高校数学III 自然指数関数の導関数—自然対数の底と増分の極限を結びつける｜武蔵野個別指導塾

増分の極限と合成関数の係数から読み解く対象は、自然指数関数です。

よくあるのは演習ノートで、e を変数として微分する場面です。eˣ の底の e と指数の x は、同じ文字のように見えて役割が違います。e は決まった正の数で、x が動くと指数関数の値が変わります。この区別を差商まで戻して眺めると、なぜ微分後に元の eˣ が残るのか、どのときに別の係数が掛かるのかが見えてきます。

要点（結論から）

• e は正の定数で、eˣ はすべての実数 x で正です。
• 差商を eˣ(eʰ − 1)/h に分け、基本極限から導関数 eˣ を得ます。
• eᵘ⁽ˣ⁾ を微分するときは、内側の導関数 u′(x) を掛けます。

どこで区別が必要になるか

自然指数関数の導関数は、まず eˣ 自体の微分として問われます。公式を覚えている場合も、差商のどこから元の関数が現れるか説明できるようにします。e は自然対数の底を表す定数であり、x の変化に伴って e そのものが変わるわけではありません。

次に、指数が 3x や x² のように x の式である場合です。外側の指数関数を微分した後、指数の変化率を掛けます。指数をそのまま戻す操作と、その指数を微分して掛ける操作は別です。

さらに、積や商に指数関数が含まれる場合には、それぞれの微分公式を使います。分母に指数関数があるときは、分母が 0 にならないことも必要です。以下では自然指数関数を中心に扱い、一般の底の微分公式や対数関数の微分には立ち入りません。

底と増分をつなぐ

自然対数の底 e は、正の定数で、例えば次の極限で定められます。

e = lim[n→∞] (1 + 1/n) の n 乗

ここで n は正の整数です。実数 x に対して定義された自然指数関数 eˣ は正で、指数法則 eᵘ⁺ᵛ = eᵘeᵛ を満たし、連続です。導出には、これと独立に成立する指数関数の基本極限を使います。

lim[h→0] (eʰ - 1)/h = 1

h は 0 以外の値を通って 0 に近づきます。基本極限の値は、自然対数の底を選んだときに 1 となる性質です。これを eˣ の微分公式から逆に導いたことにしてはいけません。ここでは指数関数の構成と基本極限を既知の事実として使い、その後で微分公式を導きます。したがって、結論を前提にした循環にはなりません。

実数の任意の x で、差商は指数法則によって次のように分けられます。h≠0 なので h で割れます。

(eˣ⁺ʰ - eˣ)/h
= (eˣeʰ - eˣ)/h
= eˣ(eʰ - 1)/h

x を固定して h を動かす間、eˣ は h に関して定数です。基本極限が存在するので、定数倍の極限を取ると、導関数の定義から次を得ます。

(d/dx)eˣ = eˣ

図1のように、差商は固定された eˣ と、増分 h による比に分かれます。比が 1 に近づくことが、導関数が元の関数と同じになる理由です。h = 0 を分母に代入して得た値ではありません。

図1の右側の比は h = 0 では定義されませんが、極限は存在します。定義されない点での値と、その点に近づいたときの極限を分けて扱います。e⁰ = 1 も指数法則の値であり、e の微分が 1 という意味ではありません。

指数が微分可能な関数 u(x) のとき、外側の eᵘ はすべての実数 u で微分可能なので、合成関数の公式を適用できます。

(d/dx)eᵘ⁽ˣ⁾ = eᵘ⁽ˣ⁾u′(x)

例えば u′(x) = 0 となる点でも、合成関数の公式は有効です。内側の変化率が 0 なら、その点の導関数は 0 です。指数の値が 0 であることと、指数の変化率が 0 であることは異なります。

極限と差商を取り違えないために

基本極限の分子 eʰ − 1 も、h が 0 に近づくと 0 に近づきます。しかし分子と分母がともに 0 に近づくという情報だけでは、比の極限は決まりません。比全体が 1 に近づくという基本極限を使うことが必要です。分母を先に 0 にすると割り算が定義されず、差商の値を計算したことになりません。

同じ差商で x = 0 とすれば、e⁰ = 1 なので基本極限そのものになります。一般の x では指数法則が、そこへ固定因子 eˣ を加えます。この対応を見ると、各点の導関数がなぜその点の関数値になるかを追えます。差商の変形は h≠0 で行い、変形後に h を 0 に近づける順番です。左右のいずれから近づけても、同じ基本極限を用います。

