高校数学III 三角関数の積と商の微分—恒等変形による別解と公式を照合する｜武蔵野個別指導塾

倍角を使う別解と、商の変形で消えた分母の条件を照合し、元の定義域に注意して三角関数の積を解く。

よくあるのは、演習ノートで三角関数の商を約分し、変形前の定義域を失う場面です。分母が消えた式は見通しをよくしますが、元の関数がなかった点まで、元の関数の導関数が生まれるわけではありません。積や商の公式で直接求めた式と、恒等変形してから求めた式を、同じ範囲で比べます。

要点（結論から）

• 角は弧度法で、sin(ax) と cos(ax) の微分には内側の係数 a を掛けます。
• 積は一方ずつ微分した2項を足し、商は分母が0でない範囲で公式を使います。
• 倍角などで先に変形しても、元の式と一致する範囲を確認します。

どこで計算の道が分かれるか

正弦と余弦の積では、2つの因子をそのまま微分する方法と、倍角などで和や1つの三角関数に直してから微分する方法があります。両方が使えるとき、一方の式を他方に直せるか調べれば、符号や角の係数の点検になります。たとえば同じ角の積では、積の公式に出る余弦の2乗と正弦の2乗が倍角の余弦につながります。

商では分母が0でないことを先に記します。分子を倍角の公式で因数分解できても、約分した後の式が表す関数は、元より広い範囲で定義されることがあります。計算が短くなっても、最初の条件は答えの脇に残します。

もう1つの出方は、異なる角を含む商です。分子と分母の角が異なると、単純な約分はできない場合があります。商の公式でそれぞれの角の係数を残し、必要なら積を和に変えて見比べます。ここでは導関数を求めるところまでを扱い、増減は調べません。

公式を使える場所と、変形を比べる場所

角はすべて弧度法で表します。実数 x に対して sin x と cos x は微分可能で、その導関数はそれぞれ cos x と -sin x です。実数 a に対して sin(ax) と cos(ax) も微分可能で、合成関数の微分により、それぞれ a cos(ax) と -a sin(ax) になります。角の中にある a は、外側の三角関数を微分した後にも掛かります。

微分可能な関数 u、v に対する積と商の公式は次の形です。商では、その点で v が0でないことが条件です。

(uv)′ = u′v + uv′
(u/v)′ = (u′v - uv′)/v²     v ≠ 0

分子の2項は引き算です。最初の項では分子を微分し、後の項では分母を微分します。後の項は、分母の導関数自体が負なら、引く負の数として整理します。各因子が微分可能で分母が0でない点では、これらの公式を使えます。

この2つの規則と恒等式のつながりを、図1のように同じ角の積で確かめます。実数 a に対して u = sin(ax)、v = cos(ax) とおけば、積の公式から次の式が得られます。

(sin(ax) cos(ax))′
= a cos(ax) cos(ax) + sin(ax)(-a sin(ax))
= a(cos²(ax) - sin²(ax))
= a cos(2ax)

一方、倍角の公式 sin(2θ) = 2 sin θ cos θ はすべての実数 θ で成り立ちます。元の積は実数全体で (1/2) sin(2ax) に等しいので、その式を微分しても a cos(2ax) です。2つの関数がある点の周りで一致し、そこで微分可能なら、差商も一致します。そのため、同じ範囲で微分した結果は等しくなります。

商の変形にも同じ考えを使いますが、等式の成り立つ範囲を忘れてはいけません。たとえば sin(2θ)/cos θ = 2 sin θ は cos θ ≠ 0 のときに成り立ちます。右辺が cos θ = 0 でも計算できる事実は、左辺の分母が0になる点を元の定義域へ追加する根拠にはなりません。右辺は左辺を含む広い範囲の関数であり、元の商の導関数は、元の範囲に限って読み取ります。

基本例題：同じ角の積を2通りに微分する

実数全体で定義された f(x) = sin(3x) cos(3x) の導関数を、三角関数を用いて求めてください。積の公式と倍角の公式の両方を使い、結果の一致まで示します。

sin(3x) と cos(3x) は実数全体で微分可能です。前者の導関数は 3 cos(3x)、後者の導関数は -3 sin(3x) です。図2のように、片方を微分する間、もう片方をそのまま残します。

f′(x)
= 3 cos(3x) cos(3x) + sin(3x)(-3 sin(3x))
= 3 cos²(3x) - 3 sin²(3x)
= 3(cos²(3x) - sin²(3x))
= 3 cos(6x)

最後には cos(2θ) = cos²θ − sin²θ を θ = 3x に適用しました。最初の2項を足し忘れると、積の変化の片方が抜けます。また、余弦の微分で生じる負号と、内側の 3 を別々に確認します。

別解では、もとの関数を実数全体で次のように書きます。

f(x) = (1/2) sin(6x)
f′(x) = (1/2)・6 cos(6x)
      = 3 cos(6x)

