高校数学III 接点がわかる接線—関数値と微分係数を分けて直線の式を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

指数・対数・三角関数の接点で高さと傾きを別に求め、完成した直線が接点を通るか、微分係数と合うかを点検します。

理系高3の演習で、接点のx座標だけを直線に代入して止まる場面があります。x座標は接点の半分の情報です。曲線の式からy座標を求め、さらにその場所での傾きを求めて初めて、直線を決められます。2つの計算が似た代入に見えるため、関数と導関数を取り違えない置き方が役立ちます。

数学IIIでは導関数を使って曲線の接線を考えます。ここでは接点のx座標が与えられた指数・対数・三角関数を扱い、接点自体を未知数として探す問題は扱いません。

まず何が与えられているか

出方の1つは、曲線と接点のx座標が直接与えられる型です。例えばx = aとあれば、曲線上の接点は(a, f(a))です。aだけで座標を書き終えず、まず元の関数に戻ります。次に導関数に同じaを代入し、接線の傾きを求めます。

もう1つは、接点が座標で示され、その点が曲線上にあるか確認してから接線を求める型です。与えられた点のy座標が関数値と違えば、その点は接点ではありません。定義域から外れたx座標についても、実数の範囲でその曲線上の接点はありません。式の形だけを作っても、求める接線にはなりません。

さらに、同じ接点での直線の式が候補として与えられ、正しいか判定する型があります。接点を通ることと傾きが合うことを別々に調べます。片方しか満たさない直線は接線ではありません。計算の途中で得た2つの数は、この判定にもそのまま使えます。

接点と傾きの役割

関数fがaを含む区間で定義され、aで微分可能とします。曲線y = f(x)の点(a, f(a))における接線の傾きは微分係数f′(a)です。したがって接線の方程式は次のようになります。

y - f(a) = f′(a)(x - a)

左側のf(a)は接点の高さ、右側のf′(a)は傾きです。同じaを代入しても、入れる式が違います。図1のように、曲線から高さを読み、導関数から傾きを読みます。微分可能性は、その点に有限の微分係数があることを確かめる条件です。対数なら真数が正か、三角関数なら式が定義されるかも先に見ます。

図1のように2つの値を直線の式に入れると、x = aで右辺が0となり、接点を通ることが確認できます。直線のxの係数はf′(a)なので傾きも一致します。この2つの確認は、展開後の式でも有効です。傾きが0の場合も式は成立し、接線は水平な直線y = f(a)です。

例えばf(a) = 3、f′(a) = -2なら、傾きは3ではなく-2です。y − 3 = -2(x − a)と書けば、点と傾きの役割を目で追えます。点を通るという条件は直線を1本に決めません。そこを通る多くの直線の中から、傾きによって1本が選ばれます。

基本例題：指数関数の接線

曲線y = eˣ + 2のx = 0における接線を、y = mx + bの形で求めてください。eは自然対数の底です。

この関数は実数全体で微分可能です。接点を求める計算と、傾きを求める計算を分けて書きます。

f(x) = eˣ + 2
f(0) = e⁰ + 2
     = 3
f′(x) = eˣ
f′(0) = 1

接点は(0, 3)、傾きは1です。指定された形に直すまでを順に書きます。

y - 3 = 1(x - 0)
y - 3 = x
y = x + 3

図2のように接点では曲線と直線が同じ高さを通り、直線の傾きは1です。x = 0を答えに代入するとy = 3で、元の曲線の値と一致します。また答えのxの係数1は、f′(0)と一致します。接点を通る確認だけでは、例えばy = 2x + 3も通ってしまうので、傾きの確認が必要です。

図2では接点より左と右の両方に曲線を描いています。図の形だけから接線の式を決めるのではなく、関数値と微分係数で求めた結果を図と照らします。グラフが直線に近く見えても、それだけで傾きの一致を証明したことにはなりません。

