同時に満たす組はありません。l の t = 2 の点は (2, 3, 2)、m の s = 3 の点は (2, 3, 3) で、x と y は同じでも z が異なります。方向が平行でなく共通点もないので、答えは「ねじれの位置」です。

2成分を選んでも候補が1組に定まらない場合は、その2本だけで打ち切らず、残る式を合わせて連立します。候補が複数ある段階では、その中に3本目も満たす組があるかを調べます。逆に、2本の時点で矛盾すれば、3本すべてを満たす組はありません。

発展例題：文字があるときの分岐

実数 k に対し、l: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 2, 1)、m: (x, y, z) = (0, 1, k) + s(1, k, 1) とします。位置関係を k の値で分類し、交わる場合は交点を座標で求めてください。t、s は実数です。

方向はどちらも第1成分が1なので非零です。2方向が平行なら、倍率は第1成分から1に限られます。第2成分を比較すると k = 2 です。まずこの場合を別に扱います。

k = 2 のとき、2方向はともに (1, 2, 1) です。m の基準点 (0, 1, 2) が l 上にあると仮定すると、x 成分から t = -1 です。そのとき l の y 成分は -2 であり、基準点の y 成分1と一致しません。したがって基準点は l 上になく、2直線は異なる平行線です。

次に k ≠ 2 の場合、方向は平行ではありません。共通点を表す式を立てます。

x: 1 + t = s
y: 2t = 1 + ks
z: t = k + s

x と z を組み合わせると、交点が存在するための条件が出ます。

t = s - 1
s - 1 = k + s
k = -1

したがって k ≠ -1 なら、この2本が矛盾し、共通点はありません。方向が平行でない範囲にいるのでねじれの位置です。k = -1 のときは必要条件を得ただけなので、y も含めて解きます。

2(s - 1) = 1 - s
2s - 2 = 1 - s
3s = 3
s = 1
t = 0

元の直線に戻すと、l は (1, 0, 0)、m は (0, 1, -1) + (1, -1, 1) = (1, 0, 0) です。3成分とも一致します。結論は、k = 2 で異なる平行線、k = -1 で (1, 0, 0) を交点として交わり、それ以外でねじれの位置です。一致する値はありません。

別の解き方として y に t = s − 1 を入れると (2 − k)s = 3 が出ます。この式を 2 − k で割る前に k = 2 を分ける必要があります。平行になる値を含んだまま割ると、その値の位置関係を調べたことにはなりません。

誤答をほどく：紙の交差と空間の交点

標準例題で「x と y から t = 2、s = 3 だから、交点は (2, 3, 2)」とする答えを考えます。l 上の点を計算した部分は正しいものの、m 上にも同じ点があるという確認が欠けています。

図3のように、2点の x と y は一致しても、z は2と3です。紙面上で同じ場所に投影して見せると、ずれを見落としやすくなります。図の右側は z の違いを別に示したもので、両点が同一でないことを表しています。

修正するときは、候補の t、s を3本目へ戻します。2 = 3 という矛盾が出たら、その組は捨てます。標準例題では最初の2本で候補が1組に定まっていたため、他に共通点はありません。方向も平行でないことを確認してから「ねじれ」と結びます。

もう1つの誤りは、平行な方向を見て即座に「交点なし」とすることです。例えば基準点が相手の直線上にあれば、両者は一致し、共通点は無数にあります。基準点を相手の式に代入して3成分を満たすか調べる手順が、この取り違えを防ぎます。

練習：5組の直線を判定する

各問の t、s は実数です。位置関係を「1点で交わる」「異なる平行線」「一致」「ねじれの位置」から答え、交わる場合は交点の座標も求めてください。値に文字がある問は、すべての実数値を分類します。