指数が定数になる場合も確かめます。例えば r(x) = e⁷ は x の値を変えても同じ値です。差商の分子は e⁷ − e⁷ = 0 となり、導関数は 0 です。合成関数の公式でも内側の導関数が 0 なので同じ結論になります。指数に x が見えないとき、元の定数値をそのまま導関数にする必要はありません。

基本例題：一次式を指数に持つ

関数 f(x) = e³ˣ⁻² の導関数と f′(1) を求めてください。答えは e を用いた正確な式で表します。

指数を u = 3x − 2 と置くと、u はすべての実数で微分可能です。外側の指数関数もすべての実数で微分可能なので、合成関数の公式を使えます。

u′ = 3
f′(x) = eᵘu′
= 3e³ˣ⁻²
f′(1) = 3e³⁻²
= 3e

図2のように、x = 1 では指数が 1 に対応し、外側の値は e です。指数の変化率 3 を掛けることで、求める微分係数は 3e になります。

図2に戻って、元の関数の値も f(1) = e と確かめられます。この値と微分係数 3e は別の量です。指数が x そのもののときには一致しますが、内側の変化率が 3 のこの例では一致しません。

標準例題：指数関数を含む積

関数 g(x) = (x² + 2)e⁻ˣ の導関数を求めてください。答えは e⁻ˣ を因数とする形で表します。

多項式と指数関数はすべての実数で微分可能です。積の公式を使い、後ろの因子は合成関数として微分します。

(d/dx)(x² + 2) = 2x
(d/dx)e⁻ˣ = -e⁻ˣ
g′(x) = 2xe⁻ˣ + (x² + 2)(-e⁻ˣ)
= e⁻ˣ(2x - x² - 2)

例えば x = 0 では元の関数値は 2、導関数の値は -2 です。元の積の第1因子の微分は 0、第2因子の微分は -1 なので、積の公式に直接戻しても -2 になります。e⁻ˣ の指数の微分は -1 ですから、この負号を落とすと照合が合いません。

積の微分を、各因子の導関数どうしの積にすることも誤りです。一方の因子を微分するとき、もう一方の因子は元の形で残します。2つの項を作ってから共通因子をくくると、負号と係数を点検しやすくなります。

発展例題：分母と合成の条件

関数 p(x) = 1/(1 + e²ˣ) の導関数を求めてください。答えは分母を平方にした分数の形で表します。

すべての実数 x で e²ˣ > 0 ですから、1 + e²ˣ > 0 です。分母は 0 にならず、p はすべての実数で定義されます。分母の関数は微分可能なので、逆数の微分公式を使えます。

q(x) = 1 + e²ˣ
q′(x) = 2e²ˣ
p′(x) = -q′(x)/(q(x))²
= -2e²ˣ/(1 + e²ˣ)²

x = 0 を元の式へ戻すと p(0) = 1/2 です。導関数へ戻すと p′(0) = -2/4 = -1/2 です。分母が正であることは、もとの関数が定義されることと、答えの分母が 0 でないことの両方を保証します。

もし分母が 1 − e²ˣ なら x = 0 では分母が 0 となり、そこで元の関数が定義されません。同じ計算規則を形式的に書いても、その点の導関数を求めたことにはなりません。先に定義域を確認する必要があります。

誤答の形から直す

eˣ の微分を、底も指数も変数のように扱って「xeˣ⁻¹」とする誤答を考えます。これは xⁿ で n が固定された定数のときのべきの微分を、底が一定で指数が変わる式にそのまま移したものです。eˣ と xⁿ では、変わる位置が逆です。

図3のように、eˣ では底が固定され、指数が変わります。xⁿ では n を定数とすれば、底が変わり指数は固定されます。それぞれの公式を、見かけの上付き文字だけで選ばないようにします。

図3の区別は値でも点検できます。x = 0 で正しい導関数 eˣ は 1 ですが、誤った式 xeˣ⁻¹ は 0 です。差商は基本極限により 1 に近づくので、誤った値は定義とも合いません。

別の誤りは、e³ˣ⁻² の微分を e³ˣ⁻² とすることです。外側を微分した形は残っていますが、内側の微分 3 がありません。u = 3x − 2 と置き、外側の導関数 eᵘ と内側の導関数 3 を並べてから u を戻すと修正できます。