角を 3x から 6x に変えたため、微分の際には 6 が現れます。前の (1/2) と掛けて 3 が残り、直接計算と一致します。x = 0 では元の関数の値は 0、導関数の値は 3 です。どちらの式にも同じ x を入れて比べると、計算結果の対応も確認できます。

標準例題：分母が消えても条件を残す

次の関数の定義域と導関数を、三角関数を用いて求めてください。

g(x) = sin(4x)/cos(2x)

まず元の分母を見ます。cos(2x) = 0 となるのは 2x = π/2 + kπ、すなわち x = π/4 + kπ/2 です。ただし k は整数です。定義域は、これらの点を除く実数全体です。この範囲で分子と分母は微分可能であり、分母は0でないので商の公式を使えます。

g′(x)
= (4 cos(4x) cos(2x) - sin(4x)(-2 sin(2x)))/cos²(2x)
= (4 cos(4x) cos(2x) + 2 sin(4x) sin(2x))/cos²(2x)

この形でも導関数ですが、倍角を使うと見通しがよくなります。定義域内では cos(2x) ≠ 0 なので、次の約分は正当です。

g(x) = 2 sin(2x) cos(2x)/cos(2x)
     = 2 sin(2x)
g′(x) = 4 cos(2x)

答えは g′(x) = 4 cos(2x)、ただし x ≠ π/4 + kπ/2、k は整数です。右辺の式自体は実数全体で計算できますが、g の導関数として述べる範囲は元の定義域です。

直接の結果も、同じ範囲で変形して照合します。sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x)、cos(4x) = cos²(2x) − sin²(2x)、さらに sin²(2x) + cos²(2x) = 1 を用います。

4 cos(4x) cos(2x) + 2 sin(4x) sin(2x)
= 4 cos(2x)(cos²(2x) - sin²(2x)) + 4 sin²(2x) cos(2x)
= 4 cos³(2x)

分母 cos²(2x) は0でないので、商は 4 cos(2x) です。x = 0 は定義域に入り、元の式は 0/1 = 0、導関数は 4 です。対照的に x = π/4 では元の式の分母が0です。変形後の式の値が計算できても、g や g′ の値としては扱えません。

発展例題：異なる角の商を整理する

h(x) = cos(3x)/sin(2x) の定義域と導関数を、分母を sin²(2x) とする形で求めてください。さらに分子を和の形に直し、2つの表現が一致することを示します。

sin(2x) = 0 は 2x = kπ、つまり x = kπ/2 です。k を整数として、これらを除いた点が定義域です。その各点で分子と分母は微分可能であり、分母は0ではありません。合成関数の微分と商の公式を順に使います。

h′(x)
= ((-3 sin(3x)) sin(2x) - cos(3x)・2 cos(2x))/sin²(2x)
= (-3 sin(3x) sin(2x) - 2 cos(3x) cos(2x))/sin²(2x)

ここで sin A sin B = (cos(A − B) − cos(A + B))/2、cos A cos B = (cos(A − B) + cos(A + B))/2 を使います。どちらも加法定理から得られ、実数 A、B で成り立ちます。分子を1行ずつ直すと次のようになります。

-3 sin(3x) sin(2x) - 2 cos(3x) cos(2x)
= -(3/2)(cos x - cos(5x)) - (cos x + cos(5x))
= -(5/2) cos x + (1/2) cos(5x)
= (cos(5x) - 5 cos x)/2

したがって、同じ定義域で次の答えも得られます。

h′(x) = (cos(5x) - 5 cos x)/(2 sin²(2x))

x = π/4 は除外点ではありません。元の関数に戻すと cos(3π/4)/sin(π/2) = -√2/2 です。直接求めた導関数は -3√2/2、和に直した形も (cos(5π/4) − 5 cos(π/4))/2 = -3√2/2 となり、一致します。約分の可否に頼らず、角の異なる2項を最後まで保持することが要点です。

誤答をたどり直す：分母を消した後の範囲

標準例題で、次のように書いたとします。

sin(4x)/cos(2x) = 2 sin(2x)
よって g′(x) = 4 cos(2x) で、定義域は実数全体

微分の式そのものは、元の定義域では正しいものです。誤りは等式を実数全体に広げた点にあります。図3のように、左辺が存在する範囲と右辺が存在する範囲は異なります。式を短くする前に分母が0になる点を記しておけば、最後に戻れます。

修正するときは、まず cos(2x) ≠ 0 を書きます。その条件のもとで約分し、2 sin(2x) を微分して 4 cos(2x) とした後、x ≠ π/4 + kπ/2 を付けて答えます。除外点で右辺の式が有限の値を取っても、元の g が定義されていないため、その点での g の微分係数はありません。

別の誤りとして、商の公式の後の項を足し算にすることがあります。分母の微分は -2 sin(2x) ですから、公式の「引く」と合わせて正の項になります。最初から正負をまとめず、- sin(4x)(-2 sin(2x)) と書いてから整理すると、符号の由来が見えます。