標準例題：対数の定義域を先に見る

曲線y = log x + xのx = eにおける接線を、eを含む正確な式で求めてください。logは自然対数です。

真数が正なので定義域はx > 0です。e > 0より指定された点は定義域内にあり、関数はそこで微分可能です。関数値を出してから傾きに移ります。

f(e) = log e + e
     = 1 + e
f′(x) = 1/x + 1
f′(e) = 1/e + 1

接点は(e, 1 + e)で、傾きは1 + 1/eです。点を通る形から切片を整理します。

y - (1 + e) = (1 + 1/e)(x - e)
y = (1 + 1/e)x - (e + 1) + 1 + e
y = (1 + 1/e)x

答えにx = eを戻すとy = e + 1です。曲線の高さと一致し、直線の傾きも1 + 1/eです。切片が0になるのは整理した結果であって、接点のx座標がeだからと最初から決まるものではありません。

もし同じ式でx = -eを指定されたなら、log(-e)は実数として定義されません。微分の式に形式的に- eを代入して数を得ても、元の曲線上に接点がないため、この問いの接線は求まりません。定義域の確認は計算前に行います。

発展例題：三角関数と合成された式

曲線y = sin(2x) + xのx = π/4における接線を、πを含む正確な式で求めてください。角は弧度法です。

この関数は実数全体で微分可能です。関数値と導関数の値では、三角関数に代入した後の値が異なります。

f(π/4) = sin(π/2) + π/4
       = 1 + π/4
f′(x) = 2 cos(2x) + 1
f′(π/4) = 2 cos(π/2) + 1
         = 1

接点は(π/4, 1 + π/4)、傾きは1です。求める式は次の通りです。

y - (1 + π/4) = x - π/4
y = x + 1

答えにx = π/4を代入するとy = 1 + π/4で、元の曲線の値に戻ります。直線の傾き1は導関数の値とも一致します。sin(π/2) = 1をそのまま傾きにするのは危険です。この例では偶然同じ数ですが、傾きは必ず導関数の式から求めます。

合成された角2xの微分によって係数2が現れることにも注意します。ここではcos(π/2) = 0なので係数を落としても最終値が偶然一致します。途中式を残すと、その偶然に頼らず別の接点でも正しく計算できます。

誤答を直す：通ることと傾きが同時に必要

基本例題で、接点が(0, 3)だから接線はy = 3x + 3、とする誤答を考えます。x = 0を代入するとy = 3なので、接点を通る条件は満たします。しかし傾きは3であり、曲線の微分係数1と違います。高さ3を傾きにも使ったことが誤りです。

図3のように、同じ点を通る直線でも傾きによって向きが変わります。正しい接線では、xが1増えると直線のyは1増えます。誤った直線では3増えます。接点の近くでの変化の割合を表すのは1のほうです。

修正は、接点の座標と傾きの計算を別の行に戻すことです。f(0) = 3、f′(0) = 1と書き直し、y − 3 = 1(x − 0)に入れます。逆に、傾き1が合っていてもy = x + 2なら接点を通りません。図3のように向きと位置を別々に確認すれば、どちらが欠けたか特定できます。

接点が定義域内でも、微分可能かどうかは別の条件です。ここで扱う各例では、その点を含む範囲で関数が微分可能であることを確認してから公式を使います。接点を通るだけの直線と区別する根拠が、この微分係数です。

答えを提出する前の点検

接線の式を展開した後は、点を通る形に戻して点検すると符号の誤りを発見できます。例えば接点のx座標が正なら、括弧はx − aです。接点のx座標が負なら、引き算によってx + |a|となります。どちらもx = aを代入すれば括弧が0になる、という共通の確認で見分けられます。切片だけを見て判断する必要はありません。

点が座標で与えられたときには、x座標を元の関数に代入した結果が指定のy座標と一致するかを先に調べます。一致しなければ、そこで接するという条件と矛盾します。たとえその点を通る直線を作れても、曲線のその点における接線とは呼べません。対数ではこの代入より先に真数の符号を調べます。