また、e を x で微分して 1 とするのも誤りです。e は定数なので、その導関数は 0 です。例えば e + eˣ の導関数は 0 + eˣ = eˣ です。定数の e と関数の値 eˣ を同じ操作で処理しないようにします。

練習：先に5問を解く

どの答えも e を用いた正確な式で表してください。導関数を求める問題では、元の関数の定義域も示します。

1. f(x) = e⁴ˣ⁺¹ の導関数と f′(0) を求めてください。
2. g(x) = eˣ²⁻³ の導関数と g′(0) を求めてください。
3. h(x) = (x + 3)e²ˣ の導関数を、e²ˣ を因数とする形で求めてください。
4. k(x) = e⁻²ˣ/(x + 1) の導関数を、分母を平方にした分数の形で求めてください。
5. m(x) = e + 2e⁵ˣ の導関数と m′(0) を求めてください。

練習の解答と照合

1

指数 4x + 1 と外側の指数関数はすべての実数で微分可能です。定義域はすべての実数です。

(d/dx)(4x + 1) = 4
f′(x) = e⁴ˣ⁺¹・4
= 4e⁴ˣ⁺¹
f′(0) = 4e

元の式に x = 0 を戻すと f(0) = e です。指数の変化率 4 を掛けた値と答えが一致します。

2

指数 x² − 3 はすべての実数で微分可能で、定義域もすべての実数です。内側の微分が 0 になる点を含めて合成関数の公式を使えます。

(d/dx)(x² - 3) = 2x
g′(x) = eˣ²⁻³・2x
= 2xeˣ²⁻³
g′(0) = 0

元の式では g(0) = e⁻³ です。関数値は正ですが、指数の変化率が 0 なので微分係数は 0 です。関数の値が 0 でないことと、導関数の値が 0 であることは両立します。

3

両因子はすべての実数で微分可能です。定義域はすべての実数です。

(d/dx)(x + 3) = 1
(d/dx)e²ˣ = 2e²ˣ
h′(x) = e²ˣ + 2(x + 3)e²ˣ
= (2x + 7)e²ˣ

x = 0 では元の因子の値が 3 と 1、各導関数の値が 1 と 2 です。積の公式に戻すと 1 + 3・2 = 7 で、答えへ x = 0 を代入した値と一致します。

4

分母 x + 1 が 0 でないことが必要です。定義域は x≠-1 です。この範囲で分子と分母は微分可能なので、商の公式を適用できます。

(d/dx)e⁻²ˣ = -2e⁻²ˣ
(d/dx)(x + 1) = 1
k′(x) = {(-2e⁻²ˣ)(x + 1) - e⁻²ˣ}/(x + 1)²
= -(2x + 3)e⁻²ˣ/(x + 1)²

x = 0 は定義域にあり、元の分子と分母の値はともに 1 です。分子の導関数は -2、分母の導関数は 1 なので、商の公式に戻すと -3 です。整理後の答えにも 0 を代入すると -3 です。除外点 x = -1 では、整理後の式にも値を代入できません。

5

定義域はすべての実数です。e は定数であり、その微分は 0 です。5x の微分は 5 なので、定数倍と合成関数の公式から次を得ます。

m′(x) = 0 + 2・5e⁵ˣ
= 10e⁵ˣ
m′(0) = 10

元の式に 0 を戻すと m(0) = e + 2 です。定数 e は関数値には残りますが、変化率には寄与しません。指数関数の項の変化率 2・5 が答えの 10 に対応します。

要点

• e は正の定数で、eˣ はすべての実数 x で正です。
• 差商を eˣ(eʰ − 1)/h に分け、基本極限から導関数 eˣ を得ます。
• eᵘ⁽ˣ⁾ を微分するときは、内側の導関数 u′(x) を掛けます。
• 積や商では各公式を使い、分母が 0 になる点を除きます。

ノートで止まったら

まず、どの文字を動かしているかを丸で囲み、定数 e と変数 x を分けてください。次に指数を u と置き、u′ が答えに現れているかを見ます。分数なら元の分母を 0 と置いて除外点を調べます。個別指導で確認するときも、答えの式だけでなく、指数の対応と適用した条件を声に出してたどると、係数を落とした箇所を特定できます。自然指数関数の導関数は、増分の比と内側の変化率から読めます。