1. l: (x, y, z) = (2, -1, 0) + t(1, 0, 2)、m: (x, y, z) = (0, -1, 5) + s(2, 1, -1)。
2. l: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, -1, 1)、m: (x, y, z) = (5, 0, 5) + s(-4, 2, -2)。
3. l: (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(1, 2, 0)、m: (x, y, z) = (0, 1, 1) + s(2, 4, 0)。
4. l: (x, y, z) = (0, 2, -1) + t(1, -1, 2)、m: (x, y, z) = (3, -2, 3) + s(-1, 2, 0)。
5. 実数 a に対し、l: (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 1, 1)、m: (x, y, z) = (1, 0, a) + s(1, -1, 0)。

練習の解答と照合

1の解き方

方向は非零で、m の方向の第2成分は1、l の方向の第2成分は0なので平行ではありません。3成分を等しくします。

2 + t = 2s
-1 = -1 + s
2t = 5 - s

第2式から s = 0、第1式から t = -2 です。第3式は左辺 -4、右辺5となって矛盾します。実際、候補の2点は (0, -1, -4) と (0, -1, 5) です。したがって共通点はなく、答えはねじれの位置です。

2の解き方

方向 (-4, 2, -2) は非零で、(2, -1, 1) の -2 倍です。m の基準点が l 上にあるかを調べます。

(5, 0, 5) - (1, 2, 3) = (4, -2, 2)
(4, -2, 2) = 2(2, -1, 1)

基準点は l の t = 2 の点なので、答えは一致です。確かめとして m の任意の点は (1, 2, 3) + (2 − 2s)(2, -1, 1) です。s が実数全体を動くと 2 − 2s も実数全体を動くため、点の集合が同じです。

3の解き方

方向 (2, 4, 0) は非零で、(1, 2, 0) の2倍です。m の基準点 (0, 1, 1) が l 上にあるとすると、x 成分から t = 0 です。そのとき l の y 成分は0で、1と一致しません。よって基準点は l 上になく、答えは異なる平行線です。z 成分がともに1でも、それだけでは一致と判定できません。

4の解き方

方向は非零です。m の方向の z 成分は0ですが l の方向の z 成分は2なので、非零の実数倍にはなりません。3成分を比べます。

t = 3 - s
2 - t = -2 + 2s
-1 + 2t = 3

最後の式から t = 2、最初の式から s = 1 です。残る式に入れると、左辺も右辺も0となります。l の t = 2 と m の s = 1 はともに (2, 0, 3) です。答えは1点 (2, 0, 3) で交わる、です。

5の解き方

方向 (1, 1, 1) と (1, -1, 0) は非零で、平行ではありません。第1成分の比は1ですが、第2成分が一致しないためです。共通点の条件は次の3本です。

t = 1 + s
t = -s
t = a

最初の2本から求めます。

-s = 1 + s
2s = -1
s = -1/2
t = 1/2

最後の式を満たすのは a = 1/2 のときです。このとき l 上の点は (1/2, 1/2, 1/2)、m 上の点も (1, 0, 1/2) + (-1/2, 1/2, 0) = (1/2, 1/2, 1/2) です。よって a = 1/2 でこの点を交点として交わります。それ以外では共通点がなく、方向が平行でないのでねじれの位置です。

覚えておく4行

方向ベクトルは両方とも非零か確かめます。
平行な方向なら、基準点の所属で一致と異なる平行線を分けます。
平行でない方向なら、3成分の連立に解があるか調べます。
解があれば交点、なければねじれの位置です。

途中で止まったときの見直し

式は立つのに結論が出ないときは、まず各文字がどちらの直線の点を動かしているか、式の横に書き添えてください。t と s を取り違えたまま計算すると、一方の直線にしか属さない点を交点と呼んでしまいます。次に候補をそれぞれの元の式に戻し、得られた2組の座標を3成分で比べます。

個別に確認するときは、方向の倍率、基準点の所属、3本の式のうち矛盾が出た箇所を声に出して説明してみます。図だけで平行や交点を決めた場合は、どの成分の等式がその判断を支えるかを探します。連立の解が存在しない理由まで示せれば、空間での2直線の違いを式で説明できます。