計算結果が意外な形になっても、すぐに間違いとは限りません。標準例題のように切片が0になることも、練習問題で見るように傾きが0になることもあります。直線が原点を通るか、水平かは、それぞれ切片と傾きで決まります。両方を元の条件に照らせば、見た目に頼らず判定できます。

練習問題

次の接線を求めてください。logは自然対数、角は弧度法とします。答えは、指定がある場合を除き正確な式で表してください。

1. 曲線y = 2eˣ − 1のx = 0における接線をy = mx + bの形で求めてください。
2. 曲線y = log x − 2xのx = 1における接線をy = mx + bの形で求めてください。
3. 曲線y = cos x + 2xのx = π/2における接線をπを含む式で求めてください。
4. 曲線y = e⁻ˣ + xのx = 0における接線を求め、その傾きを答えてください。
5. 曲線y = log(x + 3)について、点(-2, 0)が曲線上にあることを確かめ、その点での接線を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

指数関数はx = 0で微分可能です。接点の高さと傾きは次の通りです。

f(0) = 2e⁰ - 1 = 1
f′(x) = 2eˣ
f′(0) = 2
y - 1 = 2(x - 0)
y = 2x + 1

答えにx = 0を入れると1で、元の曲線の値と一致します。直線の傾き2も微分係数に一致します。切片1と傾き2を入れ替えないことが要点です。

2

x = 1は定義域x > 0にあり、そこで微分可能です。

f(1) = log 1 - 2 = -2
f′(x) = 1/x - 2
f′(1) = -1
y + 2 = -(x - 1)
y = -x - 1

x = 1を答えに入れるとy = -2です。直線の傾き-1も曲線の微分係数と一致します。負の傾きは、接点から右に進むと接線が下がることを意味します。

3

関数はx = π/2で微分可能です。関数値と傾きをそれぞれ求めます。

f(π/2) = cos(π/2) + π = π
f′(x) = -sin x + 2
f′(π/2) = -1 + 2 = 1
y - π = x - π/2
y = x + π/2

x = π/2を戻すとy = πです。傾きも1であり、元の点と微分係数の両方を満たします。πを小数にせずに計算すると、切片まで正確に表せます。

4

関数はx = 0で微分可能です。傾きが0でも点を通る式にそのまま入れられます。

f(0) = e⁰ + 0 = 1
f′(x) = -e⁻ˣ + 1
f′(0) = 0
y - 1 = 0(x - 0)
y = 1

答えはy = 1、傾きは0です。接点(0, 1)を通り、水平な直線の傾きは元の微分係数と一致します。0を分母にする操作は必要ありません。

5

定義域はx + 3 > 0、つまりx > -3です。-2は定義域内で、関数はそこで微分可能です。点の高さを確認してから傾きを計算します。

f(-2) = log 1 = 0
f′(x) = 1/(x + 3)
f′(-2) = 1
y - 0 = 1(x + 2)
y = x + 2

答えにx = -2を代入すると0で、与えられた点を通ります。傾き1も導関数の値に一致します。点が曲線上にあるという確認は、与えられた座標をそのまま接点として使うために必要です。

要点を手元に残す

接点のx座標aが定義域内にあり、そこで微分可能か確かめます。 接点の高さはf(a)、接線の傾きはf′(a)です。 y − f(a) = f′(a)(x − a)にそれぞれ入れます。 答えが接点を通り、傾きも合うか元の条件へ戻して確かめます。

つまずきの見分け方

接点を通るのに傾きが違う場合は、f(a)をf′(a)の欄に入れていないかを見ます。傾きは合うのに接点を通らない場合は、y − f(a)の符号と展開後の切片を問い直します。点の高さ自体が合わない場合は、導関数ではなく元の関数への代入に戻ります。

個別に式を確かめるときは、接点、傾き、直線の3行を指し、各数がどの式から出たか説明できるかを見ます。対数ではその前に真数が正かを確かめます。2つの値の出どころを分ければ、接線の式の誤りを見つけやすくなります。