練習：式と範囲を自分で照合する

各問とも角は弧度法です。導関数は三角関数を用いた正確な式で答え、商では元の定義域も答えてください。

1. p(x) = sin(5x) cos(5x) の導関数を、倍角の余弦を用いて求めてください。
2. q(x) = sin(3x)/cos(3x) の定義域と導関数を、分母を cos²(3x) とする形で求めてください。
3. r(x) = cos(4x)/sin(2x) の定義域と導関数を求めてください。cos(4x) = 1 − 2 sin²(2x) も使い、別の形と照合してください。
4. s(x) = sin(2x) cos(3x) の導関数を、cos x と cos(5x) の和で表してください。
5. t(x) = sin(6x)/(2 sin(3x)) の定義域と導関数を求め、約分後の式が定義される範囲との違いを述べてください。

練習の解答と途中式

1. 同じ角の積

2つの因子は実数全体で微分可能です。積の公式を使うと、

p′(x) = 5 cos(5x) cos(5x) + sin(5x)(-5 sin(5x))
      = 5(cos²(5x) - sin²(5x))
      = 5 cos(10x)

元の積は実数全体で (1/2) sin(10x) なので、別の道でも同じ答えです。たとえば x = 0 で元の関数は 0、答えは 5 です。どちらの計算でも角を微分した係数が一致します。

2. 同じ角の商

分母が0でない条件は cos(3x) ≠ 0、すなわち x ≠ π/6 + kπ/3、k は整数です。この範囲では商の公式が使えます。

q′(x) = (3 cos(3x) cos(3x) - sin(3x)(-3 sin(3x)))/cos²(3x)
      = 3(cos²(3x) + sin²(3x))/cos²(3x)
      = 3/cos²(3x)

x = 0 は条件を満たし、元の商は 0、答えは 3 です。x = π/6 は分母が0なので、式に代入する対象から除きます。

3. 分母と倍角を照らす

sin(2x) ≠ 0 より、定義域は x ≠ kπ/2、k は整数です。この範囲で直接微分します。

r′(x) = ((-4 sin(4x)) sin(2x) - cos(4x)・2 cos(2x))/sin²(2x)
      = (-4 sin(4x) sin(2x) - 2 cos(4x) cos(2x))/sin²(2x)

別の道では、定義域内で cos(4x) を 1 − 2 sin²(2x) に直します。

r(x) = (1 - 2 sin²(2x))/sin(2x)
     = 1/sin(2x) - 2 sin(2x)
r′(x) = -2 cos(2x)/sin²(2x) - 4 cos(2x)

2つ目の式を通分すると分子は -2 cos(2x) − 4 cos(2x) sin²(2x) です。直接の分子に sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x) と cos(4x) = 1 − 2 sin²(2x) を代入しても同じになります。x = π/4 は定義域内で、元の値は -1、どちらの導関数も 0 です。

4. 異なる角の積

実数全体で微分可能なので、まず積の公式を適用します。

s′(x) = 2 cos(2x) cos(3x) - 3 sin(2x) sin(3x)
      = (cos x + cos(5x)) - (3/2)(cos x - cos(5x))
      = (5 cos(5x) - cos x)/2

積を和に変えるとき、角の差は -x ですが cos(-x) = cos x です。元の s(0) = 0、求めた式は s′(0) = 2 となります。直接微分した式に0を入れた値とも一致します。

5. 約分後も除外点を残す

元の分母は 2 sin(3x) なので、定義域は x ≠ kπ/3、k は整数です。この範囲で倍角と約分を使います。

t(x) = 2 sin(3x) cos(3x)/(2 sin(3x))
     = cos(3x)
t′(x) = -3 sin(3x)

cos(3x) は実数全体で定義されますが、元の t と一致すると主張できるのは示した定義域内です。x = π/6 では元の式が sin π/(2 sin(π/2)) = 0、導関数は -3 です。一方 x = 0 では元の分母が0なので、導関数の式に0を代入して元の関数の微分係数とすることはできません。

要点

• 角は弧度法で、sin(ax) と cos(ax) の微分には内側の係数 a を掛けます。
• 積は一方ずつ微分した2項を足し、商は分母が0でない範囲で公式を使います。
• 倍角などで先に変形しても、元の式と一致する範囲を確認します。
• 約分で消えた分母の除外点は、導関数の答えにも残します。
• 直接計算と恒等変形の結果を、共通の定義域で照合します。

つまずきを見分けるには

2つの方法の答えが違うときは、まず各角を微分した係数、次に余弦の負号、最後に商の分子の引く順を見直します。式が一致しているのに答えの範囲が違うなら、最初の分母に戻り、0になる点が除外されているかを確かめます。個別指導で途中式を確かめる場合も、約分した行の横にその条件を書き、どの行で使ったかを説明できると誤りの位置が見えます。積と商の微分は、変形の巧さと同時に、元の定義域を最後まで持ち運ぶ計算です。